以有效探究的方法幫助學生建構數學概念

　　摘 要：數學概念教學的重要性要求教師努力探尋更有效的教學方法、途徑。在數學教學中，讓學生在豐富多彩的探究活動中認識探究、體驗探究、學會探究，從而實現用數學探究活動幫助學生建構數學概念這一目的，是筆者的教學理念。那么教師如何悉心的指導？文章認為可以從數學概念學習中產生完整的表象、概念的抽象以及使概念成為思維的具體等角度入手，結合“材料、提問、設計、活動”等方法來實踐教學理念。
　　關鍵詞：有效教學；材料；提問；設計；活動
　　
　　數學課程標準指出，數學學習要以探究為核心。親身經歷以探究為主的學習活動是學生學習數學的主要途徑。在初中數學教學中，讓學生在豐富多彩的探究活動中認識探究、體驗探究、學會探究，從而實現用數學探究活動幫助學生建構數學概念這一目的，一方面需要學生積極地參與探究，另一方面需要教師以數學教育理念為指引進行悉心的指導。如何讓學生在數學概念學習中產生完整的表象，并從中抽象出概念的內涵，以及如何使概念成為思維的具體，最終實現數學概念的有效建構，是初中數學有效教學必須關注的重要內容。
　　一、材料，精心選擇且巧妙搭配，合理隱藏而有序出示
　　加涅的學習層次理論和奧蘇伯爾的“先行組織者”的理論都非常講究教學的順序。上位學習，要求從簡單到復雜、從特殊到一般呈現順序；下位學習，要求由一般到個別、不斷分化呈現順序；并列的學習，可以用類比的方式呈現順序。數學材料的嚴密有序，有利于幫助學生在數學實踐和探究活動過程中建構認識，提高學生學習效率。
　　例1.銳角三角函數概念教學。
　　（1）引入生活中的幾何圖形，感知直角三角形的邊角元素，可以呈現材料一（如右圖）。
　　（2）用幾何畫板探索，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也隨之確定。可呈現材料二（如下）。
　　其中移動點C，讓學生動態演示。
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　　（3）用幾何畫板探索，在Rt△ABC中，如果銳角A不確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也隨之變化.可呈現材料三（如下）。
　　移動點C，讓學生動態演示。感受比值是角度的函數。
　　（4）教師在學生充分感知的基礎上，給出三角函數的定義。
　　那么，如何呈現教學中的材料？
　　（1）重組材料，提高概念教學效率。任何有效的事物都應有選擇性。將教學材料按照自己的思路進行篩選后，一些經典的材料就會被發現。尤其是教材內容一般是分塊的、交叉的安排的，在學生遺忘率很高的情況下，更需要對教材進行重組再處理。
　　（2）活化材料，提升概念教學。如在這節課中，教師可以利用活動畫面。通過這樣的研究，學生不僅理解了三角形函數的概念，而且還明白了概念生成的本質要素。
　　另外，材料的呈現還要注意系統性。數學是一門邏輯性很強的學科，不僅要遵循教學的原則，還要遵循數學學科內部的原則。
　　二、提問，使學生通過解決這個問題，而進入另一個嶄新的天地
　　概念的引出是進行概念教學的第一步。這一步走得如何，將影響學生對數學概念的學習。而教材展現給學生的往往是“由概念到定理，由定理到公式，由公式到例題”的三部曲，這一過程掩蓋了數學思想方法的形成。因此，教學中教師不應只簡單地給出定義，而應加強對概念的引出，使學生經歷概念的形成和發展過程，加深對新概念的印象。
　　例2.教學“認識三角形（2）”，知識目標是進一步認識三角形，了解三角形的內角與外角的關系，如何引入好呢？
　　生：在準備好的白紙上畫出一個△ABC和∠ABC的一個外角∠CBA，如上圖。
　　師：在黑板上示范。
　　師：請同學們相互指出與這個外角相鄰的內角，與這個外角不相鄰的兩個內角。
　　生：同桌互相交流。
　　師：這個三角形的內角和是多少？
　　生：這個三角形的內角和是180°。
　　師：同學們想一想，你能根據上圖提出一些問題嗎？
　　生：1.這個外角與相鄰的內角是什么關系？
　　2.這個外角與它不相鄰的兩個內角有什么關系？
　　3.這個三角形有多少個外角？它們的和是多少？
　　（讓學生提出問題，喚起學生的主動意識）
　　師：今天，我們來研究同學們剛才提出的問題：“三角形的外角和”。
　　分析：好的問題指8YFUB0Au1j6yWlrAVUsGSw==向明確，能有效地刺激學生，引導他們進行積極思維。好問題能啟發學生開動腦筋，滲透數學思想方法，是課堂教學有效的助推器。平時教學中可以創設懸念提問、創設質疑提問、創設矛盾提問，可以遞進式問，也可以開放式問。所有手段都要努力使學生形成積極探究的態度，指向數學概念。
　　三、設計，重在過程，讓學生親歷數學概念形成的過程
　　概念形成過程包括：引入概念的必要性，對一些感性材料的認識、分析、抽象和概括。注重概念形成過程，符合學生的認識規律。假如在教學過程中忽視概念的形成過程，把形成概念的生動過程變為簡單的“條文加例題”，對理解概念是極為不利的。注重概念的形成過程可以是完整的、本質的、內在的，提示概念的本質屬性，使學生對理解概念具備思想基礎，同時也能培養學生從具體到抽象的思維方法。
　　例3.在“相似三角形”的概念教學中對“過程”設計如下：
　　（1）學生回顧與思考相似多邊形，可設計問題組：①什么叫相似多邊形？②什么叫相似多邊形的相似比？③如果多邊形相似，他們的對應角有什么關系？對應邊有什么關系？（設計涵蓋了相似多邊形的相關概念，體現了從普遍到個體，從一般到特殊的關系）
　　（2）新概念引入，可設計：①點撥問：如果相似多邊形的邊數是最少的那一種，應該是什么情況？（相似三角形）②追問：你們是怎么知道的？還有其他的補充嗎？（學生嘗試回答相似三角形的概念）（設計體現出教師啟發學生進行主動思考的特點，來源于對教學材料的有效選擇，所以，學會選擇就是學會研究、學會認識、學會尋找）
　　（3）新概念學習，可設計：①教師給出定義。②相似三角形表示方法。如果△ABC和△DEF相似，我們記作△ABC∽△DEF。強調兩點，一是頂點字母一定要寫在相對應的位置上，即點A對應點D，點B對應點E，點C對應點F。二是只與對應點有關，與擺放的位置無關。③隨堂練習。下圖中的兩個相似三角形怎樣對應？
　　（教學中的難點“對應”問題，設計中用兩個“強調”來解決，以強化學生對關鍵性問題的認識）
　　（4）深入理解概念，可設計：
　　議一議1：兩個全等三角形一定相似？為什么？
　　議一議2：兩個等邊三角形一定相似？為什么？兩個等腰三角形呢？
　　議一議3：兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？兩個直角三角形呢？（設計始終貫穿了從特殊到一般的哲學思想，不斷地用不同的、特殊的例子來詮釋“相似三角形”概念的要點）
　　分析：數學課程在培養學生數學素養的時候，關注的是數學探究與數學概念的并重，讓學生在親身體驗中理清探究步驟，發展數學概念。“工欲善其事，必先利其器。”教師對探究活動的精心設計，有利于學生親身經歷數學探究的過程，激發其對數學的興趣，形成數學的態度和數學探究的能力。
　　四、活動，提升概念素養，以培養學生數學素養為宗旨
　　心理學家認為，學生自己動手做實驗、開展學習活動，能夠在腦海中留下更深刻的印象。因此，在講解新概念時，教師可改變自己講、學生聽的傳統做法，引導學生動手做實驗，從實驗中抽象出數學概念。
　　培養學生開展學生活動要注意以下幾個方面：（1）活動要具有可操作性；（2）要能把握住教學的核心內容，選擇學習，合作學習和發現學習等不同學法，落實以學生發展為本的理念；（3）激發學生的興趣；（4）適當補充相應素材，使課堂教學具有鮮活的一面。
　　概念是數學知識的系統元素。數學概念的建立是解決數學問題的前提。對于概念教學，每個教師都有自己相對成熟的教學方法。但“教有法，教無定法”，這就要求教師一方面要繼承已經成熟的、基本的有關概念教學的一些形式與方法并在教學中使用，另一方面還有許多相關的問題需要教師在實踐中不斷研究探索。
　　參考文獻：
　　［1］沈文選，楊清桃.數學史話覽勝.哈爾濱工業大學出版社，2008，1.
　　［2］奚定華.數學教學設計.華東師范大學出版社，2000，1.
　　［3］陳大偉.建設理想課堂.中國輕工業出版社，2007，5.
　　（作者單位 浙江省紹興市越城區馬山鎮中學）