基于曲面片迭代物理光學(xué)法的電磁耦合計(jì)算

隋 淼 許小劍

（北京航空航天大學(xué)，北京 100191）

引 言

為了保護(hù)精密雷達(dá)天線不受外界強(qiáng)烈氣流和惡劣大氣環(huán)境的干擾，復(fù)雜介質(zhì)材料天線罩廣泛地應(yīng)用于飛機(jī)、導(dǎo)彈和艦船等移動(dòng)平臺(tái)。對(duì)于電大尺寸薄層均勻介質(zhì)天線罩的電磁特性分析，目前被廣泛應(yīng)用的是高頻法［1］，其具有物理概念直觀、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，主要包括幾何光學(xué)（GO）法、物理光學(xué)（PO）法等。而對(duì)于電中、小尺寸，具有復(fù)雜介質(zhì)材料且罩壁厚度可以與波長(zhǎng)相比擬的天線罩來(lái)說(shuō)，只能采用如有限元法（FEM）、矩量法（MoM）等數(shù)值法求解［2－4］。與傳統(tǒng)天線罩與有源天線之間輻射問(wèn)題的研究不同，本文研究的是無(wú)源的罩內(nèi)散射體被薄層天線罩包圍后，其散射特性的變化。這種意在增強(qiáng)目標(biāo)雷達(dá)散射截面（RCS）且又加入天線罩以保證飛行器基本飛行動(dòng)力學(xué)需要的結(jié)構(gòu)，在實(shí)際靶標(biāo)測(cè)試中具有重要應(yīng)用。

對(duì)于材料結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的電大尺寸薄層天線罩，Hémon等［5］采用基于迭代物理光學(xué)（IPO）法［6］的等效電磁流迭代公式，分析了薄層天線罩與罩內(nèi)腔體之間的電磁耦合作用。IPO是一種基于磁場(chǎng)積分方程（MFIE），迭代獲得目標(biāo)表面等效電磁流分布的電磁散射計(jì)算方法。與高頻方法相比，由于其可部分包含諸如反射－反射（RR）、反射－繞射（RD）、繞射－反射（DR）、繞射－繞射（DD）等散射分量，具有更高的精度；與數(shù)值法，特別是需要作體剖分的FEM相比，其具有較少的未知量，即更高的計(jì)算效率。傳統(tǒng)IPO方法基于平面片描述目標(biāo)的幾何外形。對(duì)于諸如天線罩這樣曲面曲率變化較大的目標(biāo)表面，如按照IPO方法λ／3－λ／4的剖分要求，往往不能正確描述表面曲率較大處的幾何信息，即不能保證面片離散對(duì)目標(biāo)表面的擬合精度，以及各個(gè)采樣點(diǎn)處的法矢方向的正確性，最終將導(dǎo)致散射場(chǎng)計(jì)算結(jié)果的誤差。但如果采用更細(xì)致的剖分尺度，雖然對(duì)目標(biāo)表面的擬合程度有所改善，但卻失去了IPO對(duì)剖分要求較低的特點(diǎn)，使計(jì)算時(shí)間大幅增加。

將傳統(tǒng)基于平面片的IPO方法推廣到曲面片上，發(fā)展了基于曲邊面片的IPO方法，即CIPO方法，并將其應(yīng)用于分析薄層天線罩與罩內(nèi)散射體之間的電磁耦合作用。與基于平面片的IPO方法相比，該方法可以在不提高剖分要求，甚至是降低IPO剖分要求的情況下，改善由面片離散帶來(lái)的擬合誤差，以及目標(biāo)表面曲率較大處表面法矢的精度，從而獲得精度較高、速度較快的目標(biāo)電磁散射計(jì)算結(jié)果。

1 基于曲邊面片的迭代物理光學(xué)法

曲面三角形貼片對(duì)目標(biāo)表面進(jìn)行剖分具有很強(qiáng)的靈活性，它不僅能夠處理復(fù)雜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，還能更好地模擬曲目標(biāo)表面。采用由六個(gè)結(jié)點(diǎn)（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和三條曲邊中點(diǎn)）定義的二階單元。通過(guò)參數(shù)變換，將直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)r（x，y，z）映射到參數(shù)空間下的點(diǎn)r（ξ1，ξ2，ξ3），得到參數(shù)坐標(biāo)系下的平面三角形單元，如圖1所示。具體表達(dá)式為

式中：rj表示六個(gè)控制點(diǎn)的位置矢量；參數(shù)坐標(biāo)ξ1和ξ2的變化范圍均為［0，1］，且滿足

式中：只有ξ1和ξ2為獨(dú)立變量；φj為定義在參數(shù)ξ1、ξ2上的形函數(shù)，其表達(dá)式為

圖1 曲三角形面片

CIPO方法與基于平面片的IPO方法相比的主要區(qū)別為：CIPO需要在曲面片上積分。以完純導(dǎo)體（PEC）目標(biāo)和高斯積分為例，目標(biāo)表面等效電流迭代式為

式中：p為第m個(gè)曲面片上的積分點(diǎn)；q為第n個(gè)曲面片上的積分點(diǎn)；n（r′q）為源點(diǎn)r′q處的法矢量；ωq為高斯積分權(quán)值；Jq為點(diǎn)r′q處的雅各比行列式。

單位外法向矢量可表示為

式中：

將實(shí)空間曲面積分轉(zhuǎn)化為參數(shù)空間平面積分的雅各比因子為

式（9）的迭代過(guò)程可以在達(dá)到一定的迭代次數(shù)或者電流達(dá)到一定的收斂準(zhǔn)則后停止。一種有效的收斂測(cè)試方法是計(jì)算第q次迭代后的目標(biāo)表面各個(gè)面片總電流與第q－1次迭代后目標(biāo)表面各個(gè)面片總電流的差異。如果差異較小，則認(rèn)為電流收斂。用算式可表示為

對(duì)于一般的精度要求，取δ＝0.05即可。

此外，快速遮擋判別［6］以及快速遠(yuǎn)場(chǎng)近似技術(shù)［7］同樣可以用于對(duì)式（9）進(jìn)行加速。

2 天線罩與罩內(nèi)散射體電磁耦合計(jì)算公式

采用文獻(xiàn)［5］中介紹的基于IPO方法的薄層天線罩與罩內(nèi)散射體計(jì)算公式，計(jì)算二者之間的電磁耦合作用。

設(shè)天線罩由多層各向同性的介質(zhì)材料組成，罩內(nèi)散射體為PEC，如圖2所示。基于CIPO方法的薄層天線罩與罩內(nèi)散射體電磁耦合計(jì)算步驟如下：

圖2 天線罩與散射體的幾何關(guān)系

1）計(jì)算在平面電磁波的激勵(lì)下，電磁波穿過(guò)天線罩，在罩內(nèi)表面激勵(lì)起的電磁流。利用菲涅爾傳輸系數(shù)，罩內(nèi)表面等效電磁流可表示為

式中：na為罩內(nèi)壁Pa點(diǎn)處指向罩內(nèi)的單位法矢量；，，，為天線罩的菲涅爾傳輸系數(shù)；，，和為天線罩的菲涅爾反射系數(shù)；，，和分別為入射電磁場(chǎng)的水平分量和垂直分量。而入射電場(chǎng)Ei，與透過(guò)天線罩，進(jìn)入罩體的電場(chǎng)ET和被罩體反射的電場(chǎng)ER；入射磁場(chǎng)Hi，與透過(guò)天線罩，進(jìn)入罩體的磁場(chǎng)HT和被罩體反射的磁場(chǎng)HR有如下關(guān)系：

式中：和分別為入射電場(chǎng)垂直和水平單位矢量；和分別為透射電場(chǎng)垂直和水平單位矢量；和分別為反射電場(chǎng)垂直和水平單位矢量。

2）計(jì)算由罩內(nèi)壁電磁流激勵(lì)起的散射體表面處磁場(chǎng)。

利用基爾霍夫近似（KA），散射體表面磁場(chǎng)可表示為

式中ra和rc分別為罩內(nèi)表面Sa和散射體表面Sc上某點(diǎn)的坐標(biāo)矢量。需要特別注意的是，KA僅對(duì)電大尺寸口徑（該問(wèn)題中的口徑為包圍散射體的天線罩）才成立，且隨著入射角偏離垂直入射方向，KA的準(zhǔn)確度隨之降低［8］。

3）迭代計(jì)算散射體表面的等效電流。

由于散射體為PEC，所以只存在表面等效電流。其表面電流迭代式為

式中：ncν為散射體表面某點(diǎn)ν處的單位外法矢方向；（ra）和（ra）分別為N次迭代后，Sa上ra點(diǎn)處的等效電流和等效磁流。

由初始電磁流和散射體輻射到罩壁上的電磁場(chǎng)（r）和（ra）聯(lián)合作用得到

式中和分別為（ra）和（ra）的水平分量和垂直分量。迭代初始值為

4）計(jì)算天線罩外表面的等效流。

由散射體表面上的等效電流輻射到天線罩內(nèi)表面處的場(chǎng)，在罩外表面形成的電磁流可表示為

式中：

式中，（ra）和（ra）分別代表由入射場(chǎng)直接經(jīng)天線罩反射的等效電流和等效磁流，而（ra）和（ra）分別為散射體表面電流輻射到天線罩內(nèi)壁上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。

上文中，形如▽×∫M×▽′G的積分計(jì)算公式為

同樣地，▽×∫J×▽′G積分的計(jì)算公式為

當(dāng)采用曲邊面片對(duì)目標(biāo)表面進(jìn)行剖分時(shí)，只需將上述積分采用形如式（9）的曲邊面片數(shù)值積分替代。由于天線罩表面的曲率一般較大，特別適合采用CIPO方法取代基于三角面片的IPO方法，在保持傳統(tǒng)IPO方法剖分要求較低優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，又實(shí)現(xiàn)了曲面片對(duì)目標(biāo)表面的精確擬合。

3 數(shù)值結(jié)果

研究如圖3所示的薄層介質(zhì)天線罩與罩內(nèi)散射體之間的電磁耦合作用。電磁波頻率為1GHz.天線罩材料參數(shù)為：εr＝15－j4.5，μr＝1，厚度為3 mm.罩內(nèi)為由PEC圓盤和圓柱體組成的帽子目標(biāo)，其主要散射分量為二次反射。圖4為分別利用基于平面片的IPO、CIPO，以及商用軟件FEKO?基 于 Poggio－Miller－Chang－Harrington－Wu （PMCHW）方程的MoM得到計(jì)算結(jié)果。其中，IPO方法按照λ／4剖分尺寸，將天線罩和帽子散射體分別劃分為6 261和2 981個(gè)三角面片。而采用CIPO方法時(shí)，天線罩和散射體分別劃分為2 981和1 560個(gè)形如圖1所示的由六點(diǎn)控制的曲三角面片，即可得到不隨剖分尺寸變化的計(jì)算結(jié)果。本文曲三角面片的剖分由商用軟件Patran?完成。

圖3 薄層介質(zhì)天線罩與罩內(nèi)PEC散射體之間幾何關(guān)系其中，天線罩的幾何尺寸為：1.2m×1.2m×1m；帽子目標(biāo)的幾何尺寸為：1m×1m×0.6m.

本算例中，IPO和CIPO的迭代終止門限按照式（14）定義，設(shè)δ＝0.03.圖4（a）和（b）分別為水平和垂直極化CIPO與MoM計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。總體上二者基本吻合，但隨著俯仰角的增大，由于PO和KA準(zhǔn)確度的降低，使得CIPO與MoM相比出現(xiàn)偏差。而與基于平面片IPO相比，CIPO可以用較少的面片擬合曲率較大的天線罩表面，因此，CIPO的積分點(diǎn)數(shù)明顯少于IPO方法。此外，由式（10）計(jì)算得到的法向矢量更加準(zhǔn)確，可去除IPO方法固有的面片噪聲。計(jì)算91個(gè)不同角度下的RCS，IPO需要約4小時(shí)，而CIPO僅需約100分鐘。

4 結(jié) 論

將基于平面片的IPO方法推廣到曲面片上，發(fā)展了CIPO方法。給出了基于CIPO方法分析薄層天線罩與罩內(nèi)散射體電磁耦合計(jì)算公式。與IPO方法相比，CIPO方法可以以相對(duì)較少的面片數(shù)量，對(duì)曲率較大目標(biāo)表面進(jìn)行精確的擬合，準(zhǔn)確計(jì)算出各個(gè)采樣點(diǎn)處的法矢方向，從而獲得更高的計(jì)算精度和速度。通過(guò)具體算例，驗(yàn)證了CIPO方法的正確性和有效性。

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