一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應

劉啟能

(1.重慶工商大學 廢油資源化技術與裝備教育部工程研究中心，重慶 400067;2.重慶工商大學 計算機科學與信息工程學院，重慶 400067)

聲子晶體的概念是Kushwsha等人于1993年提出的。所謂聲子晶體就是其密度和彈性常數呈周期性變化的人造帶隙材料。彈性波在聲子晶體中傳播時會與聲子晶體的周期結構發生相互作用，從而產生帶隙。由于利用聲子晶體的帶隙可以十分方便地控制聲波的傳播，因此聲子晶體在現代科學技術上有著十分廣泛的應用前景。這使得對聲子晶體的研究成為目前聲學的前沿領域內一個活躍的問題。

目前對一維聲子晶體的研究中，在研究方法、帶隙特性、缺陷模特性以及濾波理論等方面都取得了豐富成果［1－11］。最近文獻［12］中研究了電磁波在大于全反射角入射一維光子晶體時出現的漸逝波現象，得到了一些關于一維光子晶體中漸逝波的新特征。聲子晶體與光子晶體有著相似的結構特征，那么彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時會出現什么新現象呢?這是一個值得研究的新問題。本文將對這一問題開展研究，即研究彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時出現的貫穿效應。

1 模型與理論

一維聲子晶體是由有機玻璃(其密度為ρ1、厚度為d1)和水(其密度為ρ2、厚度為d2)兩種介質周期性地交替構成。設入射空間和出射空間的介質也為水，即ρ2=ρ0。由于該聲子晶體兩邊都為有機玻璃，因此它的周期數為N+0.5，N為整數。

圖1 一維聲子晶體Fig.1 1－D phononic crystal

為了研究彈性波在大于全反射角入射該一維聲子晶體時出現的貫穿效應，利用本文作者在文獻［13］中推出的固－流結構聲子晶體的轉移矩陣，則一個周期的轉移矩陣m為:

其中:

矩陣中λ和μ為拉梅常數，θ為傳播角，角標中L表示縱波、T表示橫波。整個聲子晶體的轉移矩陣M為:

其中mN為前N個周期的轉移矩陣為最后一層有機玻璃的轉移矩陣。彈性波通過該聲子晶體的反射系數r為:

不計材料的吸收時，彈性波通過該聲子晶體的能流透射率T為:

利用(1)—(5)式可以研究彈性波在大于全反射角入射該一維聲子晶體時出現的貫穿效應。下面的計算中，有機玻璃、水的密度、波速分別為:ρ1=1180kg/m3、ρ2= ρ0=1000kg/m3、v1L=2670 m/s、v1T=1120 m/s、v2L=v0L=1500 m/s，取 d1=v1L/(4f0)、d2=v2L/(4f0)，f0為中心頻率，取 f0=10000Hz。

2 貫穿效應

由波的折射定律可知，當波從波速小(ν0)的介質入射到波速大(ν1)的介質的分界面時會發生全反射現象，其全反射角為θm=arcsinν0/ν1。當彈性波從水中射入到該聲子晶體時其全反射角為θm=0.6 rad。計算出彈性波從水中射入到有機玻璃單一界面上其透射率隨入射角的響應曲線，如圖1。由圖1可以清楚地看出:當彈性波小于全反射角入射時透射率保持為T=0.88。當入射角接近全反射角時透射率迅速降低為0。當彈性波大于全反射角入射時透射率恒為0，彈性波不能進去有機玻璃內。即當彈性波大于全反射角入射時不能產生貫穿效應，并且這一特征與入射波的頻率無關。

由(1)式—(5)式計算出頻率為10000Hz的彈性波入射該聲子晶體(N=5)時其透射率隨入射角的響應曲線，如圖2。由圖2可以清楚地看出它與圖1有明顯的不同:其一，當彈性波小于于全反射角入射時，在入射角θ0=0－0.4 rad范圍內出現了禁帶，這是聲子晶體的基本特性。其二，當彈性波大于全反射角入射時出現了新的現象，即在入射角 θ0=0.7 rad處和 θ0=1.1 rad處出現了兩個明顯的透射峰。我們將彈性波大于全反射角入射聲子晶體時產生的透射現象稱為全反射貫穿效應。為了研究貫穿效應的規律，下面分別從三個方面研究，即貫穿效應隨入射角變化的特性、貫穿效應隨介質厚度變化的特性、貫穿效應隨周期數變化的特性。

圖1 單一界面上透射率隨入射角的響應曲線Fig.1 Response curves of transmissivity of interface versus incident angle

圖2 聲子晶體的透射率隨入射角的響應曲線Fig.2 Response curves of transmissivity of phononic crystal versus incident angle

2.1 貫穿效應隨入射角的變化

為了研究貫穿效應隨入射角的變化規律，固定N=5，計算出透射率隨入射角和頻率的響應曲線，如圖3。在圖3中x軸表示入射角，y軸表示入射波頻率，z軸表示透射率。由圖3可以看出:

(1)在入射角大于全反射角θm=0.6 rad的區域內出現了兩條明顯的透射峰帶，稱它們為貫穿峰帶。第一條出現在入射角θm=0.7 rad附近，第二條出現在入射角θ0=1.1 rad附近，并且第二條比第一條更加明顯。

(2)兩條貫穿峰帶的頻率都隨入射角的增加而迅速減小。

(3)對于第一條貫穿峰帶，當入射角從0.65 rad 變到0.72 rad 時，對應的入射波頻率從11000Hz降低到9000Hz。對于第二條貫穿峰帶，當入射角從1.05 rad 變到 1.14 rad時，對應的入射波頻率從11000Hz降低到9000Hz。

圖3 透射率隨入射角和頻率的響應曲線(N=5)Fig.3 Response curves of transmissivity versus incident angle and frequency(N=5)

(4)第一條貫穿峰帶隨入射角的增加而更加明顯。第二條貫穿峰帶隨入射角的增加而減弱。

(5)兩條貫穿峰帶都不僅是一個單一峰帶，而是多峰帶的結構。

圖4 透射率隨厚度和頻率的響應曲線(N=5)Fig.4 Response curves of transmissivity versus thickness and frequency(N=5)

2.2 貫穿效應隨介質厚度的變化

介質厚度是指構成聲子晶體的兩層介質的厚度，即 d1和 d2。為了研究方便令 d1=XνL1/f0、d2=XνL2/f0，X為無量綱的參變量，當介質材料一定時(波速一定)介質厚度正比于X。因此可以用X描述介質的厚度，這里就通過X的變化來描述介質厚度的變化。固定N=5。

在入射角為θ0=1.0 rad處(第二條貫穿峰帶上)，計算出透射率隨厚度和頻率的響應曲線，如圖4，由圖4可以知:當入射角一定時，貫穿峰帶的頻率隨介質厚度的增加而減小。當X=0.25時對應的頻率為12000Hz，當X=0.52時對應的頻率降低為6000Hz，并且是非線性變化。

2.3 貫穿效應隨周期數的變化

為了研究周期數對貫穿效應的影響，固定d1=ν1L/(4f0)、d2=ν2L/(4f0)，計算出N=3時透射率隨入射角和頻率的響應曲線的俯視圖，如圖5。比較N=3和N=5(圖5和圖3(b))兩個不同周期的情況可以得出:

(1)周期數N=3和N=5兩種情況下對應的兩條貫穿峰帶在圖中的位置沒有變化，這表明聲子晶體的周期數對貫穿峰帶的整體位置沒有影響。

(2)周期數N=3的兩條貫穿峰帶內部結構比N=5的兩條貫穿峰帶內部結構要簡單，這表明聲子晶體的周期數對貫穿峰帶的內部結構要產生影響。

下面研究周期數對貫穿峰帶的內部結構的影響。計算出N=3、N=5、N=6三種情況下兩條貫穿峰帶隨頻率的響應曲線，如圖6(a)、6(b)、6(c)(在第一條貫穿峰帶上取入射角θ0=0.7 rad，在第二條貫穿峰帶上取入射角 θ0=1.08 rad)。由圖6(a)、6(b)、6(c)可以得出:

(1)同一周期的兩條貫穿峰帶的內部結構是相同的。如周期數N=5時其兩條貫穿峰帶都由5個透射峰構成，并且同一貫穿峰帶內相鄰兩個透射峰的頻率間隔近似相等。

(2)同一貫穿峰帶內的透射峰數隨周期數的增加而增加，并且兩者的數目相等。

圖5 透射率隨入射角和頻率的響應曲線(N=3俯視圖)Fig.5 Response curves of transmissivity sus incident angle and frequency(N=3 top view)

為什么會在一維聲子晶體中產生全反射貫穿效應呢?下面給予定性的解釋。該一維聲子晶體可以看成N個由兩邊為有機玻璃中間夾一層水的單元構成，如果入射角大于全反射角的彈性波進入該單元內，彈性波就會在水層中間往復地全反射，從而產生共振現象。因此每個這樣的單元對于大于全反射角傳播的彈性波就是一個諧振腔，彈性波在諧振腔內發生共振時，由量子理論可知彈性波就會在腔壁產生隧道貫穿效應。入射角大于全反射角的彈性波是怎樣進入該一維聲子晶體的第一層有機玻璃的呢?這可由漸逝波解釋。入射角大于全反射角的彈性波并不是完全不能進入有機玻璃，而是以漸逝波的形式進入有機玻璃一定的深度。為了說明這一問題，計算出彈性波在大于全反射角(θ0=0.7 rad)進入有機玻璃時其透射率隨有機玻璃厚度的響應曲線，如圖7。在圖7中橫坐標d表示有機玻璃的厚度，以入射波的波長λ為單位。由圖7可以看出，漸逝波可以進入有機玻璃的深度約為0.5個波長，而一維聲子晶體中有機玻璃層的厚度只有四分之一波長。因此彈性波能夠通過一維聲子晶體的有機玻璃層后進入水層，并且在水層中引起了波的共振現象。從而在一維聲子晶體中產生全反射貫穿效應。

一維聲子晶體的全反射貫穿效應的透射峰與一般情況下一維聲子晶體的兩個帶隙之間的透射峰既有區別又有聯系。其主要區別在于兩者產生的物理機理不同，全反射貫穿峰產生的物理機理是由于彈性波在一維聲子晶體中發生的共振隧道貫穿效應，而兩個帶隙之間的透射峰產生的物理機理是由于彈性波在一維聲子晶體中產生的能帶效應。其二者的聯系在于全反射貫穿峰的頻率要受到能帶頻率范圍的限制，即全反射貫穿峰的頻率應在導帶允許的頻率范圍內。

另外全反射貫穿效應與共振隧穿的也有區別和聯系。全反射貫穿效應是特殊條件下產生的共振隧穿效應，即在全反射條件下、在漸逝波能夠通過有機玻璃層的條件下產生的共振隧穿效應。因此，全反射貫穿峰的頻率應滿足共振條件。

圖7 透射率隨有機玻璃厚度的響應曲線Fig.7 Response curves of transmissivity versus thick

3 結論

前面利用轉移矩陣法研究了彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時所產生的全反射貫穿效應。得出了貫穿效應隨入射角的變化規律、貫穿效應隨介質厚度的變化規律以及貫穿效應隨周期數的變化規律。并利用波的量子理論和漸逝波的理論對一維聲子晶體的全反射貫穿效應作出了定性的理論解釋。

一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應是一維聲子晶體研究中的新現象，值得進一步研究。特別是從理論上對該現象進行定量的解釋還有待深入研究，我們將繼續對這一問題進行深入的研究。

［1］Jesen J S.Phononic band gaps and vibrations in one-and twodimensional mass-spring structures［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，266(5):1053－1078.

［2］Wang G，Yu D L，Wen J H.One-dimensional phononic crystals with locally resonant structures［J］.Physics Letters A，2004，327(5－6):512－521.

［3］曹永軍，董純紅，周培勤.一維準周期結構聲子晶體透射性質的研究［J］.物理學報，2006，55(12):6470－6473.

［4］溫激鴻，王 剛，劉耀宗.基于集中質量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計算［J］.物理學報，2004，53(10):3384－3387.

［5］王文剛，劉正猷，趙德剛 .聲波在一維聲子晶體中共振隧穿的研究［J］，物理學報，2006，55(9):4744－4747.

［6］曹永軍，楊 旭.廣義Fibonacci準周期結構聲子晶體透射性質的研究［J］物理學報，2008，57(6):2620 －2624.

［7］郁殿龍，劉耀宗，王 剛.一維桿狀結構聲子晶體扭轉振動帶隙研究［J］，振動與沖擊，2006，25(1)，104－107.

［8］劉啟能.一維聲子晶體的傳輸特性［J］.人工晶體學報，2008，37(1):179 －182.

［9］劉啟能.彈性波斜入射聲子晶體的傳輸特性［J］.應用力學學報，2009，26(2):397 －340.

［10］劉啟能.固－固摻雜結構聲子晶體中彈性波的缺陷模［J］.計算力學學報，2010，27(1):151－156.

［11］曹永軍，楊 旭，姜自磊.彈性波通過一維復合材料系統的透射性質［J］.物理學報，2009，57(11):7735－7738.

［12］Fang Y T，Liang Z C.Unusual transmission through usual one-dimensional photonic crystal in the presence of evanescentwave ［J］. Opt Commun， 2010，283:2102－2106.

［13］劉啟能.固－流結構聲子晶體中彈性波能帶的色散研究［J］.人工晶體學報，2009，38(1):107 －111.