共道干擾下多入多出系統功率分配最優化問題

姚志強 王萬蕾 裴廷睿 彭 滔 盛孟剛

（1.湘潭大學信息工程學院，湖南 湘潭 411105；2.智能計算與信息處理教育部重點實驗室，湖南 湘潭 411105）

引 言

構成多輸入多輸出（MIMO）信道的獨立傳輸鏈路在沒有共道干擾的通信中可以極大地提高網絡容量［1－2］，已 經 是 無 線 局 域 網 （WLAN）IEEE 802.11n［3］、無線城域網（WMAN）IEEE802.16e［4］，以及下一代移動通信網（如LTE）［5］的核心技術。而當系統中存在共道干擾時，雖然會影響單條鏈路的信道容量，但如果對系統傳輸方案進行優化設計，卻可以利用同時傳輸鏈路數的增加，獲得更大的網絡容量［6－7］，比如多用戶 MIMO 系統、分布式 MIMO系統以及MIMO Ad hoc網絡［8］。根據MIMO共道干擾通信理論［6－10］，即使在存在共道干擾的情況下也能在一定條件下分離多個獨立的數據流，這樣就能使網絡具有多對節點同時通信的模式，增加數據交換節點的數量，進一步提高網絡容量［6］。

Blum首先給出了共道干擾情況下MIMO信道模型和容量模型以及發射端工作在信道信息（CSI）未知狀態時 MIMO 系統的信道容量［9］。文獻［10－11］則分別給出了CSI已知情況和部分已知情況下系統的信道容量。怎樣確定有干擾情況下的MIMO鏈路的信道容量見文獻［12－13］.Y.Song提出觀點來解決兩個問題［13］：干擾如何影響MIMO系統？通過理論分析，哪種干擾環境更可取（或更不可取）？文獻［14－16］評估了估計信道和干擾對容量的影響，通過仿真研究了信道容量與天線數目變化的關系，文獻［17］給出了大量天線限制下的閉型解決方法，其中包括了干擾存在的情況。Blum證明在弱干擾情況下，平均分配功率可以使信道容量達到最大，而在強干擾情況下，使用單一發射天線可以使系統信道容量最大化［9］。文獻［18］－［25］在文獻［9］的基礎上，進一步討論了從最優信號和天線選擇的角度來最大化互信息的方法，如獨立注水、迭代注水、平均分配功率、最小誤比特率功率分配、單流量方案、全局和迭代梯度投影算法等。

目前，研究工作正從單純的共道MIMO容量研究，轉為研究網絡應用中共道干擾下的系統優化設計，如移動通信網中如何消除MIMO多用戶共道干擾、Ad hoc網絡中MIMO節點如何克服共道干擾以實現多對節點同時通信等問題。本文的目標是通過對信道模型的分析和信道互信息最大化條件的歸類，總結在各種共道干擾情況下最大化MIMO系統容量的優化方法，分析在不同共道環境下的優缺點，為工作在共道環境下的MIMO系統最佳信號設計提供參考。同時，指出目前共道MIMO系統優化設計存在的不足，提出這一領域進一步的研究方向。

1 系統模型

式中：ρl表示用戶l信噪比；Hl，l表示用戶l發射天線與接收天線之間的信道矩陣；xl表示用戶l的輸入信號；ηl，j表示用戶j產生后由用戶l接收的干擾噪聲比；Hl，j表示用戶l接收天線與用戶j發射天線之間的信道矩陣；噪聲向量nl是獨立同分布的零均值和單位方差復高斯向量，其協方差矩陣為I.

為了簡單起見，假設所有的干擾信號xj，j＝1，…，L，j≠l對接收端是未知的，并把它們建模為高斯分布，這是MIMO問題中最常見的最佳信號的形式。歸一化xj使得干擾信號協方差矩陣Qj＝E｛｝滿足tr（Qj）＝1，j＝1，…，L.對于每個用戶在不知道準確的干擾環境而選擇信號傳輸方案時，這種模型是非常適合的。

所要討論的L條鏈路共用同一個時間帶寬／頻率帶寬的情況，如圖1所示（L＝6），其中實心圓代表信源節點，空心圓代表目的節點，節點1、2、3分別向節點4、5、6發射數據，實線代表信號流，虛線代表干擾流。

圖1 六節點網絡模型

我們在帶反饋的平坦瑞利衰落信道下進行研究，即每個信道矩陣由獨立同分布（IID）的復高斯隨機變量組成，具有零均值和單位方差，其實部和虛部符合N（0，1／2）分布；同時，考慮L個用戶的MIMO系統，系統中每個用戶有Nt個發射天線和Nr個接收天線，且每個用戶都收到來自其他L－1個用戶的共道干擾。L個用戶的發射端發送獨立數據，接收端利用單用戶檢測獨立解碼。

用戶l接收的（Nr×1）復基帶信號模型［10］為

假設發射端獲得了完美的信道狀態信息（CSI），對給定的H1，1，…，HL，L，通過最大化Il（Q1，…，QL）或I（Q1，…，QL）來最大化信道容量，同時獲得帶反饋（CSI已知）MIMO系統的最佳發射信號矩陣。基本的思想如下：

根據凸優化理論［26］，設ΦPSD1＝｛｜A是半正定的且tr（A）＝1｝是一個單位跡半正定矩陣的凸集合。構造一個凸組合（Q1，…，QL），它由兩個可行集合（Z1，…，ZL）∈ΦPSD1和（X1，…，XL）∈ΦPSD1組成，其表達式為

根據這個模型，研究L個用戶系統的最優信號設計問題，就變成了在給定的H1，1，…，HL，L下，尋找最佳的Q1，…，QL∈ΦPSD1最大化I（Q1，…，QL）.

這里，我們關注的是L個用戶系統性能I（Q1，…，QL），而不是單用戶性能Il（Q1，…，QL）.由式（4）得到，系統互信息I（Q1，…，QL）的特征取決于信噪比（RSN）（ρl，l＝1，…，L）和干擾噪聲比（RIN）（ηl，j，j＝1，…，L，l≠j），同時從凹凸函數判斷性質可以得到，I（Q1，…，QL）的凹凸性取決于發射信號協方差矩陣Q1，…，QL關于t的二次導數。

文中用到的一些數學表述：（·）＊代表共軛；對矩陣A，AT表示轉置，A?表示共軛轉置，tr（A）代表矩陣的跡；對矩陣A＝［sij］有A＋＝［max（sij，0）］；I代表單位矩陣，O代表零矩陣。

2 最大化信道容量方法分析

由前面系統信號模型可知，系統互信息取決于信道RSN和RIN，所以根據RSN和RIN所占的比例，分析不同情況下噪聲和干擾對系統互信息的影響，并得出不同的解決方案。下面對RSN－RIN空間不同情況下所采用的決定發射信號協方差矩陣的數值方法進行討論，并對其性能和復雜性進行對比分析。

2.1 RIN和RSN都很小

假設干擾很小時，ηl，j→0，最大化互信息的最佳信號［10］為

式中：是一個Nt×Nt階且元素全為1的矩陣；0≤γl≤1，l＝1，…，L.在這種情況下，最佳方案隨RSN變化，當RSN也極小，即ρl→0時，最佳解在γl＝0時出現，也就是說，最佳信號設計為全1矩陣在每根發射天線上的平均分配：

2.2 RIN＜＜RSN（RSN占支配地位）

2.3 RIN＞＞RSN（RIN占支配地位）

2.4 一般情況

2.4.1 迭代注水

當干擾比較小時，采用迭代注水的思想實現納什均衡。文獻［18］采用迭代方法來決定最優發射相關矩陣和接收轉換。在每一次迭代中，每個收發對在接收端測定干擾，同時優化總發射功率下各自的容量。在下一次迭代中，接收端干擾是不同的，計算的傳輸相關矩陣更接近最優值。這種方案使系統的發射功率最為合理的分配到各個子支路中，使得信道容量的增益取得最大值，但它同時需要用戶l發射端已知自身信道狀態信息Hl，l和干擾加噪聲協方差矩陣Rl.由于用戶持續迭代，增加了計算復雜度，且通過數值方法結果顯示，這個算法并不總是收斂。

文獻［19］致力于解決在向量輸入向量輸出的高斯多接入信道中尋找最佳發射協方差矩陣的問題，提出采用迭代注水算法來達到最佳信號方向與每條鏈路最佳功率分配的均衡。而文獻［20］在 MIMO高斯干擾信道下，提出了采用迭代注水算法最大化每條鏈路互信息的理論構想，并且此算法對信道矩陣沒有做任何假設，因此，可以應用到任意MIMO干擾系統中。

2.4.2 獨立注水

上面的情況下存在特例：當干擾為0，即ηl，j＝0時，Rl＝I，采用獨立的注水方案可以得到最佳系統性能。系統中用戶根據自身信道狀態信息決定自身協方差矩陣，獨立的運用傳統注水［1］，得出最佳互信息。這種方案只需要知道用戶自身的信道狀態信息Hl，l，且復雜度很低。

2.4.3 梯度投影算法

一個用戶的協方差矩陣的變化會導致所有用戶互信息的改變，因此，為了得到系統容量，發射端在決定自身協方差矩陣時必須以特定方式合作，從而得到最大的自身互信息并對其他用戶產生最小的干擾。可以采用多種凸優化的方法來尋找最優發射協方差矩陣Ql，不同的方法可以得到不同的結果，得到的系統性能和復雜度也并不相同。如采用牛頓迭代法和最速下降法，可以得到最優的發射協方差矩陣Ql，但它們具有大計算量、高復雜度、對矩陣運算要求高等缺陷。考慮到系統復雜性方面（包括矩陣變量和矩陣運算）的要求，目前采用的是凸約束問題中無約束最速下降法的一種擴展算法——梯度投影（GP）算法［27］。用戶數目越大，我們通過梯度投影算法得到的改善越大。我們的目的是在Q1，…，QL∈ΦPSD1的情況下，最大化式（3）中的互信息I（Q1，…，QL）.在文獻［25］中，根據用戶更新協方差矩陣的方式，有全局梯度投影和迭代梯度投影兩種算法，下面進行簡單介紹。

1）全局梯度投影

全局梯度投影的過程是：給定初始值Q1（0），…，QL（0），選擇合適的步長αk，根據下式（8）來對其進行更新：

式中：Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αk≤1是步長，sk是一個標量，αk和sk通過在可行方向上利用Armijo規則來決定，i＝1，…，L，▽QiI（Q1（k），…，QL（k））是互信息在Q1（k），…，QL（k）處的梯度。由于Qi（k＋1）是Qi（k）和）的凸組合，所以Qi（k＋1）總是屬于ΦPSD1.這個更新過程一直持續到其收斂到穩定點，對任意Q∈ΦPSD1滿足〈▽I），Q－〉≤0.

這種方法的優勢在于它算法簡單，在約束條件下得出最優解的效率比較高，矩陣運算沒有那么復雜，但是它的復雜度比起迭代注水要高得多，且需要一個集中控制，這個集中控制掌握了所有信道狀態信息和全部用戶的協方差矩陣，并通過這些信息使得用戶更新他們的協方差矩陣。

2）迭代梯度投影

迭代梯度投影是基于全局梯度投影的，它是一個分布式算法，用戶通過迭代方法更新自身協方差矩陣。在每一次迭代過程中，當其他用戶協方差矩陣還沒改變時，用戶l利用梯度投影方法來更新自身協方差矩陣Ql.

迭代梯度投影的過程是：選取初始值Q1（0），…，QL（0），選擇合適的步長αki，根據下式（10）來對其進行更新：

式中，Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αki≤1是步長，ski是一個標量，αki和ski通過在可行方向上利用Armijo規則來決定，i＝1，…，L.根據梯度投影算法的性質，我們有I（Q（k＋1））≥I（Q（k））.由于I（Q）是上界，迭代梯度投影算法可以確保是收斂的，它總是收斂到一個穩定點。

相比于全局梯度投影算法，迭代梯度投影算法的優勢在于它不要求用戶即時更新，所以不需要集中控制。每個用戶只要知道必要信息，就可以自己更新自己的協方差矩陣。在這個意義上，此算法有點類似于納什均衡［1］中每個用戶獨立地最大化函數值。不同的是，這個算法中每個用戶最大化系統互信息，而納什均衡中每個用戶最大化自身互信息。此算法與全局梯度投影算法一樣，每個用戶需要知道所有信道狀態信息和全部用戶的協方差矩陣，且復雜度也比較高。

2.4.4 主要方案性能對比

根據文獻［25］中的性能仿真，可以得到目前常用的獨立注水、納什均衡和迭代梯度投影算法（包括迭代梯度投影和全局梯度投影）的遍歷互信息對比，其中迭代梯度投影算法和全局梯度投影算法的性能基本一致，在這里統稱為GP（梯度投影）算法。對于2×2MIMO系統，用戶L＝2，信噪比RSN為0dB和10dB時的性能如圖2所示。

圖2顯示，獨立注水性能是最差的，而梯度投影算法能給出最佳性能。當RIN很小時，GP算法可以獲得最佳性能，而獨立注水和納什均衡的仿真結果也非常接近最佳性能；在干擾噪聲都比較大的時候，納什均衡很明顯地超越了獨立注水算法，而GP算法相對納什均衡有所改善。

本文根據RIN和RSN所占比例，對不同情況下使用的不同方案進行了簡要介紹，表1從復雜度、發射端用戶l需求信息、收斂性、協作、集中控制、最佳條件幾個方面對各個方案進行了對比。

表1 方案對比

3 存在的問題

綜合目前的研究成果來看，共道干擾MIMO系統最優信號設計的研究還存在以下不足：

1）最優解問題

在存在共道干擾下的MIMO系統中，最優性問題求解在于怎樣在給定條件下得到最大信道互信息，可以簡單表示為

如果僅考慮空間（時不變）功率調度，每條鏈路的信源協方差矩陣僅優化自身互信息，這種非協作特性必定導致類似納什均衡［28］的次優解。目前，梯度投影算法［24－25］應用于考慮空間和時間結合的功率調度時，提供了更高的容量，但這個方案具有非凸性，也只能保證局部最優解。

2）網絡結構

大部分文獻考慮的是一個對稱網絡，并未考慮非對稱網絡情況下的空時功率調度問題。對稱網絡中，對于遍歷容量不會出現公平性問題，而一旦是非對稱的網絡，公平性問題隨之產生，代價函數也會改變。在圖3［29］中給出一個非對稱網絡示例，其中五個節點均勻對齊成一條直線，形成了一個到達共同接入點AP的傳遞鏈。在給定的時間／頻率帶寬R、3R、5R內，實線箭頭所示的三條鏈路可以進行功率調度。由于沒有能在同一時間／頻率帶寬發射和接收的節點，虛線箭頭所示的兩條鏈路不得不在另一個不同的時間／頻率帶寬內進行調度。文獻［29］對此進行了詳細分析。到目前為止，對于非對稱網絡的通用準則是“成比例公平”，形式為鏈路容量的對數和。

圖3 非對稱網絡示例

3）信息需求問題

當僅考慮空間功率調度時，所需要的是信道矩陣和發射協方差矩陣的完整信息，這在實際中非常困難；而在僅考慮干擾特別強（凸函數）和特別弱（凹函數）兩種情況時，每條鏈路需要假設一個時不變發射協方差矩陣。近年來，部分學者在帶反饋的MIMO干擾系統下設計最優信號方案［11］，或在接收端根據反饋所得的信道狀態信息和函數凹凸性以及相關矩陣運算，得到最佳功率調度方案［23，25］。目前，在發射端未知瞬時信道狀態信息時，已有研究者對分布式MIMO鏈路設計了空時功率調度方

案［24］。

4 結 論

本文系統分析了不同的RIN（干擾噪聲比）和RSN（信噪比）情況下系統所采用的解決方案，當干擾極小時，系統采用等功率分配來獲得最佳性能；當干擾極大時，系統采用單流量方案可以得到最佳性能；而在存在干擾的一般情況下，相比于注水方案和納什均衡方案，全局梯度投影算法和迭代梯度投影算法可以得到最佳系統性能。在分析的過程中，發現了第3節中所存在的最優解問題、網絡結構問題以及信息需求問題，根據這些問題，下一步的研究工作可從以下幾個方面開展：

1）深入分析共道干擾下MIMO系統容量的凹凸性問題，找出解決非凸問題的最佳辦法，如尋找一個分布式算法，它具有更小的復雜性且需要的信息比迭代梯度投影方法更少，同時它能比納什均衡提供更好的性能。目前，已有研究者在MIMO Ad hoc網絡中提出基于博弈論的理論方法，它相較于注水與梯度投影可以提供更高的能量效率和系統容量。

2）減少搜尋算法的復雜性，利用一些統計量來代替瞬時值，解決最佳功率調度的最佳性問題。

3）考慮空間相關性及其自由度，利用天線選擇相關技術得到MIMO系統最佳性能，尋找更好的天線選擇方案，從而最大化MIMO系統容量。

4）基于本文中對稱網絡下共道干擾MIMO系統的相關研究，考慮非對稱網絡，尋找更好的方法來解決公平問題。

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