雷達角閃爍的混沌特性研究

張 錦 苗俊剛 鄭 成 謝 衍

（北京航空航天大學電子信息工程學院，北京 100191）

引 言

在對目標雷達特性的研究中，角閃爍和雷達散射截面（RCS）是同等重要的兩種物理量，是雷達目標的特征信號［1］。角閃爍的概念與擴展目標的概念緊密相連。復雜目標不同部位的散射強度和相位會造成回波相位的畸變，回波波前在接收天線口面上的傾斜與擺動產生了角閃爍［2］。凡是尺寸與波長能比擬、具有兩個或兩個以上等效散射中心的任何體目標都會產生角閃爍線偏差，這類體目標稱為擴展目標。角閃爍誤差對目標跟蹤和識別有較大影響，強角閃爍信號可能導致目標跟蹤失敗和誤判，因此，如何預測和抑制角閃爍成為散射研究領域中的重要議題［3］。相關研究對角閃爍的后處理及抑制方法的討論很多，但只有很少的文獻涉及到角閃爍的混沌特性的詳細判定及與標準模型的結果對照。因此，討論角閃爍的混沌特性是一個新穎的課題。

首先采用相位梯度法對共線兩散射中心和五散射中心模型的角閃爍進行了仿真計算，并用圖形電磁學算法（GRECO）計算出了一個典型目標的螺旋運動角閃爍數據。隨后設計了一個全面和細致的非線性和混沌驗證流程算法，并對照業內公認的標準混沌模型Lorenz模型經過同樣流程的仿真結果，對三種角閃爍計算結果進行了一系列混沌定性、定量判別，確定了角閃爍具有顯著的混沌特性，為抑制角閃爍和目標識別拓展了新思路。

1 角閃爍精確建模

1.1 角閃爍精確建模

相關領域研究人員對雷達角閃爍的建模提出了幾類方法，包括精確建模、統計建模等。為了驗證角閃爍的非線性及混沌特性，采用相位梯度法對同軸共線多散射中心模型進行角閃爍仿真計算［3－5］，后續內容驗證其混沌特性。

假設目標由排列在同一條直線上多個散射源組成，如圖1所示，O是坐標原點，θ是水平面上觀測角，散射中心排列在Z軸上。P是雷達位置，ri是第i個目標到雷達的距離。

雷達距離：

單個理想導體球體散射中心的散射場為［6］

式中，a為球體直徑，直徑的大小代表了接收散射場的強度。設第i個散射中心的散射源幅度為Ai，相位為φi，則多個散射中心的后向散射總場為

圖1 共線多散射中心目標幾何模型

目標對觀察點P處散射場相位為

利用相位梯度法，可得俯仰面和方位面上的角閃爍計算方法如公式（5）所示。限于篇幅，本文只討論方位面上方位面角θ變化時的角閃爍精確計算。雙散射中心角閃爍建模采用兩個與中心線等距且直徑差距較小的散射中心作為建模模型，得到的結果具有較強的簡單目標普適性。仿真參數設置為：f＝10GHz，R＝300m，L1＝－0.3m，L2＝0.3m，a1＝0.1m，a2＝0.15m（符合遠場條件及散射中心體積與波長可比擬的條件），角閃爍量綱為米，仿真步長為0.01°，水平面角度掃描范圍為0°～180°.為計算其時間序列特性，并與實際雷達掃描時的情景相匹配，圖形坐標橫軸采用時間序列的方式顯示為雷達系統中的時域采樣點數量。角閃爍仿真計算結果請見后文混沌特性分析中圖5及圖6.可見角閃爍曲線偏向中心正向的距離，即散射中心直徑較大，產生較強角閃爍的方向，符合散射中心偏移理論。

依相同方法可計算五散射中心目標的方位面面角閃爍：L1＝－0.3m，L2＝0.3m，L3＝0.6m，L4＝－0.5m，L5＝1m，a1＝0.1m，a2＝0.15m，a3＝0.1 m，a4＝0.3m，a5＝0.8m，其余參數不變，仿真結果如圖3所示。按相關文獻論述，五散射中心角閃爍已屬復雜散射體［7］。

1.2 典型目標GRECO角閃爍計算

GRECO算法是對角閃爍精確建模的拓展，被電磁散射理論界公認為是與實際測量最為接近的仿真方法之一［6，8］，是相位梯度法在動目標圖形化實時仿真系統中的應用，綜合了物理光學法、物理繞射法、幾何繞射法等常用電大尺寸目標的散射場計算方法［9－10］，將每個像素視為是一個散射中心，當目標在屏幕上顯示后，所有像素點組成的散射中心模型即代表該復雜目標，通過獲得每個散射中心的回波場強和位置信息求取復雜目標的角閃爍。

復雜目標由n個統計獨立的散射中心組成，假定觀察距離遠大于散射中心與雷達間距和波長，則入射波可以近似看成是平面波，略去時諧因子后各散射中心被雷達接收的總回波信號為

式中：rN表示第N個散射中心到接收雷達處的距離；，δn分別是第n個散射中心的幅度和初始相位。由此得到回波信號的總相位為

式中：

針對目標的每個實時姿態，由相位梯度法，可計算出水平面和俯仰面的角閃爍線偏差為

GRECO計算的目標模型采用公認的典型目標［8］，目標運動方式［10－11］選為螺旋運動（符合目標運動規律），目標和坐標設置如圖2所示。

角閃爍計算參數如表1所示。

圖2 典型復雜目標模型［8］

表1 典型目標角閃爍計算參數

由GRECO算法計算得到的角閃爍波形請見后文混沌分析中圖7.

2 角閃爍時間序列的混沌驗證

圖3 混沌判定流程圖

非線性科學與混沌理論是近年學術界熱點，很多看似用常規方法無法解決的問題從非線性科學中都獲得了嶄新的解決思路。在經濟學、地理、氣象數據的處理和預測中，非線性與混沌理論已經獲得了廣泛的應用。本文參考國外非線性科學學者的權威成果［12－14］，利用混沌理論設計了一個全面和細致的驗證流程算法（圖3），并對照公認的混沌模型Lorenz吸引子的仿真結果，驗證了角閃爍的混沌特性。

本流程中混沌特性的判定可依定性［12，14］和定量［15－16］分析算法分別驗證，三個定性判據包括吸引子、龐加萊截面和主分量分析，兩個定量判據包括關聯維數和最大Lyapunov指數。后續分析將Lorenz吸引子和三種角閃爍序列均通過此流程驗證，得到一系列定性和定量的判定結果。以下對此驗證流程進行簡要敘述。

1）互信息函數確定最佳時間延遲。取多個時間延遲進行平均信息量的迭代計算，得到的向量是延遲后以τ為自變量的時間序列重構；取其第一個最小值點對應的時間點作為延遲的估計值［12－13］。

2）Cao算法確定最小嵌入維數［17］。①采用上步求得的最佳時間延遲τ和d＋1（為待定嵌入維數）個嵌入維數作為輸入參量，采用偽臨近算法定義范數商參量，并將a參量加權求和且歸一化得到參量并繪制其圖形；②以a的第一個明顯拐點作為最小嵌入維；③以τ和min－ed重構吸引子［15］并觀察其運動特性。通常情況下，混沌的最小嵌入維數為2或者3，方能成功重構吸引子動力學特性。由此得到的吸引子圖形為第一個混沌定性判據：吸引子在有限空間內不斷伸長和折疊，構成回復性永不相交的非周期運動，具有良好的幾何構型，則序列具有混沌特性。

3）相空間重構并生成二維龐加萊截面圖［13－14，16］，即在相空間中適當選取一截面（要有利于觀察系統的運動特征和變化，如截面不能和軌跡相切，更不能包含軌跡），稱此截面為龐加萊截面，相空間的連續軌跡與龐加萊截面的交點稱為截點。設記錄得到的龐加萊點為：B0，B1，…，Bn，…。在龐加萊截面上使相空間軌跡連續運動，降為低維的離散點之間的映射，T稱為龐加萊映射［16］。

由此得到的龐加萊截面圖成為第二個混沌定性判據［17－18］，即：1）當龐加萊截面上有且僅有一個不動點或少數離散點時，序列是周期的；2）當龐加萊截面是一條封閉曲線時，序列是準周期的；3）當龐加萊截面上是一些成片的具有分形結構或良好幾何構型的形體時，序列是混沌的。

4）依據關聯積分G－P算法［18］選擇最佳嵌入維數重構相空間［16］，并求得關聯維數。步驟如下：1）按照前述計算得到最小嵌入維，并以此重構相空間，然后計算關聯積分；2）不斷增大嵌入維數并重新重構相空間，觀察關聯積分曲線圖形，選擇除去斜率為0和無窮的曲線中最接近直線的曲線，求得該曲線的斜率即為關聯維數D；3）考察關聯積分曲線的收斂性，若曲線在某嵌入維數以上呈發散狀態并密集聚攏，則該嵌入維數即為最佳嵌入維數opt－ed.由此得到關聯維數的定量混沌判據：如果關聯維數是整數，則序列是準周期或隨機的；如果關聯維數不是整數，則序列是混沌的。

5）以最佳嵌入維數opt－ed重構相空間，進行主分量譜圖分析［16，19］。由時間延遲和最佳嵌入維數重構相空間，求出軌線矩陣；計算協方差矩陣，并計算出其特征值和特征向量；將特征值按由大到小排列，則特征值和對應的特征向量稱為該時間序列的主分量。求出特征值的和γ，以γ為縱坐標，嵌入維數1至opt－ed為橫坐標繪制出的圖形即為主分量譜圖。由此得到主分量譜圖判據：隨機噪聲序列的主分量譜圖是一條與橫軸接近平行的直線，而混沌序列則表現為一條沿負斜率下降的曲線，且在低維迅速下降。

6）Wolf法計算最大李氏（Lyapunov）指數［20］。該指數的計算方法為最小臨近點算法。將重構相空間后的序列取一初始點，找到該點的最鄰近點，追蹤兩點的時間演化，直到二者間距大于某門限值，保留該點并再尋找下一點，使距離小于該門限值，并且前兩點與原始點連線的夾角盡可能小，對序列中每點重復上述過程直到序列終點，再用對數距離商的加權平均求得最大李氏指數。其定量判據為：若該指數大于零，則序列是混沌的。

3 仿真結果與分析

3.1 Lorenz模型的建立

Lorenz是典型的混沌系統，其迭代微分方程組為［15－16］：

為清晰地分析角閃爍的混沌特性，以標準Lorenz模型作為對照模型，給出該模型和角閃爍模型在定性和定量特性上的相似點。參數設置為：序列長度與角閃爍同為18 000點，步長為0.025，σ，r，b的取值分別為0.1，－0.1，－0.02，考慮x分量序列，如圖4左上角所示。在混沌定性驗證分析中，所有軌跡均為歸一化長度，故運動軌跡無量綱。

3.2 混沌定性分析結果比對與分析

如圖4～7所示，混沌定性分析產生三個定性判據：吸引子圖形，主分量分析和龐加萊截面。

從圖4～7右上角吸引子圖形可得，Lorenz模型與三個角閃爍序列吸引子結果均在有限空間內不斷伸長和折疊，構成回復性永不相交的非周期運動，且具有良好的幾何構型，從運動形態上均滿足混沌序列的吸引子特性。

圖7 典型目標角閃爍混沌定性分析

從圖4～7左下角各圖可得，四者的二維龐加萊截面圖上均為成片具有分形結構的密集點，并且密集區域與非密集點區域有明顯的界限，符合混沌序列的龐加萊截面特征。

從圖4～7右下角各圖可得，四者的主分量均具有沿負斜率下降的特性，并且在低嵌入維時主分量迅速下降（圖7的主分量分析明顯表現了該特征），故符合混沌的主分量譜圖特性。

故由定性分析三個判據及判定標準，三組角閃爍序列具有明確的混沌特性。

3.3 混沌定量分析結果比對與分析

根據圖3所示計算流程得到兩種定量判據：關聯維數和最大李氏指數的結果如表2所示，四者關聯維數均為分數，最大李氏指數均大于零，且三組角閃爍序列的最大李氏指數與Lorenz系統的最大李氏指數處于同一數量級。故由定量分析的兩個判據及判定標準，三種角閃爍序列均表現出明顯的混沌特性。

表2 混沌定量分析結果

4 結 論

為獲得角閃爍原始數據，首先進行了同一直線上多散射中心目標的角閃爍仿真，并對典型目標采用GRECO算法進行典型目標動態角閃爍仿真，隨后設計了詳細的混沌驗證流程，以Lorenz系統作為對照，從定性和定量兩個方面驗證了三個角閃爍模型的混沌特性。混沌相關研究表明：混沌具有短期可預測性，且可以依據相關算法對角閃爍進行抑制，從而達到減少丟失目標概率和提高目標識別能力的目的。因此，繼續研究角閃爍的混沌特性及混沌抑制措施具有很高的理論和應用價值。

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