壓桿穩(wěn)定臨界力歐拉公式統(tǒng)一推導(dǎo)

董冠文，李宗義，趙彥軍，王澤蔭，楊 龍，張慶華 ，杜建霞，趙典凱

（甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

0 引 言

在工程力學(xué)或材料力學(xué)中對(duì)壓桿穩(wěn)定臨界力推導(dǎo)方法很多，如靜力法、能量法等［1］.分幾種不同的約束條件，列出各自不同的撓曲線近似微分方程來(lái)求解，但該法過(guò)于復(fù)雜，教材也不可能全部推導(dǎo)證明［1］.文獻(xiàn)［1－2］利用彎矩微分方程和相應(yīng)的力學(xué)邊界條件對(duì)不同約束條件下的壓桿穩(wěn)定臨界力Euler（歐拉）公式做了統(tǒng)一推導(dǎo).和一般教材相比，該方法過(guò)程雖然大大簡(jiǎn)化了，但壓桿穩(wěn)定問題本質(zhì)上屬于桿的整體變形效應(yīng)問題，用邊界條件求解容易出現(xiàn)不確定和解的不一致，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)［3］已經(jīng)說(shuō)明.

與文獻(xiàn)［1－3］不同，以細(xì)長(zhǎng)壓桿微小彎曲的平衡條件建立了推導(dǎo)壓桿穩(wěn)定臨界力Euler公式的統(tǒng)一的撓曲線方程，結(jié)合不同約束條件，得到了文獻(xiàn)［4］中的五種不同約束條件下的壓桿穩(wěn)定臨界力Euler（歐拉）公式.

1 建立統(tǒng)一的撓曲線方程

為便于分析，現(xiàn)取一端固定，另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿進(jìn)行研究.

如圖1所示，一端固定，另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)后，為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力FR.于是撓曲線微分方程為

圖1 一端固定和另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)情況Fig.1 Situation of pole fixed at one end to the other end of slender columns hinged instability

以上微分方程的通解是

由此求出w的一介導(dǎo)數(shù)為

2 不同桿端約束形式下的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力

2.1 兩端鉸支的壓桿

將邊界條件FR＝0，x＝0，w＝0代入式（1）得B＝0

將邊界條件FR＝0，x＝l，B＝0，w＝0代入式（1）得

因?yàn)锽＝0，A與B不能同時(shí)為零，所以有A≠B即

圖2 兩端鉸支的壓桿失穩(wěn)情況Fig.2 Situation of bending pole at both ends of the hinge support

2.2 一端固定和一端自由的壓桿

將邊界條件FR＝0，x＝0，＝0代入式（2）得

將邊界條件FR＝0，x＝l，w＝0，A＝0代入式（1）得

因?yàn)锳＝0，A與B不能同時(shí)為零，所以有B≠0即

圖3 一端固定和一端自由的壓桿失穩(wěn)情況Fig.3 Situation of pole fixed at one end other one end of the free bending

2.3 兩端固定的壓桿

將邊界條件FR＝0，x＝0＝0代入式（2）得

將邊界條件FR＝0，x＝0，x＝l，w（0）＝w（l）代入式（1）得

因?yàn)锳＝0，A與B不能同時(shí)為零，所以有B≠0即

2.4 一端固定和另一端鉸支的壓桿

將邊界條件x＝0，w＝0代入式（1）得

圖4 兩端固定的壓桿失穩(wěn)Fig.4 Situation of the bending pole fixed at both ends

將邊界條件x＝l，w＝0代入式（1）得

由式（3）、式（4）得

圖5 一端固定和另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)情況Fig.5 Situation of pole fixed at one end and the other end hinged bending

因?yàn)锳與B不能同時(shí)為零，但式（6）式表明當(dāng)A＝0時(shí)，一定有B＝0

只有當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，才能同時(shí)滿足式（6）和A與B不能同時(shí)為零的條件.

所以可以將式（6）代入式（5）得

圖6 正切曲線與過(guò)原點(diǎn)的直線相交Fig.6 Situation of pole tangent curve and the straight line of the origin intersect

2.5 一端固定和一端定向可移動(dòng)夾緊的壓桿

將邊界條件FR＝0，x＝0，w＝0代入式（1）得

因?yàn)锳與B不能同時(shí)為零，B＝0，一定有A≠0即

最小根為 kl＝π

圖7 一端固定和一端定向可移動(dòng)夾緊的壓桿失穩(wěn)情況Fig.7 One end fixed and other one end of the directional the movable clamping the strut instability

綜上所述，以上計(jì)算的臨界力與文獻(xiàn)［4］一致，因此可以寫成統(tǒng)一形式

式中：μ為長(zhǎng)度因數(shù)，壓桿兩端鉸支時(shí)，μ＝1；壓桿一端固定，一端自由時(shí)，μ＝2；壓桿兩端固定時(shí)，；壓桿一端固定，一端鉸支時(shí)，μ＝0.7；壓桿一端固定，一端定向可移動(dòng)夾緊時(shí)，μ＝1.

4 結(jié) 語(yǔ)

本研究首次提出了以一端固定另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿微小彎曲撓曲線方程作為統(tǒng)一的撓曲線方程，分別代入壓桿兩端鉸支失穩(wěn)、壓桿一端固定另一端自由失穩(wěn)、壓桿兩端固失穩(wěn)定、壓桿一端固定另一端定向可移動(dòng)夾緊失穩(wěn)的臨界力邊界條件的方法，得到了上述條件下的壓桿穩(wěn)定歐拉公式.若依據(jù)上述不同的約束條件，列出各自不同的撓曲線方程來(lái)求解，則加大了問題的求解難度，另外雖然也可用彎剪方程撓曲線方程對(duì)壓桿穩(wěn)定臨界力歐拉公式做統(tǒng)一推導(dǎo)，但這樣既考慮剪力又考慮彎矩，沒有體現(xiàn)桿的整體變形效應(yīng).綜上所述，壓桿兩端鉸支失穩(wěn)、壓桿一端固定另一端自由失穩(wěn)、壓桿兩端固失穩(wěn)定、壓桿一端固定另一端定向可移動(dòng)夾緊失穩(wěn)，這些情況都可以看做是壓桿一端固定另一端鉸支失穩(wěn)情況下，橫向反力FR＝0的情形，壓桿穩(wěn)定屬于桿真正意義上的整體變形效應(yīng)，與拉、壓、彎、扭本質(zhì)上存在區(qū)別.

［1］傅寧，杜家熙.用彎剪方程求細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力［J］.河南職技師院學(xué)報(bào)，1999，27（1）：39－40.

［2］李有興，肖芳淳.用彎剪矩陣法確定壓桿臨界力的教學(xué)研究［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1995，17（1）：69－71.

［3］張曉春，關(guān)于彎剪矩陣法的思考［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1997，19（2）：68－69.

［4］李世榮.材料力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010：200－203.