一種改進的基于相位差法的頻譜校正方法

胡文彪，夏 立，向東陽，吳正國

(海軍工程大學 電氣與信息工程學院，武漢 430033)

頻譜分析是數字信號處理的重要手段。由于FFT和譜分析只能在有限的時間區(qū)間內進行，不可避免地造成由于時域截斷產生的能量泄露，使譜峰值變小、精度降低。已有研究表明，加矩形窗時單諧波頻率成分的幅值誤差最大可達36.4%［1］，即使加其它窗時，也不能完全消除影響，如加Hanning窗時，只進行幅值恢復時最大誤差仍高達15.3%，相位誤差高達90°。因此采用各種有效的方法對頻譜進行校正具有十分重要的意義。

目前國內外學者［1－21］在頻譜校正方面做了大量研究工作，提出的頻譜校正方法主要有:能量重心法［2，3］、比值法［4－6］、FFT+DFT 譜連續(xù)細化法［7］、相位差法［8－18］。其中采用相位差法進行校正時，幅值校正公式也完全依賴于窗函數的譜函數。在實際的工程應用中，窗函數的選擇十分重要。根據不同的情況，選擇適當的窗函數，可以取得比較好的效果。以密集頻譜的情況為例，為確保校正精度，選取的窗函數的旁瓣必須能夠快速衰減，避免不同頻率分量的主瓣和旁瓣之間互相影響。Kaiser窗可定義一組可調的窗函數，其主瓣能量和旁瓣能量之間的比例近乎最大，且可自由選擇主瓣寬度和旁瓣高度之間比重，本來十分適合密集頻譜的情況。但由于Kaiser窗的窗函數十分復雜，其譜函數數學表達式無法求出［16］，限制了Kaiser窗的應用。因此基于相位差法，研究一種通用的不依賴窗譜函數的具有統一的幅值校正公式的校正方法具有十分重要的意義。

1 相位差校正法

設有一周期信號x(t)=Acos(2πf0+t+θ)，其傅里葉變換變換結果為:

式中:f=kfs/n=kΔf，Δf為頻率分辨率。

對信號x(t)加長度為T(T=N/fs，fs為采樣頻率)的窗wT(t)。wT(t)是由對稱窗w(t)右移T/2得到的。w(t)的窗譜函數為W(f)，wT(t)的窗譜函數WT(f)相對于 y軸來說有一個相移因子 e－jπfT，即:

加窗后的信號x(t)wT(f)的傅里葉變換根據卷積定理可表示為:

對x(t)wT(f)做N點的FFT，由于頻率分辨率Δf不可能無限小，不妨設f0=(K－ΔK)Δf，其中K為整數，ΔK∈［－0.5，0.5］為歸一化的頻率修正量。那么離散頻譜的峰值應該出現在第K根譜線上，對應的相位為:

將窗函數wT(f)的中心再右移aT，這時產生的相移為e－j2πafT，同樣做N點FFT后得到信號加窗后的相位為:

則兩次計算所得的相位差為:

這里可以看出Δφ的取值在(－2π，2π)區(qū)間，而實際上相位是反正切函數，主值范圍為(－π，π)。因此相位差Δφ需要做適當調整:

那么歸一化的頻率修正量為

假定頻譜中出現峰值的第K根譜線的系數為X(K)=RK+jIK，則信號的幅值和相位的校正公式分別為:

從式(9)可以看出，幅值校正完全依賴于窗函數的譜函數W(f)。加不同的窗，窗譜函數W(f)不相同，幅值校正公式也各不相同。實際上即使是常用的窗函數，其譜函數也十分復雜，計算時只能做近似處理。甚至有些窗函數本身就比較復雜，其譜函數的解析表達式根本難以取得。這就極大地限制了不同應用場合窗函數選擇的靈活性。因此研究一種不依賴窗譜函數的校正方法具有十分重要的意義。

2 改進算法

對于一個 N 點序列 x(n)，n=0，1，…，N －1，其信號頻率為f0，采樣頻率為fs，其離散傅里葉變換的逆變換表達式為:

每一個ek都是一個復正弦序列。若信號頻率f0=代表的是一個頻率為f的復正弦序列，那么0對應的坐標X(K)有很明確的物理意義，可以直接計算信號的幅值和相位。若信號頻率，就會發(fā)生頻譜泄漏。

將 e0，e1，…，eN－1同時乘以一個 N 點序列可以得到一組新的基。即:

可以看出式(14)是一個標準的離散傅里葉變換逆變換的表達式。式中的系數(K)可以通過對N點序列(n)做DFT或FFT計算。這一點在物理意義上比較明確，即:序列x(n)的信號頻率f0落在離散頻譜上的兩根譜線之間，因而會產生頻譜泄漏;將x(n)乘以一個序列，相當于將信號做了一個頻移，產生的新的序列的信號頻率正好對準離散頻譜上的第K根譜線，因此不會產生泄漏。考慮到加窗后頻譜的幅值受窗函數影響降低，設加窗信號做DFT或FFT所得的第K個系數為:

則根據式(9)、式(10)和第2節(jié)的分析，原信號x(n)的幅值和相位校正公式為:

式中W(0)為w(n)的直流分量，不需要知道窗譜函數的表達式，只要對N點的窗取均值就可以求得。

因此本文的方法可歸納為:

第一步:采用相位差法求歸一化的頻率修正量ΔK。

3 仿真研究

用計算機生成信號:

采樣頻率1024Hz，作譜點數為1024，頻率分辨率為1Hz。選用矩形窗，進行仿真研究。仿真結果如表1所示。

表1 加矩形窗的校正結果Tab.1 Correction results for rectangle window function

從表1中可以看出，在加矩形窗的條件下，各分量校正后頻率、幅值、相位的精度有明顯的提高。其中頻率間隔較遠的分量(52.8Hz和210.35Hz的分量)的頻率最大誤差為0.0025個頻率分辨率，幅值最大誤差為0.52%，相位最大誤差為0.74°。頻率間隔較近的分量(150.2Hz和154.25Hz的分量)校正精度相對降低，最大頻率誤差為0.0047個頻率分辨率，幅值最大誤差為1.47%，相位最大誤差為1.52°。這主要是由于2個頻率分量靠近時，不同分量的主瓣和旁瓣互相干涉造成的。通過加不同的窗函數，使旁瓣更快速地衰減，可以提高校正的精度。

這里為便于比較幅值校正精度，信號各分量的幅值都是1。而實際上2個頻率靠近的分量由于幅值不同，互相之間影響造成的誤差精度也各不一樣。同時為比較頻率靠近的分量互相之間的影響，將式(18)信號中的150.2Hz的分量的幅值提高到100，其他參數保持不變。分別加矩形窗、漢寧窗和凱澤窗，進行仿真研究。其中凱澤窗的形狀參數β為10。仿真結果如表2所示。從表2可以看出:

(1)矩形窗的校正精度最差，由于有幅度為100的150.2Hz頻率分量存在，其旁瓣對各幅值為1的分量都產生了較大的影響，誤差很大，僅150.2Hz分量自身校正精度較高，頻率誤差為0.00017個頻率分辨率，幅值誤差為0.03%。

(2)加漢寧窗后，頻率間隔較遠的2個分量(52.8Hz和210.35Hz的分量)校正精度很高，頻率最大誤差為0.00001個頻率分辨率，幅值最大誤差為0.003%，相位最大誤差為0.00372°。頻率間隔較近的2個分量中，150.2Hz的分量的校正精度也高，幅值誤差為0.0011%。可見 154.25的分量由于幅值較小，對150.2Hz分量的影響也較小。但154.25Hz的分量受150.2Hz分量的影響較大，幅值誤差高達6.02%。

(3)加凱澤窗后，校正效果最好，各分量的校正精度都很高。其中154.25Hz的分量受臨近的150.2Hz分量的影響較大，幅值誤差在各分量中達到最大，也只有 1.07%。

表2 加不同窗函數的校正結果Tab.2 Correction results for different window functions

通過三種窗函數的比較，可以看出對于不同的工程背景和精度要求，選擇合適的窗函數，可以達到令人滿意的校正效果。

4 感應電機轉子故障診斷實例

轉子故障是感應電機的常見故障。轉子發(fā)生故障時，感應電機的三相定子電流在基波電流分量的兩側會出現1±2s)f0的故障特征頻率分量(其中f0為基波頻率，s為轉差率)，這些特征頻率分量的幅值與故障嚴重程度直接相關。正常工況下，感應電機的轉差率較小，不超過6%。因此這些特征頻率分量在頻率上與基波電流分量靠得很近，屬于密集分布的頻譜。而且這些分量在幅值上與基波分量相比非常小，容易被基波分量的泄露淹沒。現有的文獻通常通過各種變換方法將基波電流分量轉化為直流量，故障特征頻率分量轉化到低頻段［22－26］。這樣做能夠避免基波分量泄漏的影響，對故障特征頻率分量的提取比較有利，能夠通過檢測是否存在故障特征頻率分量來判斷是否出現故障，屬于定性分析。但是故障特征頻率分量自身同樣會發(fā)生泄漏，如果不加以考慮，測得的故障特征頻率分量的幅值仍然是不準確的，難以實現對故障嚴重程度的量化。采用改進的基于相位差法的頻譜校正方法，可以不經過變換，直接對定子電流進行頻譜分析，準確計算故障特征頻率分量的幅值，實現對轉子故障的定性和量化。

圖1 A相電流波形圖Fig.1 The waveform of A phase current

圖2 A相電流的頻譜圖Fig.2 A phase current spectrum

實驗電機采用的是Y132M－4型感應電機。一根轉子斷條的情況下，電機運行穩(wěn)定后測得的定子A相電流波形和頻譜分別如圖1、圖2所示。其中圖2的頻譜圖是對數據長度為10 s的數據加矩形窗后用FFT算法計算得到的。感應電機由電網直接供電，基波頻率f0接近50Hz。根據測得電機轉速可計算出2sf0=2.2Hz。但從圖2中可看出，基頻分量兩側47.8Hz和52.2Hz的故障特征頻率分量基本上已被基波分量的泄露淹沒，很不明顯，難以作為轉子故障診斷的判據。

直觀上看，圖1中基波電流的幅值應該在15 A左右，但是圖2頻譜中50Hz的基波分量的幅值只有9.8787 A，可見泄露非常嚴重。取一段7.5 s長的數據，分別對前5 s和后5 s的數據加凱澤窗進行計算，采用相位差法求得頻率校正量后，再用本文提出的方法對f0、(1±2s)f0的分量的幅值進行校正，取得了較好的效果。各分量的幅值如表3所示。

表3 基波與故障特征分量的校正結果Tab.3 Correction results of fundamental component and fault signature frequency components

5 結論

傳統的相位差校正法在校正出頻率校正量后，幅值校正依賴于窗函數的譜函數的解析表達式，造成采用不同的窗函數時校正公式各不一樣。而一些復雜的窗函數，其譜函數根本難以求出。本文基于相位差校正法，在校正出頻率校正量以后，對幅值校正進行改進，使之不再依賴窗函數的譜函數。這樣就可以面對不同的工程應用背景和精度要求，自由地選擇合適的窗函數，取得好的校正效果。仿真研究和應用實例表明，即使是頻率密集分布的頻譜，通過采用合適的窗函數，也可以達到較好的校正精度。

［1］丁 康，謝 明.離散頻譜三點卷積幅值校正法的誤差分析［J］.振動工程學報，1996，9(1):92－98.

［2］丁 康，江利旗.離散頻譜的能量重心校正法［J］.振動工程學報，2001，14(3):354 －358.

［3］林慧斌，丁 康.離散頻譜四點能量重心校正法及抗噪性能分析［J］.振動工程學報，2009，22(6):659－664.

［4］丁 康，張曉飛.頻譜校正理論的發(fā)展［J］.振動工程學報，2000，13(1):14 －22.

［5］謝 明，丁 康.頻譜分析的校正方法［J］.振動工程學報，1994，7(2):172 －179.

［6］朱曉勇，丁 康.離散頻譜校正法的綜合比較［J］.信號處理，2001，2001，17(1):91 －97.

［7］劉進明，應懷樵.FFT譜連續(xù)細化分析的傅里葉變換法［J］.振動工程學報，1995，8(2):162 －166.

［8］劉 渝.正弦波頻率快速估計方法［J］.數據采集與處理，1998，13(1):7 －11.

［9］謝 明，張曉飛，丁 康.頻譜分析中相位和頻率校正的一種新方法——相位差校正法［J］.振動工程學報，1999，12(4):454－459.

［10］丁 康，鐘舜聰.通用的離散頻譜相位差校正方法［J］.電子學報，2003，31(1):142 －145.

［11］丁 康，朱小勇，謝 明，等.離散頻譜綜合相位差校正法［J］.振動工程學報，2002，15(1):114－118.

［12］高云鵬，滕召勝，溫 和，等.基于Kaiser窗相位差校正的電力系統諧波分析與應用［J］.儀器儀表學報，2009，30(4):767－763.

［13］丁 康，楊志堅.改變窗長相位差校正法的改進與抗噪性能分析［J］.華南理工大學學報，2007，35(10):210－213.

［14］丁 康，鐘舜聰，朱小勇.離散頻譜相位差校正方法研究［J］.振動與沖擊，2001，20(2):52－55.

［15］丁 康，朱小勇.適用于加各種窗的一種離散頻譜相位差校正法［J］.電子學報，2001，29(7):987－989.

［16］謝 明，張曉飛，丁 康.頻譜分析中用于相位和頻率校正的相位差校正法［J］.振動工程學報，1999，12(4):454－459.

［17］湯寶平，陳建波，章國穩(wěn).基于相位差校正法的全息譜研究［J］.振動與沖擊，2009，28(8):99－102.

［18］黃云志，徐科軍.基于相位差的頻譜校正方法的研究［J］.振動與沖擊，2005，24(2):77 －80.

［19］張 強，張 頻，張明童.加三角窗的頻譜校正［J］.振動與沖擊，2009，28(2):96 －98.

［20］陳奎孚，王建立，張森文.短記錄加漢寧窗的頻譜校正［J］.振動與沖擊，2008，27(4):49 －51.

［21］段虎明，秦樹人，李寧.離散頻譜的頻率抽取校正法［J］.振動與沖擊，2007，26(7):59 －62.

［22］Cruz S M A，Cardoso A J M.Rotor cage fault diagnosis in three-phase induction motors by extend Park＇s vector approach［J］.Electric Machines and Power systems，2000，28(3):289－299.

［23］Cruz S M A，Cardoso A J M.Stator winding fault diagnosis in three-phase synchronous and asynchronous motors by the extended Park ＇s vector approach［J］.IEEE Trans.On Industry Applications，2001，37(5):1227 －1233.

［24］Cruz S M A，Cardoso A J M，Toliyat H A.Diagnosis of stator，rotor and airgap eccentricity faults in three-phase induction motors based on the multiple reference frames theory［C］.Conference Record of The 2003 IEEE Industry Applications Society Annual Meeting，Salt Lake City，USA，2003，П:1340－1346.

［25］劉振興，尹項根，張 哲.基于Hilbert模量頻譜分析的異步電動機轉子故障在線監(jiān)測與診斷方法［J］.中國電機工程學報，2003，23(7):158－161.

［26］馬宏忠，姚華陽，黎華敏.基于Hilbert模量頻譜分析的異步電機轉子斷條故障研究［J］.電機與控制學報，2009，13(3):371－376.