一種多導體傳輸線瞬態響應時間步積分法

史凌峰 成立業 曹成美 孟 辰 蔡成山

（1.西安電子科技大學超高速電路設計與電磁兼容教育部重點實驗室，陜西 西安 710071；2.西安電子科技大學電路設計計算機輔助設計（CAD）所，陜西 西安 710071）

引 言

隨著超大規模集成電路特征尺寸減小、上升時間縮短、集成規模擴大和時鐘頻率提高，互連線產生的延遲、反射、畸變和串擾等效應將引起電路錯誤響應，所以信號互連線之間的耦合已經成為影響電路信號完整性以及系統整體性能的重要因素之一［1］。在高速電路中，把信號連接線作為具有分布參數不等長非均勻有損多導體傳輸線的結構進行建模［2］，并應用傳輸線理論對其進行分析，能夠準確地得到信號連接線上各點的電壓和電流值，從而對改善信號互連線之間耦合具有重要的理論指導和應用價值。頻域分析方法以及宏模型技術能夠方便地處理均勻傳輸線，但是在處理非均勻傳輸線時，算法將變得較復雜，導致計算效率的降低以及失去算法原有的簡潔性。時域有限差分法（FDTD）［3－6］在分析多導體傳輸線的過程中能夠較方便處理非均勻傳輸線，然而FDTD方法的計算結果會因為差分算子的不穩定性產生邊緣振蕩［1，7］，且精度比傳統頻域方法有所降低。

針對上述FDTD方法的不足，作者提出一種時間步積分方法加以克服。首先對電波方程中的空間微分算子進行差分離散，時間微分算子保持不變，得到一組半離散形式的時域方程［7］。再利用梯形積分法對得到的半離散形式的時域方程中時間微分算子進行積分，最終得到分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線瞬態響應的時間步積分方法。利用該方法對不等長多導體非均勻有損傳輸線模型進行數值計算和理論分析，并通過對傳輸線終端端接線性負載和非線性負載的兩種情況進行仿真分析。仿真結果表明了所提方法的正確性和有效性。

1 不等長非均勻有損耗傳輸線的時間步積分算法

不等長非均勻有損耗導體3傳輸線的模型如圖1所示，其中導體1和導體2均為信號線，導體3（圖中未畫出）為一無限大金屬平板，作為參考導體。L1和L2分別為導體1和導體2的長度。VS表示傳輸線始端端接的電壓源，RS1和RS2表示傳輸線始端端接的電阻，RL1和RL2表示傳輸線終端端接的電阻。點A、B、C和D分別表示導體1和2兩端的端點。

圖1 不等長非均勻3導體傳輸線

取導線方向為正z方向，在傳輸線上取任意一小段長度Δz.當Δz足夠小，可以近似采用集總參數建模。該小段的等效電路如圖2所示，且圖2所示的等效傳輸線即為非均勻多導體傳輸線。

圖2 傳輸線的等效集總參數模型

不考慮外界電磁場作用，根據基爾霍夫電壓和電流定律，可得傳輸線方程［3］：

式中：V、I分別為多導體傳輸線上z處在t時刻的電壓和電流矩陣；R和G為多導體傳輸線上z處的單位長電阻和電導分布參數矩陣；L和C為多導體傳輸線上z處的單位長電感和電容分布參數矩陣；R（z）、G（z）、L（z）和C（z）的 單 位 分 別 為Ω／m、S／m、H／m和F／m.

將不等長非均勻有損耗多導體傳輸線按圖3所示的方式沿著正向z的導線傳輸方向進行空間步長為Δz／2離散，整個傳輸線共被劃分為2N段。如圖3所示，將第1個點設為電壓采樣點V1，然后將間隔Δz的采樣點依次設定為電壓的離散采樣點V2，V3，……，VN＋1；同理，將第2個點設為電流采樣點I1，然后將間隔Δz的采樣點依次設定為電流的離散采樣點I2，I3，……，直到IN，始端和終端這兩個端點處的電流采樣點分別設定為I0和IN＋1.這樣電壓采樣點共有N＋1個，電流采樣點共有N＋2個，除始端和終端的電流采樣點外其余的電壓和電流采樣點的間隔均為 Δz／2［8］.

圖3 多導體傳輸線上空間離散電壓和電流采樣點

這樣，根據FDTD方法，離散的電壓和電流采樣點的空間微分算子采用一階中心差分來近似，可以得到如下離散方程式：

對始端和終端電壓采樣點的空間微分算子分別采用一階前向和后向差分公式來近似，得到始端和終端的離散方程［9］：

采用梯形積分法對式（2）中的時間微分算子進行積分，可得

整理后，則有

同理以梯形積分法對式（3）中的時間微分算子進行積分，可得到始端和終端的迭代公式為

整理后得由此得出節點上電壓和電流的隱式表達式：

整理后，則有

式中：Δz、Δt分別為空間和時間的離散采樣步長；k、n分別表示空間、時間的劃分數。通常，為了保證上述算法穩定性，必須滿足Δt≤Δz／v.當取等號時，Δt為最佳時間步長，其中v為電磁波在多導體傳輸線中傳播的最大模速度［10－11］。

2 算法仿真驗證

將圖1所示的導體3不等長非均勻傳輸線作為仿真模型。傳輸線的分布參數為［1］：

式中：L（z）＝387／［1＋k（z）］nH／m，是傳輸線的自感；Lm（z）＝k（z）L（z）nH／m，是傳輸線之間的互感；C（z）＝104.3／［1－k（z）］pF／m，是傳輸線上的寄生電容；Cm（z）＝－k（z）C（z）pF／m，是傳輸線之間的互容［12］；R（z）＝50／［1＋k（z）］Ω／m，是傳輸線上的電阻；G（z）＝0.001／［1－k（z）］S／m，是傳輸線上的電導；k（z）＝0.25［1＋ sin（6.25πz＋0.25π）］.

導體1的輸入電壓源波形如圖4所示，其上升和下降時間為0.5ns、脈寬為5ns、幅度為1V.

利用Ansoft的2DExtractor場求解器對模型進行仿真，可以得出模型中電磁波在導體1和導體2中信號傳播的速度分別為V1＝1.521×108m／s，V2＝1.482×108m／s.因此，為了保證本文提出的時間步積分算法的穩定性，選取傳輸線的傳播速度V1來確定最佳仿真步長。取Δz＝0.002m，根據Δt≤Δz／v，得最佳仿真時間步長為t＝1.315×10－11s.

導體1和2的始端和終端的端接電阻分別設置為：

圖4 激勵源波形

取導體1和導體2的長度均為0.1m，得到等長的非均勻有損耗多導體傳輸線的兩端各點的電壓波形，如圖5所示。在相同的仿真條件下，采用文獻［3－4］提出的FDTD方法，仿真等長的非均勻有損耗多導體傳輸線，其得到的仿真波形如圖5所示。從圖5可以看到，時間步積分法仿真得到的波形能夠有效地消除使用FDTD方法所產生的差分振蕩；除此之外，兩種算法仿真的波形有較好的吻合［13］。因此，作者提出的分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線的瞬態響應的時間步積分方法在分析等長非均勻有損耗多導體傳輸線時是準確和有效的。

當導體1和2的長度分別為0.1m和0.2m時，仿真得到的傳輸線兩端的波形如圖6所示。比較圖6和圖5可知，當導體1的長度不變而導體2的長度增加時，導體1兩端的電壓變化不大，而導體2的D端的瞬態響應時間延長，電壓幅度略有下降，并且波形到達穩定狀態的時間也延長。原因根據傳輸線理論中傳輸線分布參數將造成信號延時解釋。同樣在相同的仿真條件下，使用文獻［3－4］提出的FDTD方法，仿真不等長的非均勻有損耗多導體傳輸線，其得到的仿真波形如圖6所示。從圖6可知，時間步積分法仿真得到的波形能夠有效地消除使用FDTD所產生的差分振蕩。除此之外，兩種算法仿真波形是十分吻合的。因此，作者提出的分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線的瞬態響應的時間步積分方法在分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線時也是準確和有效的。

在多導體長度分別為0.1m和0.2m，且傳輸線無損，即R＝0，G＝0的情況下多導體傳輸線兩端的電壓如圖7所示。比較圖6和圖7可知，傳輸線的損耗使得兩端的電壓有所下降，其與傳輸線的理論相一致。

以上的仿真波形都是在終端端接電阻的情況下得到的。現在考慮終端端接非線性負載電容時傳輸線兩端的電壓波形。仿真模型如圖8所示［1］。導體1端所加的激勵源與前面端接電阻時的激勵源相同。仿真所得的電壓波形如圖9所示。比較圖6和圖9可知，圖9中各點的電壓響應達到穩定狀態所需的時間比圖6所需的時間長，并且電壓幅度比圖6的幅度大。原因是由于非線性負載的存在，點B和點D處的電壓反射系數較大，從點A、C傳來的電壓波到達點B、D后，電壓幅度增大，反射波回到點A、C后，點A、C的電壓幅度也增大，這樣經過多次反射后，各點的電壓響應達到穩定狀態。作者所提出的時間積分法差分格式是一種穩定條件下的差分格式，所選取步長必須在穩定條件下，終端接有非線性負載并且終端無激勵源，這樣以減小數值反射［4］。

根據電容的電壓和電流公式I＝CdU／dt，采用作者提出的時間步積分法可以得到終端短接電容時的公式為

當電容值為2pF時，仿真結果如圖9所示。

3 結 論

針對不等長非均勻有損耗多導體傳輸線之間的耦合計算問題，作者提出一種用于分析不等長非均勻有損耗多導體傳輸線的瞬態響應的時間步積分方法。該方法在對不等長非均勻有損耗多導體傳輸線的建模過程中，能夠較方便地求解耦合狀態下的不等長非均勻有損耗多導體傳輸線。通過仿真驗證結果表明所提方法能夠有效地消除計算結果由于采用中心差分的方法所造成的邊沿振蕩，對不等長非均勻有損耗傳輸線的研究提供理論參考。

［1］TANG Min，MAO Junfa.A precise time－step integration method for transient analysis of lossy nonuniform transmission lines［J］.IEEE Transactions on E－lectromagnetic Compatibility，2008，50（1）：166－174.

［2］CLAYTON R P.Analysis of Multiconductor Transmission Lines［M］.New Jersy：John Wiley ＆ Sons Press.2008

［3］李 莉，冀維林.端接非線性負載的不等長傳輸線瞬態分析［J］.電波科學學報，2009，24（3）：529－532.

LI Li，JI Weilin.Transient analysis of unequal length multiconductor transmission lines loaded by nonlinear device［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（3）：529－532.（in Chinese）

［4］齊 磊，盧鐵兵，崔 翔.端接非線性負載的非均勻傳輸線瞬態分析［J］.電波科學學報，2003，18（2）：153－156.

QI Lei，LU Tiebing，CUI Xiang.Transient analysis for nonuniform transmission lines with nonlinear loads［J］.Chinese Journal of Radio Science.2003，18（2）：153－156.（in Chinese）

［5］張向前，聶在平.基于FDTD的運動導體目標電磁散射仿真［J］.電波科學學報，2009，24（2）：206－212.

ZHANG Xiangqian，NIE Zaiping.Simulation of electromagnetic scattering from moving perfectly conducting objects based on FDTD［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（2）：206－212.（in Chinese）

［6］齊國雷，周東方，饒育萍，等.FDTD方法分析高功率微波粗糙地面散射特性［J］.強激光與粒子束，2010，22（9）：2092－2096.

QI Guolei，ZHOU Dongfang，RAO Yuping，et al.Scattering properties analysis of high power microwave at rough ground with FDTD method［J］.High Power Laser and Particle Beams，2010，22（9）：2092－2096.（in Chinese）

［7］LIU Lei，CUI Xiang，QI Lei.Simulation of electromagnetic transients of the bus bar in substation by the time－domain finite－element method［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2009，51（4）：1017－1025

［8］劉國勝，張國基.高階LOD－FDTD方法的數值特性研究［J］.電子與信息學報，2010，32（6）：1384－1388.

LIU Guosheng，ZHANG Guoji.Study for the numerical properties of the higher－order LOD－FDTD methods［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2010，32（6）：1384－1388.

［9］雷繼兆，梁昌洪，丁 偉，等.并行FDTD－UTD方法分析機載相控陣天線［J］.電波科學學報，2009，24（1）：60－64.

LEI Jizha，LIANG Changhong，DING Wei，et al.A－nalysis of airborne phased－array antennas using hybrid method of parallel FDTD and UTD［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（1）：60－64.（in Chinese）

［10］閻 毅，裴昌幸，韓寶彬，等.平流層量子通信系統地空路徑傳播特性研究［J］.電波科學學報.2008，23（5）：835－846.

YAN Yi，PEI Changxing，HAN Baobin，et al.Study of propagating on earth－space paths in stratospheric quantum communication system［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（5）：835－846.（in Chinese）

［11］馬 平，曾學軍，石安華，等.電磁波在等離子體高溫氣體中傳輸特性實驗研究［J］.實驗流體力學，2010，24（5）：51－56.

MA Ping，ZENG Xuejun，SHI Anhua，et al.Experimental investigation on electromagnetic wave transmission characteristic in the plasma high temperature gas［J］.Journal of Experiments in Fluid Mechanics，2010，24（5）：51－56.（in Chinese）

［12］DOU Lei，DOU Jiao.Sensitivity analysis of lossy nonuniform muliticonductor transmission lines with nonlinear terminations［J］.IEEE Transactions on Advanced Packaging，2010，33（2）：492－497.

［13］梁 玉，郭立新，王 蕊.粗糙面重構問題的混合算法研究［J］.物理學報，2011，60（3）：034102.

LIANG Yu，GUO Lixin，WANG Rui.Investigation on the reconstruction of rough surface with hybrid method［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（3）：034102.（in Chinese）