非高斯相關雜波背景下雷達目標統計檢測方法

馮 訊 王首勇 萬 洋 朱曉波

（空軍雷達學院雷達兵器運用工程軍隊重點實驗室，湖北 武漢 430019）

引 言

統計檢測一直是雷達目標檢測應用的重要方法，其核心是基于雜波的統計分布建立似然比檢測模型。實際中，地、海雜波常呈現顯著非高斯統計特性與相關性［1－2］，球不變隨機過程（SIRP）是一種較好的描述雷達非高斯相關雜波的分布模型［3－5］。該過程可表示為一個零均值高斯隨機過程（稱為散斑分量）和一個非負隨機變量（稱為紋理分量）的乘積，紋理分量的統計分布決定了SIRP的統計分布。但是除特定值外，SIRP的概率密度函數結構復雜甚至無閉合表達式，因此難以建立統計檢測模型或模型十分復雜，不易實現。文獻［6］針對適用于描述海雜波統計特性的紋理分量為Gamma分布的SIRP，給出了確定信號幅度和相位時的GLR檢測統計量，該檢測統計量必需計算復雜的貝塞爾函數。文獻［7］針對適用于描述陸地雜波統計特性的紋理分量為G－Meijer分布的SIRP，給出了確定信號幅度和相位時的GLR檢測統計量，但該檢測統計量同樣需計算復雜的無窮積分。文獻［8］以能較好描述地、海等復雜雜波環境的SG－Alpha穩定分布（紋理分量為Alpha穩定分布的SIRP）為背景，研究了確定信號幅度時的GLR檢測統計量，但由于在該分布條件下信號幅度的極大似然估計量不再是一致估計量，因此無法得到好的檢測性能［8］。文獻［9］利用極大似然估計方法估計目標的幅度和相位，然后通過雜波數據估計紋理分量的概率密度，導出了一種紋理分量統計分布無法確定時的檢測統計量，但該檢測統計量須采用大量鄰近距離單元的純雜波數據對紋理分量的概率密度進行逼近。此外，在非高斯相關雜波背景下，如果信號或雜波參數為隨機變量（實際情況如此），建立似然比檢測模型更加困難，甚至無法實現，限制了似然比統計檢測的應用。

粒子濾波是一種基于蒙特卡洛和遞推貝葉斯估計的濾波方法，適應于非線性系統、非高斯環境下的系統狀態估計問題［10－11］。將該理論應用于統計檢測將能較好地解決似然比檢測在非高斯條件下難以構造檢測統計量的問題，但目前這方面的研究還處于起步階段。2003年Yvo Boers［12］首次提出將粒子濾波運用于統計檢測中的思想，但只針對高斯模型對此結論進行簡單論證，還需深入研究。本文從實際出發，考慮雜波和信號參數為隨機變量，應用粒子濾波方法，依據參數的概率分布函數抽取粒子，將復雜積分運算轉化為求和運算求取似然函數，給出了似然比檢測的通用模型。最后運用能較好描述復雜地、海雜波的非高斯特性和相關特性的SG－Alpha穩定分布［8］作為雜波模型通過仿真實驗驗證本文方法的有效性。

1 理論分析

1.1 基本粒子濾波算法

設系統的狀態方程為

觀測方程為

式中：xk表示k時刻n維狀態矢量；zk表示k時刻m維觀測矢量；uk、vk分別為過程噪聲和觀測噪聲矢量。濾波的目的是根據觀測序列z1：k＝ ｛z1，…，zk｝估計狀態xk.狀態方程對應的是系統狀態轉移概率密度p（xk｜xk－1），觀測方程對應的是似然函數p（zk｜xk）。xk的最小均方誤差估計為xk的條件均值。即

式中p（xk｜z1：k）為xk的條件概率數學期望。由于上述積分通常不易求出，粒子濾波的基本思想是假設能夠從后驗概率密度為p（xk｜z1：k）的xk中獨立抽取Ns個粒子｛，i＝1，…，Ns｝，則xk的條件期望可用粒子的均值進行逼近，即

一般不易直接根據后驗概率p（xk｜z1：k）抽取粒子。通常可借助已知的重要性分布函數π（xk｜z1：k）從中進行抽樣，這時狀態的估計值為

1.2 基于粒子濾波的似然比檢測模型

雷達目標檢測可表示為以下二元假設檢驗問題：

式中：為觀測數據序列；a、φ分別為信號幅度和初相，通常a服從瑞利分布，φ在［0，2π］上服從均勻分布，且相互獨立；fd為目標多普勒頻率；為雜波，將式（7）寫為矢量形式

式中：

式中：τ為一個隨機變量（稱為紋理分量）；是協方差矩陣為M＝E（）的N維零均值復高斯隨機矢量（稱為散斑分量），且τ與獨立。似然比檢測就是當

時判H1.式中

為 H1條件下的似然函數，p（a，φ，τ）為隨機變量a、φ、τ的聯合概率密度，通常a、φ、τ為相互獨立的隨機變量，因此p（a，φ，τ）＝p（a）p（φ）p（τ），其中p（a）、p（φ）、p（τ）分別表示a、φ、τ的概率密度，則

式（10）中

為H0條件下的似然函數，λ為檢測門限，依據給定的虛警概率確定。需要說明的是，當為非高斯分布時，通常很難導出的具體表達式，限制了似然比統計檢測的應用。為此本文基于粒子濾波方法，建立似然比統計檢測模型，將式（12）、（13）代入式（10）得到

式中Ea、Eφ、Eτ分別表示對a、φ和τ求數學期望，依據a、φ、τ的概率分布抽取粒子ai、φj、τk，則基于粒子濾波的似然比為

取粒子濾波運算中的權值wijk＝p（~z｜ai，φj，τk），wk＝p（~z｜τk），則式（15）可寫為

式（16）即為基于粒子濾波的似然比統計檢測模型。依據文獻［12］可得

將式（8）代入式（17）后化簡得到

式（18）表明，在粒子數Ns無窮大時基于粒子濾波的似然函數與真實似然函數是相等的。在實際中由于粒子數通常是有限的，基于粒子濾波的似然函數可能會偏離真實似然函數，導致檢測性能的下降。為避免此問題的發生，本文利用重采樣方法［8］，計算粒子權值后進行重采樣，利用重采樣后的粒子重新計算權值，使基于粒子濾波的似然比與真實似然比的差異降低。基于粒子濾波的統計檢測實現如下：

Step 1 根據信號幅度和初相以及紋理參數τ的概率分布分別抽取粒子 ｛ai，φj，τk｝i，j，k＝1，2，…；

Step 2 根據雜波的概率分布函數計算權值wijk和wk，i，j，k＝1，2，…，Ns，權值歸一化為

Step 3 對粒子進行重采樣得到，i，j，k＝1，2，…，Ns；

Step 4 由重采樣后的粒子重新計算似然權值＝p（｜），＝p（z~｜）。

最后根據式（16）計算似然比，并進行判決。

1.3 基于SG－Alpha分布的粒子濾波似然比檢測模型

為說明本文方法的優勢，以SG－Alpha穩定分布作為非高斯相關雜波模型。SG－Alpha穩定分布隨機過程是一類常用的SIRP，已經證明，該分布能夠較好地描述實際中的非高斯地、海雜波［8］，為此本文應用粒子濾波方法給出在該分布下的檢測統計模型。SIRP的概率密度函數［9］均可寫為

依據粒子濾波原理和式（19），式（16）中權值wk可寫為

權值wijk可寫為

SG－Alpha穩定分布雜波的紋理分量τ是服從特征指數為α／2，分散系數為cos2（πα／4），位置參數為0，偏移系數為1的Alpha穩定隨機變量。特征指數α越小，雜波幅度的概率密度拖尾越重，“雜波尖峰”特征越明顯，非高斯性越強。根據信號參數a，φ和雜波的紋理分量τ的概率分布對其進行抽樣得到粒子｛ai，φj，，依據上節基于粒子濾波的統計檢測實現步驟進行重采樣，并根據式（20）和（21）計算權值＝p（~z｜ai，φj，τk）＝p｜τk），代入式（16），得到SG－Alpha穩定分布背景下基于粒子濾波的似然比檢測統計量

在計算檢測統計量時需要估計協方差矩陣M，本文采用文獻［8］中共變矩陣法在H0條件下進行估計。實際中，式（7）的多普勒頻率fd是未知的，可應用覆蓋目標運動的一組fd，利用下式作為檢測統計量：

對于其它一些能夠描述非高斯相關雜波統計和分布特性的SIRP，如相關K分布、相關韋布爾分布等，在信號幅度和相位隨機時建立似然比檢測模型均需要計算復雜的重積分，通常無法導出檢測統計量。本文提出的基于粒子濾波的統計檢測方法是一種通用檢測模型，只需已知雜波的分布函數以及信號幅度與相位的分布特性即可建立檢測統計量，無需計算重積分，因此結構簡單實用。

2 實驗結果分析

2.1 高斯相關雜波背景下仿真分析

為驗證高斯相關雜波背景下基于粒子濾波似然比檢測方法的性能，與傳統似然比檢測方法進行仿真比較。仿真中設定式（7）中信號幅度a服從瑞利分布，初相φ服從［0，2π］上的均勻分布，粒子數Ns＝500.雷達相參脈沖積累數N為8，脈沖重復頻率為1 000Hz，虛警概率設定為Pf＝10－2、10－3、10－4，檢測門限根據給定的虛警概率求得。假設多普勒頻率已知，分別位于主雜波區和非主雜波區兩種情況。根據復高斯聯合概率密度，應用式（16）并化簡得到高斯相關雜波背景下基于粒子濾波方法的檢測統計量為

式中：是根據復高斯聯合概率密度得到的粒子權值；M~v表示復高斯隨機矢量的協方差矩陣。傳統似然比檢測在高斯相關雜波背景下，信號參數未知時的檢測統計量［9］為

圖3給出了目標多普勒頻率處于主雜波區情況下的檢測曲線。從圖中可以看出，在不同Pf情況下，本文方法優于傳統方法。當Pf＝10－4，Pd＝0.5時，本文方法比傳統方法信雜比改善了約0.4dB.

圖3 高斯相關雜波條件下本文方法與傳統方法檢測性能比較（fd＝－125Hz）

2.2 SG－Alpha穩定分布雜波背景下仿真分析

為檢驗在非高斯相關雜波條件下基于粒子濾波似然比檢測方法的性能，分別在不同參數的SG－Alpha穩定分布雜波條件下應用本文方法（式（22））與傳統方法（式（25））進行比較。根據式（9）產生復SG－Alpha穩定分布雜波數據，其中分別取α＝1.95，1.80，1.70.雷達相參脈沖積累數N設為8，脈沖重復頻率為1 000Hz，粒子數Ns＝500，虛警概率Pf＝10－3，檢測門限根據給定的虛警概率求得。由于Alpha穩定分布隨機變量不存在二階矩，所以傳統基于二階統計量的功率譜估計不再適用。因此，根據文獻［14］計算雜波的共變譜，并采用以下廣義信雜比［16］：

式中：（n）＝aexp｛j（2πfdn＋φ）｝；γ為Alpha穩定分布隨機變量的分散系數，依據文獻［16］中的方法估計得到。圖4所示為α＝1.70時SG－Alpha穩定分布雜波的共變譜曲線（20次獨立仿真的平均）。取目標多普勒頻率fd分別為－125Hz和125Hz.圖5給出了目標多普勒頻率處于非主雜波區時，兩種方法在不同雜波參數條件下的檢測曲線。從圖中可以看出，本文方法檢測性能明顯優于傳統方法，當Pd＝0.5，α分別為1.95和1.80時，本文方法比傳統方法的信雜比分別改善了約2.5dB、6.5dB.當α為1.70時，傳統方法失效。α值越小（雜波非高斯性越強）時，本文方法的信雜比改善越大。

圖6給出了目標多普勒頻率處于主雜波區時，兩種方法在不同雜波參數條件下的檢測曲線。從中可以看出，本文方法檢測性能明顯優于傳統方法，當Pd＝0.5，α為1.95時，本文方法比傳統方法的信雜比分別改善了約2.5dB.α分別為1.80和1.70時，傳統方法失效。

2.3 采樣粒子數對本文算法的影響

為分析采樣粒子數對本文算法的影響，在高斯雜波條件下應用本文方法（式（24））在不同采樣粒子數條件下對檢測性能進行仿真。設定粒子數Ns分別取50，100，200，500，1 000.圖7所示為不同采樣粒子數時本文方法的檢測性能曲線。從圖7可以看出當采樣粒子數超過200后本文方法的檢測性能變化不大，這表明基于粒子濾波的似然比檢測方法并不要求過多的粒子數。

圖7 采樣粒子數對檢測性能的影響（fd ＝ －125Hz，Pf ＝10－3）

3 結 論

在實際中，由于雷達通常面臨非高斯相關雜波，導致傳統檢測方法的檢測性能顯著降低，甚至失效。但在非高斯相關雜波條件下，通常無法建立統計檢測模型。本文應用粒子濾波方法給出了非高斯相關雜波、隨機信號參數條件下的似然比檢測通用模型。該模型計算簡單，適合工程應用。此外，基于能較好描述雷達雜波統計及相關特性的SG－Alpha穩定分布，給出了似然比檢測統計量，通過仿真與傳統的似然比檢測方法的性能進行比較，結果表明，在非高斯相關雜波情況下，本文方法的檢測性能明顯優于傳統的檢測方法。

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