多輸入多輸出正交頻分復用中基于頻域的信干噪比估計

李志剛 劉 田 邵士海 唐友喜

（電子科技大學通信抗干擾技術國家級重點實驗室，四川 成都 611731）

引 言

在多輸入多輸出正交頻分復用（MIMO OFDM）［1］下行鏈路中，終端需要實時測量子載波上的信干噪比（SINR），尤其是在開環和閉環復用模式下，終端把測得的SINR反饋給基站端，供下行發射的調制編碼方式選擇參考。因此，SINR估計的準確性將直接影響系統性能，是無線通信系統進行資源分配的關鍵參數指標之一。

在現有的文獻中，文獻［2］和文獻［3］分別針對時分多址和碼分多址鏈路的時域SINR估計進行了討論。針對OFDM鏈路，文獻［4］利用時域相關性估計信噪比，該方法還有待擴展到MIMO OFDM系統中。文獻［5］利用OFDM中循環前綴（CP）和部分載波信號的相關性，對噪聲功率進行了估計，但該方法無法對其他載波上干擾信號的功率進行估計。文獻［6］在MIMO OFDM場景下，分析了線性接收機（迫零或最小均方誤差）中相位噪聲對SINR估計誤差的影響。文獻［7］在平坦衰落信道中，提出了基于最大似然（ML）準則的SINR估計方法，在多載波情況下，隨著子載波數量的增大，其計算量是常規器件無法承受的。

在頻率選擇性衰落信道中，針對MIMO OFDM的鏈路特征提出一種低復雜度的SINR估計方法：利用參考信號載波的頻域相關性構造降秩矩陣，把其協方差矩陣分解為信號空間矩陣與噪聲空間矩陣［8］之和，最后提取最小特征值來估計SINR。并且對SINR估計誤差進行了理論分析及計算機仿真驗證，結果表明：在SINR小于30dB時，該方法只需要利用連續4個參考信號載波，便可實現估計誤差小于0.2dB.

如無特殊注明，采用以下標記：大寫粗斜體A表示矩陣，其中第m行第n列元素為amn，大小寫斜體表示變量，（·）＊表示（·）的共軛，（·）H表示（·）的共軛轉置，diag｛·｝表示對角矩陣，「·」表示向下取整，E｛·｝表示數學期望，

1 信道模型與估計

考慮具有MT根發射天線和MR根接收天線的MIMO OFDM系統。系統帶寬被分為N個子載波，循環前綴長度為Ncp.在某一時刻，在第k（k＝1，…，N）個子載波上的頻域響應矩陣H（k）為

式中Hnm（k）表示在第k個子載波上由第m（m＝1，…，MT）根發射天線到第n（n＝1，…，MR）根接收天線的信道頻域響應，即［9］

式中：L表示多徑數；hnm（l）表示第m根發射天線到第n根接收天線之間第l條徑的時域信道衰落系數，其服從均值為0、方差為的復高斯隨機變量；τl表示第l條徑的時延，l＝1，2，…，L；fk表示第k個子載波的載波頻率。對于l＝1，2，…，L，假設hnm（l）之間是相互獨立的，且滿足信道功率歸一化條件，即

為了估計信道矩陣（1），MIMO OFDM中采用在時域和頻域上正交的參考信號序列［10－11］。設在頻域上相鄰參考信號的間隔為Df，在第k（k＝1，1＋Df，1＋2Df，…，1＋（M－1）Df）個子載波上插入參考信號，共插入M＝「N／Df」個參考信號，且參考信號的載波間隔Df滿足信道相干帶寬條件［9］：

式中：Δf表示子載波間隔；τmax表示最大多徑時延。考慮信道估計存在誤差，基于最小二乘（LS）信道估計，得到估計的信道矩陣H（k）為［12］

式中：V（k）表示干擾矩陣；N（k）為噪聲矩陣。干擾信號源于運營商之間或不同制式之間造成的網絡干擾，建模干擾矩陣中的元素為服從功率為的隨機變量。建模噪聲矩陣中的元素服從均值為0、方差為的加性復高斯隨機變量。假設信道、干擾和噪聲項之間相互獨立。

2 信干噪比估計

考查在第n（n＝1，…，MR）根接收天線上的SINR估計，SINR估計步驟如圖1所示。

考慮相鄰的Nf（Nf≤M＝「N／Df」）個參考信號載波，Nf表示用來進行SINR估計的載波個數，其值的界定理論上是通過比較信號空間的最小特征值是否遠遠小于噪聲空間的特征值，實際操作中可以依據實驗結果部分圖2的討論分析來選取。在第p（p＝1，…，Nf）個參考信號載波上，從第m（m＝1，…，MT）根發射天線到第n（n＝1，…，MR）根接收天線之間的信道頻域衰落系數記為Hnm（1＋（p－1）Nf）.對第n根接收天線進行SINR估計，其他接收天線的SINR估計可類似得出，為了敘述分析方便，不妨省略下標n以及省略表示數據信號的序號，Hnm（1＋（p－1）Nf）簡記為（p）.利用載波之間的相關性，在接收端構造如下MT×Nf維降秩矩陣

圖1 SINR估計流程

把Ω的協方差矩陣記為RΩ?E｛ΩHΩ｝，RΩ的第（p，q）個（p＝1，…，Nf，q＝1，…，Nf）元素RΩ（p，q）為

式中E｛（p）（q）｝化簡為式（7）第二個等號成立是由于假設信道、干擾和噪聲之間相互獨立，以及信道和噪聲的0均值特性。對式（7）中的E｛Hm（p）（q）｝進一步化簡，有

實際信道通常為廣義平穩不相關散射（WSSUS）信道［13］，每根發射天線到接收端的信道衰落系數同分布，那么對任意m均有下式成立［13］：

式中：Ac（τ）是信道的功率時延譜；δ（·）表示Dirac沖擊函數。把式（9）代入式（8）得到

式（10）表示信號包絡相關性與頻率間隔的關系。把式（10）表示為離散形式，有

式中參數、Df、Δf和τl是已知參數，相關系數ρ（p－q）可以被確定。把式（11）代入式（7）得到

把式（12）代入式（6），得到Ω的協方差矩陣

下面對RΩ進行信號空間分解，通過提取RΩ的最小特征值來估計SINR.定義矩陣

那么由式（13），RΩ可以表示為

由式（15）可以看出，估計的信號空間矩陣RΩ可以分解為實際的信號空間矩陣和噪聲空間矩陣＋之和。對矩陣進行特征值分解，設λi是矩陣的第i（i＝1，2，…，Nf）個特征值，Σ＝diag｛λ1，λ2，…，｝是由上述特征值組成的對角化矩陣，從而矩陣可以寫為［14］

式中U是由特征值對應的特征向量組成的酉矩陣。由式（15），矩陣RΩ可以化為

由于參考信號載波之間的相關性，矩陣相鄰列向量之間具有一定的相關性，矩陣經奇異值分解后的特征值有大有小，列向量之間的相關性越強，特征值之間大小差距越明顯，最小特征值會隨著載波間相關性的增強趨于0，甚至有?＋.另一方面，矩陣RΩ的最后一個特征值可以表示為與＋兩項的和，而?＋表明信號空間的最小特征值對噪聲空間的特征值的影響很小，從而可以利用RΩ的最小特征值估計SINR.

綜上，SINR估計步驟如下：首先，接收機對信道狀態信息H（k）進行估計，選取連續Nf個參考信號載波的信道衰落系數組成降秩矩陣Ω.然后，求協方差矩陣RΩ＝E｛ΩHΩ｝.最后，通過特征值分解分離信號空間與噪聲空間，提取矩陣RΩ的最小特征值來估計SINR.

從信號空間矩陣的表達式（14）看出表示參考信號經歷的信道在頻域上的相關性，該相關性與功率時延譜Ac（τ）有關，所提方法是利用該相關性來估計SINR.另一方面，信道在時域上的相關性由最大多普勒擴展決定與信道的時域相關性無關，從而所提方法避免了最大多普勒擴展對SINR估計的不利影響。同時也不受MIMO空間相關性的影響，所提方法同樣也適用于MIMO相關空間條件下的SINR估計。

3 誤差分析

考查估計誤差SINRe的性質。

首先，SINRe是大于零的。由于信號頻率相關性函數（11）的絕對值小于1且單調遞減［13］，易得Hermitian矩陣的所有主子式都大于零，則是正定矩陣。由于正定Hermitian矩陣的特征值都是正的［14］，得出的最小特征值＞0.又因為＋＞0，則lg＞0，由式（18）得出

其次，SINRe隨SINR的增加單調遞增。式（19）又可以寫為如下形式

指數函數f（x）＝是單調遞增的，對數函數g（x）＝lgx也是單調遞增的。因為兩個單調遞增函數的復合函數h（x）＝lg 1＋也是單調遞增的，（ ）且＞0，從而＝10lg （1＋）是關于SINR的單調遞增函數，即SINR估計誤差隨著SINR的增加而增大。

SINRe隨的減小而減小。當?＋，即信號空間的最小特征值遠遠小于干擾與噪聲功率之和時，估計誤差SINRe≈0.

4 實驗結果分析

表1 系統參數

表2 LTE ETU信道模型

圖2從理論上給出了在參考信號載波間隔Df不同情況下，信號空間（式（14））的最小特征值隨連續導引載波個數Nf的變化情況。從圖中可以看出：對于固定的導引載波間隔Df，當信號矩陣的空間維度Nf較小時，由于矩陣操作空間較小，信號空間的最小特征值與0有一定差距；當Nf增大后，既保證了原有各子載波的相關性，又使得操作空間增大，迫使最小特征值更趨于0，估計誤差減小；當Nf較大時，最小特征值下降到某一平臺。從圖中還可以看出：隨著參考信號選取密度的增加，信號空間各子載波的相關性增強，最小特征值收斂到0的速度會加快。從圖2中也可以看出：在LTE規定的參考信號載波間隔Df為3和實際SINR＝30dB的條件下，當信號空間維度Nf≥4時，有10lg（）?－40dB，可見對估計誤差的影響很小，即使在高SINR條件下，本文方法對于SINR估計都具有良好的魯棒性。

圖2 信號空間的維度Nf對其特征值大小的影響

圖3為所提SINR估計誤差以及與文獻［7］中ML方法的對比，其中信號空間維度Nf＝4，參考信號載波間隔Df為LTE協議規定的3，Nt表示時域上求期望的采樣點個數。從圖3看出：在理論上，當SINR小于15dB時，所提方法的估計誤差與0接近；當SINR增加到30dB時，所提方法的估計誤差約為0.2dB.在實際操作中，當統計點個數Nt＝103時，所提方法的估計誤差與理論誤差較為接近，兩者之間的差值在圖中最大處為0.1dB；隨著統計點個數Nt增加到104時，統計平均結果與理論期望結果更趨于一致，兩者之間的差值在圖中最大處不超過0.03dB.并且所提方法與文獻［7］中的ML方法進行了對比，在Nt個數相同以及低SINR條件下，所提方法的估計誤差性能略差于ML方法。如果實際的SINR更高（大于30dB），所提方法與ML方法的性能差距會明顯增大。為了減少差距，可以根據圖2選擇更大的Nf，使得足夠小，這樣可以保證所提方法與ML方法的差距不會明顯增大。

計算復雜度方面。在所提方法中，分解信號空間需要進行特征值分解操作，其計算復雜度只有O（）［16］；而 ML方法的計算復雜度隨著子載波個數的增加呈指數增加，其計算量是常規器件無法承受的。與ML方法相比，所提方法以較小的性能損失換來低計算復雜度，其優勢是明顯的。

圖4為在參考信號載波間隔Df不同情況下的SINR估計誤差，其中信號空間維度Nf＝4.求期望的采樣點Nt＝104.從圖4看出，仿真結果與理論結果相吻合，所提SINR估計具有良好的魯棒性。從圖中還可以看出：隨著參考信號選取密度的增加，SINR估計誤差減小；隨著參考信號選取密度的減少，信道相關性下降，信號空間矩陣的最小特征值增大，導致SINR估計誤差增大。

圖5 最大多普勒頻移不同情況下的SINR估計誤差

圖5為在最大多普勒頻移不同情況下的SINR估計誤差，其中信號空間維度Nf＝4，參考信號載波間隔Df＝3，求期望的采樣點Nt＝104，當終端的移動速度vh分別為3 0km／h、6 5km／h和1 3 0km／h時，導致最大多普勒頻移fD分別為70Hz、150Hz和300Hz.由圖5可以看出，在最大多普勒頻移不同情況下，估計誤差之間的差別不明顯，可見所提SINR估計方法對多普勒擴展不敏感。另一方面，SINR估計誤差的仿真結果與理論分析結果相吻合，圖中最大差別處兩者也只相差0.04dB.

5 結 論

在頻率選擇性衰落信道中，針對MIMO OFDM的鏈路特征提出一種低復雜度的SINR估計方法：利用子載波之間的相關性特征構造降秩矩陣，基于信號空間分解來估計SINR。理論分析和仿真表明：在SINR小于30dB的典型工作環境中，所提方法只需要利用連續4個參考信號載波，便可實現估計誤差小于0.2dB；所提方法利用頻率相關性特征，對多普勒擴展不敏感。該方法可用于MIMO OFDM系統開環和閉環復用模式下的SINR測量。

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