基于Kriging模型的武器裝備體系效能分析＊

張曉航 雷 剛 石景嵐 張德欣

（解放軍63891部隊 洛陽 471000）

1 引言

由于武器裝備體系作戰效能與各輸入因素的關系復雜，以及體系作戰效能涉及眾多不確定性因素等原因，為提升體系的作戰效能，需要研究影響體系作戰效能的各個因素。傳統的作戰效能分析方法由于分析因素少、因素變化范圍窄、不能分析因素之間的交互效應或要求作戰效能與輸入因素關系不能過于復雜等原因，難以滿足體系作戰效能分析的需要，為此需要研究適合武器裝備體系效能分析特點的分析方法。

假設通過模型計算得到的數據如圖1。

圖1 模型示意圖

2 Sobol指數法

2.1 基本原理

Sobol法［1］是俄羅斯學者Sobol在上世紀90年代提出，并以他的名字命名的一種敏感性分析方法。這是一種基于方差的Monte Carlo法，其基本思想是研究輸入參數的方差對輸出方差的影響。如果輸入參數的方差很小而輸出的方差很大，表明輸入參數的敏感性較大；反之則較小。Sobol法的核心思想是方差分解，把模型分解為單個參數及參數之間相互組合的函數，通過計算單個輸入參數或輸入參數集的方差對總輸出方差的影響來分析參數的重要性以及參數之間的交互效應［2～4］。

“全效應”指數，這個衡量指標不僅包含了該輸入因素自身的主效應，還包含了它與其它因素之間的交互效應。因此選擇“全效應”指數作為衡量輸入因素的敏感性是一種更科學合理的選擇。通過因素之間的二階及更高階交互效應，可以了解因素之間的相互作用，由此可以合理地控制某些因素的輸入組合，達到預期輸出的目的。

由以上定義可知，Sobol指數法是一種相對獨立于模型的分析方法。使用時不要求用戶對復雜的體系仿真模型有具體的了解，也不需要對模型做出假設。僅需要用戶通過合理的試驗設計得到相應的輸入輸出數據。在這些數據的基礎上便可以完成整個分析。

2.2 Sobol指數的計算

如果已知分析函數Y的具體形式，以及各個輸入變量的分布，那么通過解析計算便可以獲得各個輸入變量的Sobol指數。例如分析函數如下式所示：

根據前文所述方法對它進行Sobol指數的計算。

進而計算可得

但在通常情況下，分析函數是非常復雜的，如對抗條件下的武器裝備體系，其作戰效能函數Y是不可能獲得具體解析形式的。只能通過效能模型計算，獲取的輸入輸出樣本點，然后在樣本點的基礎上來完成計算。

3 Kriging模型

3.1 基本原理

Kriging代理模型是一種基于統計理論的插值技術，其核心就是通過部分已知的信息去模擬某一點的未知信息。該方法是由南非地質學家Krige于1951年提出的，用來確定礦產儲量的分布情況。后來，法國學者 Matheron將Krige的成果進行了系統化和理論化，形成了嚴格的Kriging模型數學理論［6］。

傳統的擬合或者差值技術大都為參數化的模型（如線性回歸、響應曲面法等），首先必須選擇一個參數化的數學模型（如多項式模型等），其次模型確立之后必須確定其待定系數。而半參數化的Kriging代理模型并不需要建立一個特定的數學模型，相對于參數化模型而言，Kriging模型的應用就更加靈活和方便。

Kriging代理模型是由一個參數模型和一個非參數模型聯合構成的。其中，參數模型是回歸分析模型，非參數模型是一個隨機分布。Kriging模型在對某一點進行預測，首先借助于在這一點周圍的已知變量的信息，通過對這一點一定范圍內的信息加權的組合來估計這一點未知信息。加權選擇則是通過最小化估計值的誤差方差來確定［7～8］。

Kriging模型的具體形式如下：

式中：fT（X）為已知形式的回歸模型，通常為多項式函數，用以提供擬合的全局近似，可以是0階、1階或2階多項式，β為相應的待定參數；z（X）為隨機分布誤差，用以提供擬合的局部偏差的近似，z（X）具有如下的統計特性：

其中，X、W 為用來擬合模型的任意兩個樣本點，R（θ；X，W）為相關函數，用來衡量兩個樣本點之間的空間相關性。

其中X，W 為兩個訓練樣本點，n為樣本的維度，Xi，Wi分別為X與W 的第i個分量。Ri（θ，di）根據需要可以取多種形式，常用的形式有以下幾種［9］：

表1 常用的相關函數

當兩個點之間的歐氏距離較小時，EXP、LIN和SPHERICAL表現為線性行為，所以它們比較適合于線性對象問題，而GAUSS，CUBIC和SPLINE表現為拋物線行為，所以適合于連續可微的對象問題。其中計算效果最好，被廣泛采用的相關函數是GAUSS相關函數［10］。

對于多維問題，θ值的數量與變量X的維數是一致的，θ的分量選擇有兩種：一種是所有的分量都為相同的值，即相關函數各向同性，這就假定了變量X的所有分量有相同的權重；另一種是假定所有分量可以各不相同，這就使相關函數是各向異性的。

3.2 計算示例

下面通過一個二維的非線性測試函數來驗證Kriging的實際擬合效果。

該函數具有明顯的非線性性質，如圖2所示。sx＋3y－2x2－y2＋3sin（3x）sin（2y）

圖2 測試函數的真實曲面

根據已知100組樣本數據，通過Matlab中的DACE工具箱建立Kriging近似模型，選擇二元二次多項式作為Kriging模型回歸部分的函數類型，選擇高斯函數相關函數，考慮各向異性作用，對于變量x1，x2選擇不同的方向性參數θ1，θ2。則有

設定θ1，θ2初始值為10，范圍為［0.1，100］。運行 Matlab程序可得函數的近似曲面如圖3所示。

圖3 測試函數的擬合曲面（曲面上的點為擬合樣本點）

下面通過測試樣本來檢驗所建Kriging模型的精度。

表2 測試函數實際值與擬合值對比

4 基于Kriging模型的Sobol指數求解

在第1節中討論了Sobol指數的計算。由于在實際情況中，分析函數復雜，無法獲得具體解析形式的。只能通過效能模型計算，獲取的輸入輸出樣本點，然后在樣本點的基礎上來完成計算。因此，如何根據已有的樣本數據來進行敏感性分析，進行Sobol指數的計算，便成為了問題的關鍵。本文通過Kriging代理模型方法，根據已有樣本數據構建代理模型，通過代理模型來完成對原模型的敏感性分析。這樣的分析方法僅依賴于樣本數據，而不依賴于原模型，因此具有更好的適應性。具體操作流程如圖4所示。

首先將已有的數據樣本點分為兩部分，一部分作為訓練樣本來建立模型，另一部分作為檢測樣本，來檢驗所建立模型的精度是否滿足要求。根據訓練樣本建立Kriging模型，可以通過Matlab中的DACE工具箱來實現，僅需要對相關參數進行設定即可獲得擬合模型。若模型在精度檢驗中不滿足要求，可以通過調整模型參數來改變模型，直至滿足要求為止。當獲得滿足精度的Kriging代理模型后，就可以通過代理模型獲取新的樣本數據，進而完成敏感性分析。

本文采用上述方法對某空戰作戰效能模型的200組數據進行了分析。該模型有五個輸入因素：X1，X2，…，X5；一個輸出，即作戰效能指標Y。通過運用第2節中介紹的Kriging模型方法擬合出近似模型，進而采用Sobol指數法進行全局敏感性分析，計算得到各輸入因素的主效應、全效應及它們之間的二階交互效應，如表3、表4所示。

圖4 敏感性分析流程圖

表3 各輸入因素主效應及全效應排序

由表3可知，不論從主效應還是全效應來看，都可認定X2，X4，X5是模型的關鍵輸入因素。

表4 各輸入因素之間的二階交互效應

由以上結果可知，輸入因素X2，X4，X5的變化對作戰效能Y有重要影響，而輸入因素X1，X3對作戰效能的影響很小。因此要提高體系的作戰效能關鍵在于控制輸入因素X2，X4，X5的取值。此外，從輸入因素之間的二階交互效應可以看出X2與X4，X4與X5之間有顯著的交互效應，因此在控制輸入因素時，應當注意它們之間的取值組合，以達到提高作戰效能的目的。

5 結語

本文對體系的作戰效能分析方法進行了研究，提出利用Sobol指數法進行作戰效能全局敏感性分析。Sobol指數法是一種基于方差的全局敏感性分析方法，該方法所具有的獨立于分析模型和能夠定量描述因素間交互效應等特點，較好地滿足了武器裝備體系作戰效能分析的需要。利用該方法對一個數學函數進行了示例分析，驗證了該方法的有效性。針對Sobol指數計算量大的問題，本章提出利用Kriging模型來擬合原模型，進而在擬合模型的基礎上來完成全局敏感性分析。

［1］Sobol IM.Sensitivity Estimates for nonlinear mathematical models［J］.Math Model Comput Exp，1993：407-414.

［2］羅鵬程，傅攀峰.武器裝備敏感性分析方法綜述［J］.計算機工程與設計，2008，29（21）：5546-5549.

［3］李睿.Sobol靈敏度分析方法在結構動態特性分析中的應用研究［D］.長沙：中南大學，2003.

［4］蔡毅，邢巖，胡丹.敏感性分析綜述［J］.北京大學學報（自然科學版），2008，44（1）：9-15.

［5］Homma T，Saltelli A..Importance measures in global sensitivi-ty analysis of nonline-ar models［J］.Reliability Engineering and System Safety，1996，（52）：1-17.

［6］Matherton.Principles of geo-statistics［J］.Economic Geology，1963（58）：1246-1266.

［7］Jones DR，Schonlau M，Welch WJ.Efficient global optimization of expensive black-box functions［J］.Journal of Global optimization，1998（13）：445-492.

［8］高月華.基于kriging代理模型的優化設計方法及其在注塑成型中的應用［D］.大連：大連理工大學，2009.

［9］Lophaven SN，Nielsen HB，Sondergaard J.DACE-A Matlab Kriging Toolbox，Informatics and mathematical modelling，Denmark，2002.

［10］謝延敏，等.基于Kriging模型的可靠度計算［J］.上海交通大學學報，2007，41（2）：177-180.