無理式系統的主共振分岔分析

劉延彬，陳予恕，曹慶杰

(哈爾濱工業大學 航天學院137信箱，哈爾濱 150001)

在過去的一個世紀中，非線性動力學取得了巨大的成就［1］。傳統的非線性動力學解析方法分析的研究對象為多項式系統，對于含有無理式的非線性微分方程，均將無理式展開成多項式形式。多項式僅僅是無理式的一種局部近似，當研究非線性系統的非局部行為時，多項式近似逼近無理式會帶來偏差，甚至得到的一些性質根本不是原系統的性質。目前人們對無理式系統的理解仍然具有很大的偏差，不能滿足研究和工程應用的需要，而工程中存在大量的無理式系統，例如:油膜力，非線性氣動力等［2－4］，為此，研究無理式系統的性質是重要，而且是十分必要的。曹慶杰等［2］研究了SD振子，得到了SD振子的動力學特性，該工作是比較系統的研究無理式系統的工作。雖然有一些工作開始關注無理式系統，但是由于無理式系統求解是十分困難的，大部分工作均是基于數值模擬，不能滿足研究和應用的需要。

本文采用平均法、奇異性理論［5－6］及吸引盆研究了一類無理式系統的性質，該類無理式系統是由彈簧－連桿機構構成，雖然彈簧是線性的，由于幾何特征，彈簧表現為非線性的恢復力。該系統依賴于參數 α，當 α＞0時，系統為正的非線性剛度，表現出硬特性;當α=0時，系統為線性系統;當α＜0時，系統為負的非線性剛度，表現出軟特性。該系統刻畫了系統從線性系統到非線性系統及從負剛度系統到正剛度系統的變化過程，是一類典型的非線性動力學方程。

1 系統方程的建立及分析

本文研究彈簧－連桿機構，機構如圖1所示:

圖1 連桿模型Fig.1 The model of linkage mechanism

O點為鎖機構，當小球運動到B運動到 O點，系統鎖住，不再運動。忽略連桿及滑道中小球的B質量。忽略小球B所受的摩擦力，設滑塊A的質量為 m，取 O點為平衡點，以x方向為正方向，可以建立運動方程如下:

當α＞0，即T＞0時，方程(2)為正的非線性剛度，表現出硬特性;當α=0，即T=0時，方程(2)為線性系統;當α＜0，T＜0時，方程(2)為負的非線性剛度，表現出軟特性。因此該系統刻畫了系統從線性系統到非線性系統及從負剛度系統到正剛度系統的變化過程，是一類典型的非線性動力學方程。

2 方程的主共振分析

當α=0時，方程(2)為線性系統，本文只研究α≠0時的情況。當系統產生共振時，滿足以下關系式:

δ為調諧參數。設方程(2)的解為:

則方程(2)成為:

由平均法可得:

系統的幅頻曲線方程為:

其中K和E為完全橢圓函數。由式(3)和方程(7)可得:

當 ω0=1，α =0.1，f=0.5，ξ不同時，系統的幅頻曲線如圖2(a)所示;.當 ω0=1，f=0.5，ξ=0.1，α 不同時，系統的幅頻曲線如圖2(b)所示，當ω0=1，ξ=0.1，α=1，f不同時，系統的幅頻曲線如圖2(c)所示。

圖2 系統的幅頻曲線Fig.2 The curves of amplitude and frequency

圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)所示系統的幅頻曲線與Duffing方程的幅頻曲線類似［1］，區別在于:① 圖2(b)和圖2(c)顯示出在一定的參數下，系統不存在周期解，這種現象對應實際物理系統中的鎖死現象;②系統主共振時，系統的振動幅值不會超過1。③ 在圖2(b)和圖2(c)中，有的曲線不閉合，而Duffing方程的幅頻曲線均是閉合的。為了進一步弄清這些規律，我們利用奇異性理論的方法對振幅方程進行分類研究。

3 奇異性分析

選ω為分岔參數，選α，f和ξ為開折參數，設函數H(A，ω)為:

因為0＜A＜1，完全橢圓函數可以展開成泰勒級數。

設:

則方程(9)可以寫為:

由方程(11)，方程(12)可得:

其中:Hz、Hzz、Hω代表對 z、ω 的導數。令的轉遷集為:

且B集為:H=Hz=Hω=0，H 集為:H=Hz=Hzz=0，所以:

B、H和D分別為分岔集、滯后集和雙極限點集。轉遷集在參數空間(f，a，ξ)如圖3所示。

圖3所示的轉遷集曲面過于復雜，不利于直觀的對參數空間進行分類，為此，我們采用固定 ξ，以參數f和α劃分參數空間，以便進一步研究系統的分岔特性。

當 ξ=0.01 時，系統的區間劃分如圖4(a)所示。當ξ=0.1時，參數區間劃分為如圖4(b)所示。

圖3 轉遷集曲面Fig.3 The curved surfaces of transition set

圖4 轉遷集Fig.4 Transition set

當ξ=0.01時，轉遷集將參數區間分為五個區域，各個參數區間的幅頻曲線如圖6所示。

由圖5可以看出，當ξ=0.01時，系統的幅頻曲線共有五種形式，其中圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)的幅頻曲線均是不閉合的，這是無理式系統的特點，在多項式Duffing方程中是不具備的。

當ξ=0.1，轉遷集將參數區間分為四個區域，各個參數區間的幅頻曲線如圖7所示。

圖5 ξ=0.01時，系統分岔圖Fig.5 The bifurcation diagrams，when ξ=0.01

圖6 ξ=0.1時，系統分岔圖Fig 6 The bifurcation diagrams，when ξ=0.1

由圖6可以看出，當ξ=0.1時，系統的幅頻曲線共有四種形式，其中圖6(a)、圖6(b)和圖5(a)、圖5(b)是一樣的;但是增加了兩種拓撲結構，6－c和6－d。6－c和6－d的幅頻曲線特性在Duffing方程中也是存在的。

4 系統的吸引盆分析

在多項式系統中，系統的任何初值都會收斂到相應的周期解上，由于方程(2)是無理式系統，并不是所有的初值條件都能收斂到周期解，這也是無理式系統不同于多項式系統的地方，故有必要研究系統的吸引盆。在以下的計算中，取 ξ=0.01，ω0=1。當 α =0.2，ω =1.5，f不同時，得到圖7。.當 α =2，ω =2，f不同時，得到圖8。在圖7中，系統只有一個周期解，其中P為吸引域，可以看出，當f增大時，系統的吸引域減小。在圖8中，系統有兩個個周期解，其中P、Q為吸引域，可以看出，當f增大時，系統的兩個吸引域均減小，且隨著 f增大，吸引域Q消失，吸引域P進一步減小。

圖7 當α=0.2，ω=1時，系統的吸引域Fig.7 The basin of attraction when α =0.2

5 結論

圖8 當α=2，ω=2時，系統的吸引域Fig.8 The basin of attraction when α =2，ω =2

本文所研究的無理系統刻畫了振動系統的演化過程，當外力T從小到大改變時，系統從弱的非線性剛度到強的非線性剛度轉化;當外力T=0時，系統從非線性系統轉換成線性系統;當從T負到正改變時，系統從負的非線性剛度系統轉換成正的非線性剛度系統。研究結果表明:

(1)無理式系統的特性有別于多項式系統，不能完全由多項式系統代替。

(2)當阻尼參數不同時，系統的幅頻曲線的拓撲結構會不同。

(3)在一定的條件下，無理式系統不存在周期解。

(4)在其他參數不動時，隨著f的增大，吸引域減小。

［1］陳予恕.非線性振動系統的分岔和渾沌理論［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［2］Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al.An archetypal oscillator for smooth and discontinuousdynamics，Phys.Rev.E 74(2006)046218.

［3］Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al.Piecewise linear approach to an archetypal oscillator forsmooth and discontinuous dynamics， Philos. Trans. R. Soc. A 366(1865)(2008)635－652.

［4］曹慶杰，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，等.SD振子，SD吸引子及其應用［J］.振動工程學報2007，5.

［5］Golubitsky M，Schaeffer D G.Singularities and groups in bifurcation theory［M］.New York，Berlin，Heidelberg，Tokyo:Springer-Verlag，1984.

［6］陸啟韶.常微分方程的定性方法和分叉［M］.北京:北京航空航天大學出版社，1989.