線性自適應小波理論的齒輪箱故障診斷方法

陳漢新, 張 琰, 劉 岑

(武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

齒輪箱振動信號的分析[1]是現代故障診斷技術的主要組成部分.為了能準確估計機器的剩余使用壽命，進而進行行之有效的保養和維護，必須檢測出故障的早期類型以及其發展趨勢.齒輪箱振動圖譜中最重要的部分便是由嚙合頻率以及其諧波和調制現象所帶來的邊頻帶這幾部分構成.故障類型不同，帶來的邊頻的數量和振幅也不盡相同.邊頻帶是均勻地分布在中心頻率周圍的頻率成分.中心頻率也叫載波頻率，即齒輪的嚙合頻率.齒輪故障可以只在一個齒輪上產生，一般叫做裂紋，也可以在多個齒輪上產生，便叫剝落，在這些故障齒輪嚙合的過程中便產生了調制現象.最終，嚙合頻率以及其諧波產生了一系列邊頻并分布在整個范圍內，且間隔的數值為轉頻的大小[2].

近幾年針對齒輪的故障涌現出許多有效的故障診斷方法.文獻[3]通過Morlet小波對振動信號進行特征提取，繼而對齒輪的不同裂紋尺寸進行故障識別.文獻[4]用經驗模態分解(EMD)和傅立葉變換(FFT)相結合的方法能有效地對齒輪箱故障進行分類.文獻[5]采用序貫概率比檢驗方法對多種裂紋故障進行區分.

小波變換是齒輪箱故障診斷中應用最為廣泛的一種方法，因為它能展現振動信號的瞬時頻率，并且用能量分布來描述頻率從一個瞬時到另一個瞬時的變化趨勢[6-8].希爾伯特變換在齒輪的故障診斷中是一種高效的解調方式[9].僅僅用希爾伯特變換和小波變換來從眾多故障頻率成分中找出特征頻率是非常困難的.因此提出一種新的希爾伯特變換和自適應小波變換的線性組合來解調齒輪振動信號.結果表明了這種新方法對故障信號的診斷精度有了很大程度的提高.

1 希爾伯特變換

希爾伯特變換是實值函數在時域上的卷積，通過卷積將實值時間序列映射到另一個實值時間序列上.表示為

H[x(t)〗=1π∫∞-∞x(t)t-πdτ

(1)

其中，t表示時間，x(t)是時域信號，H[x(t)]是x(t)的希爾伯特變換.正因為希爾伯特變換是與頻率無關的90°相位移動，希爾伯特變換后調制信號的非穩態頻率成分不會改變.幅值和相位調制函數都可以通過希爾伯特變換提取出來.解調過程通過復數時域信號完成，這個復數時域信號也可以稱為解析信號，記作A[x(t)].

A[x(t)]=x(t)+iH[x(t)]=

(2)

復數范圍內的時域信號可以將實部虛部這種表示方式變換為幅值相位的表達方式：

(3)

希爾伯特變換能產生復數范圍內的時間序列.這些復數的幅值就是這里要求的包絡值，而且可以通過邊頻帶估計振動信號的調制頻率.

2 自適應小波變換

高斯小波是最常用的非正交復小波.標準正態自適應高斯小波函數定義如下：

ψp(t)=

(4)

φ(t)=

(5)

自適應高斯小波基可以通過調整時域頻域的分辨率以及時頻中心來得到最佳振動信號，這種方式與小波分解方式截然不同.為了提取時變振動信號的特征值，基函數ψp(t)定位在時頻聯合分布范圍內，權值Bp反映振動信號的局部特性.參數σp、tp、fp的選取要盡可能使ψp(t)和φ(t)的值接近.參數σp主要作用是調整ψp(t)函數的帶寬以確保振動信號的其他變量.自適應頻譜圖(ADS)可以通過以下函數獲得：

φp(t)=φp-1(t)-Bp-1ψp-1(t)

(6)

(7)

其中σp∈R+,tp∈R+,fp∈[0,+∞].式(7)中的指數函數項其實就是維格納威利分布的標準高斯函數.ADS的能量分布如下：

(8)

φ(t)的能量分布和式(8)中ADS(t,f)得到的能量分布是相同的.ADS可以看做是振動信號時頻范圍內的能量分布.該自適應頻譜圖具有非負，無交叉干擾項，高分辨率等特性.

本文的核心思路就是從信號φ(t)中提取出公式(5)中的最優參數.步驟如下：

1)運用希爾伯特變換得到振動信號的包絡值.

2)將p設置為1，代入公式(6)中得到最優參數.

3)用基于粒子群算法的最優化方法去搜尋公式(7)中的優化參數(Bp,fp,tp,σp)；公式(6)的最小均方根(LMS)將做為粒子群算法(PSO)的目標函數，最終通過粒子群算法和最小均方根得到所需要的待優化參數(Bp,fp,tp,σp).公式如下：

(9)

在整個求優化參數的過程中，得到的參數集(Bp,fp,tp,σp)要使Ep值最小.

4)將所求的第一組參數值(B1,f1,t1,σ1)代入公式(5)得到原始信號的能量值φ1，再代入公式(6)得到剩余信號能量值φ2，然后通過剩余信號量φ2作為下一次循環的初始量，重復上述步驟得到下一組優化參數(B2,f2,t2,σ2)，依此類推，將得到一系列優化參數組(B1,f1,t1,σ1)×(B2,f2,t2,σ2)×(Bn,fn,tn,σn).

5)將上述優化參數序列代入公式(7)得到ADS值.

3 粒子群優化算法

粒子群優化算法[11-13](PSO)是1995年由美國社會心理學家James Kennedy和電氣工程師Russell Eberhart 共同提出的算法，最初只是模擬鳥類的覓食過程，通過群體合作實現最優搜索.

PSO算法從鳥類模型中歸納出用于解決優化問題的方法.在PSO中，每個優化問題的解都是搜尋空間中的一只鳥,記為“粒子”.每個粒子都有兩個變量決定他們的方向和距離：位置和速度.這兩個變量通過每一次的迭代進行更新，繼而粒子群就追尋當前的最優粒子在空間中繼續搜索.

在PSO算法的每一次迭代中，粒子通過兩個“極值”來更新自己.第一個就是粒子當前搜尋到的最優解，記為個體極值pBest.另一個即整個粒子群當前搜尋到的最優解，記作全局極值gBest.

用數學模型表示如下：在一個D維的空間中，由n個粒子組成的種群，X=(X1,X2,ΛXn),其中第i個粒子的當前位置Xi=(Xi1,Xi2,ΛXiD).第i個粒子的速度為Vi=(Vi1,Vi2,ΛViD)，其個體極值為Pi=(Pi1,Pi2,ΛPiD)，種群的全局極值為Pg=(Pg1,Pg2,ΛPgD).更新公式如下：

(10)

(11)

其中，w為慣性權重；k為當前迭代次數；Vid為粒子的速度；Xid為粒子的位置；c1,c2為加速度因子；r1,r2為分布于[0,1]之間的隨機數.為減少粒子搜索的工作量，通常將其位置和速度分別控制在一定的區間：[-Xmax,Xmax],[-Vmax,Vmax].將LMS作為粒子群優化算法的目標函數，即

每個粒子都需要求其目標函數，本文將目標函數也作為適應度函數，Ep的最小值即為所求適應度函數值.

4 齒輪箱實驗測試系統

試驗信號采集是從齒輪箱的SpectraQuest動態模擬器中得到的.在齒輪箱的垂直和水平方向各固定一個PCB352C67加速器，通過DSP20-42型信號分析儀，將采集的振動信號輸入到電腦中并儲存.齒輪箱的測試系統如圖1所示，齒輪3和齒輪4垂直方向上的沖擊力產生振動，因此選擇垂直方向上的傳感器更容易提取質量較好的振動信號.實驗選取齒輪3或齒輪4來模擬故障.齒輪3與齒輪4之間的齒嚙合相當于加載在懸臂梁上的動態載荷，梁的最大撓度由梁末端處所受的作用力、梁的長度、材料的楊氏模量以及梁的慣性力矩所決定.齒輪4的長度和慣性力矩都比齒輪3大，故本實驗選用齒輪3來模擬故障.

圖1 齒輪箱測試系統圖Fig.1 The diagram of gearbox testing system

一般實驗模擬的齒輪故障模式主要包括:齒輪裂紋，表面疲勞剝落，膠合磨損等形式.由參考文獻[14]可知，齒輪裂紋是較容易測量的故障模式，所以本實驗中選取裂紋來模擬齒輪的故障模式.

為了了解裂紋深度和寬度同時變化對振動信號的影響，本實驗裂紋的深度和寬度均不采用固定值.假設a為弦齒厚的一半，b為齒面寬度.選取一個正常齒輪F1和三個故障齒輪F2、F3、F4進行實驗，齒輪的4種模式如表1所示.

表1 四種齒輪故障模式Table 1 Four gear fault modes

本實驗的樣本頻率設為2.56×1 024 Hz.采樣點數設為2 048.齒輪箱的轉速設為1 000 r/min，最大力矩載荷為41.42 N·m.齒輪的轉速和特征頻率是由發動機的轉速和傳動比決定的.轉速、特征頻率和力矩的總結如表2所示.表2中，f1表示軸1和齒輪1之間的轉動頻率；f2表示軸2和齒輪2、齒輪3之間的轉動頻率；f3表示軸3和齒輪4之間的轉動頻率；f12表示齒輪1和齒輪2之間的嚙合頻率；f34表示齒輪3和齒輪4之間的嚙合頻率.

表2 齒輪箱的轉速和頻率Table 2 Rotational speeds and frequencies of the gearbox

5 結果與討論

5.1 模擬信號

這里先用模擬信號來驗證公式(4)提出的自適應方法.信號cos(2π·1 560t)+cos(2π·1 600t)在區間[0,0.5]之間被調制頻率為40 Hz和80 Hz的調制信號所調制.其中80 Hz的頻率在區間(0,0.099)s和區間(0.301,0.5) s分布，模擬調制頻率隨時間的變化過程.幅值(A)調制和相位調制同時存在于該模擬信號中.(1 560+40) Hz的頻率成分在這里設置為和原始信號的其中一個頻率1 600 Hz是相同的.Rand(t)代表標準正態分布的高斯白噪聲.

(12)

模擬信號的樣本頻率為4×1 024 Hz.將本文所提出的方法用在該模擬信號上得到調制信號的40 Hz和80 Hz的頻率成分.具體操作步驟如下：

首先，用希爾伯特變換得到模擬信號的包絡信號.圖2(a)顯示了公式(12)所示信號的頻譜.在1 600 Hz周圍有很多邊頻帶：1 520 Hz,1 560 Hz,1 680 Hz.該圖中并未見明顯的40 Hz和80 Hz頻率成分出現.

圖2 模擬信號頻譜和模擬信號包絡頻譜Fig.2 Spectrum of the simulated signal and the simulated signal envelope with hilbert transform

其次，用希爾伯特變換分析圖2(a)中的包絡信號.

圖2(b)顯示了包絡信號的功率譜，其中清晰可見40 Hz和80 Hz頻率成分，但是卻沒有將載頻1 560 Hz和1 600 Hz，調制頻率40 Hz和80 Hz及其倍頻區分開來.

為了將40 Hz和80 Hz頻率成分從希爾伯特變換得到的包絡信號中解調出來，就需要使用前面提到的自適應頻譜的方式.圖3描述了圖2(b)所示包絡信號的自適應頻譜，40 Hz和80 Hz的頻率成分在圖中清晰可見，特別是圖3(b)中的80 Hz和公式(12)中顯示的時間間隔一模一樣.由此可見，本文提出的基于希爾伯特變換和自適應頻譜方法對解決模擬信號的解調問題非常有效.

圖3 模擬信號包絡的自適應頻譜Fig.3 The adaptive spectrogram of the simulated signal envelope from hilbert transform

5.2 實驗信號

實驗信號來自于SpectraQuest動態模擬器.當齒輪發生故障，比如裂紋時，齒輪箱傳感器上接收到的振動信號便包含了幅值和相位的調制.嚙合頻率的調制問題就產生了邊頻帶.邊頻帶一般是軸頻或是其倍頻.就像在第4部分描述的那樣，齒輪3上有裂紋，如圖2(a)便由調制產生了邊頻帶，或是間隔一倍軸頻，或是其諧頻.這里將應用上面提出的方法來得到實驗信號的解調頻率成分.

為了找到齒輪3產生的調制頻率，先用希爾伯特變換處理實驗振動信號，如圖4所示.圖4顯示了正常和故障兩種模式下的希爾伯特變換包絡信號的功率譜密度.圖4(a)顯示了齒輪4產生的中心頻率成分為7.14 Hz.齒輪1，2和齒輪3，4的嚙合頻率為190.48 Hz和285.71 Hz也清晰可見.圖4(b)中清晰可見齒輪4產生的中心頻率7.14 Hz和齒輪3、4的嚙合頻率為285.71 Hz.雖然在圖4中可以找到7.14 Hz和285.71 Hz的頻率成分，并且他們的幅值還都不相同，但齒輪3、4產生在中心頻率旁的邊頻也同時存在.所以僅僅使用功率譜密度并不足以確定故障的存在.

圖4 希爾伯特變換包絡信號功率譜密度圖譜Fig.4 Power desity spectrum of the hilbert transform envelope of the experimental vibration signals

這里用自適應高斯小波函數去解調軸的轉頻和齒輪時頻范圍內的嚙合頻率.自適應高斯小波的作用就是提取出振動信號的特征頻率.圖5和圖6分別顯示了實驗振動信號的希爾伯特包絡的自適應時頻分布：正常狀態和故障狀態.圖5顯示的是正常狀況下實驗信號的自適應圖譜(0～30 Hz),顯示的是齒輪1和齒輪4的轉頻：3.97 Hz和7.14 Hz.圖6顯示的是故障齒輪3的轉頻11.9 Hz.通過比較圖5和圖6可以明顯區分故障齒輪.通過上述討論，當齒輪出現裂紋時，故障齒輪的轉頻和嚙合頻率都會出現.圖5和圖6顯示的結果就證明了本文所提出的方法可以有效地提取出解調頻率，如本實驗的齒輪3的軸頻11.9 Hz，也可以很明顯地區分故障齒輪.

圖5 正常狀況下希爾伯特變換包絡信號的自適應圖譜Fig.5 The adaptive spectrogram of the experi-mental vibration signal envelope from hilbert transform under normal condition

圖6 故障狀況下希爾伯特變換包絡信號的自適應圖譜Fig.6 The adaptive spectrogram of the experi-mental vibration signal envelope from hilbert transform under faulty condtion

6 結 語

以上所提出的基于自適應小波和粒子群算法的方法能有效地提取調制頻率成分和嚙合頻率找到故障齒輪.運用自適應小波可以提取出更多的特征信息，同時，粒子群算法優化了自適應小波的過程參數，使最終的時頻分析具有較高的分辨率.本文通過模擬信號和實驗信號來共同驗證該方法的可靠性，結果表明，自適應小波和粒子群算法的結合比單純的小波分析提高了時頻域分辨率，即能夠在高分辨率下有效的提取和區分解調頻率.

致謝：本實驗數據由加拿大阿爾伯塔大學機械工程學院可靠性研究實驗室提供.國家自然科學基金，教育部新世紀高校杰出人才計劃，湖北省教育廳對該項目提供了支持.

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