相角裕度和幅值裕度的一種估算方法

劉美俠，孫延永

(宿遷學院機電工程系，江蘇 宿遷 223800)

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設計所需解決的首要問題。在實際系統(tǒng)中，動態(tài)穩(wěn)定性不僅必須保證，而且還要有一定的穩(wěn)定裕度，以防參數(shù)變化的影響。根據(jù)奈氏判據(jù):對于最小相位系統(tǒng)，穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相頻率特性曲線TGH包圍(-1，j0)點的圈數(shù)為0。當開環(huán)幅相頻率特性曲線TGH穿過(-1，j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。因此，在穩(wěn)定研究中稱(-1，j0)點為臨界點，而閉合曲線TGH相對于臨界點的位置即偏離臨界點的程度，反應系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。頻域的相對穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度常用相角裕度 γ 和幅值裕度 h 來度量[1，2]。

本文的例題可以說明，筆者用于估算相位精度和幅值精度方法簡便，且有較好的精度。經(jīng)過大量系統(tǒng)驗證了該方法是可行的，并在工程分析與設計中也能獲得滿意的結(jié)果。

1 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，s是復變量;K為開環(huán)增益;τi和Tj為時間常數(shù);v為開環(huán)系統(tǒng)s平面坐標原點上的極點的重數(shù)。

把式(1)中的s用jω代替就得系統(tǒng)開環(huán)特性:

2 相角裕度γ

2.1 直接利用定義求解

設ωc為系統(tǒng)的截止頻率，有

由式(5)可解出 ωc，代入式(4)可求得 φ(ωc)，代入式(6)求得相角裕度γ。但是由于要解反三角函數(shù)方程，因此當系統(tǒng)階次較高時ωc很難求出，這正是此方法的局限所在。在工程設計和分析時，只要求粗略估計系統(tǒng)的相角裕度，我們一般先根據(jù)對數(shù)幅頻特性漸近曲線確定截止頻率ωc，即取ωc滿足L(ωc)=0，再由相頻特性確定相角裕度γ。

2.2 估算求法

幅頻特性漸近曲線對系統(tǒng)在ωc處幅頻值有影響的環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。近似計算在ωc處的系統(tǒng)幅值僅包括這些環(huán)節(jié)，且略去各環(huán)節(jié)的常數(shù)項1，這就是估算求法。

[例1]:求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=5/s(s+1)(0.1s+1)的相角裕度和幅值裕度。

解:其開環(huán)頻率特性為

G(jω)H(jω)=5/jω(jω +1)(0.1jω +1)

幅頻特性為

相頻特性為

轉(zhuǎn)折頻率為ω1=1和ω2=10。在0≤ω＜1時，有 A(ω)≈5/ω。要使 A(ω)=1，則有 ω =5，這會與0≤ω＜1矛盾，因此ωc不會在0到1之間;而在1≤ω ＜10 時，有A(ω)≈5/ω2，要使A(ω)=1，則有 ω =，在1≤ω ＜10區(qū)間，顯然截止頻率;在 ω≥10 時，A(ω)≈5/(0.1ω2)，要使 A(ω)=1，則有 ω＜10，與 ω≥10矛盾。故截止頻率代入式(9)得γ=12o，可見它與實際γ=13.6o值很接近。

從例1可知估算求法只涉及到代數(shù)方程的求解問題，因此當系統(tǒng)階次較高時要明顯優(yōu)于直接利用定義的方法。

3 幅值裕度h

設ωg為系統(tǒng)的穿越頻率，則系統(tǒng)在ωg處的相角為 φ(ωg)=-180o，定義幅值裕度 h=1/A(ωg)，幅值裕度的h含義是對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。故可根據(jù)勞斯判據(jù)來確定開環(huán)增益臨界穩(wěn)定K，從而求出h。由式(3)和式(4)可知變化開環(huán)增益K，相頻特性不變，但幅頻特性不同。所以ωg與開環(huán)增益無關，即不管K是多少，ωg是不變的。故可以在臨界穩(wěn)定時用上述估算求法求出ωg。

設上例中開環(huán)增益K1時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，開環(huán)傳遞函數(shù):

我們由勞斯判據(jù)得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的充要條件是:1.1=0.1K1，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 K1=11，所以據(jù)K1=5×h，求出幅值裕度h=22。對于下面兩式應有相同的穿越頻率ωg:

要使幅頻特性滿足

于是，在0≤ω＜1時，有A(ω)≈11/ω。如果要使A(ω)=1，則得 ω =11，與0≤ω ＜1矛盾，故 ωg不會在0 到1 之間;在1≤ω ＜10，A(ω)≈11/ω2，如果要使A(ω)=1，則得 ω =3.31，在1≤ω ＜10 區(qū)間，故 ωg=3.31。將其代入式(9)后可得 φ(ω)≈181.4o，與定義φ(ωg)=180o很接近，證明其符合工程計算要求。

[1]胡壽松.自動控制原理[M].北京:國防工業(yè)出版社，1994

[2]緒方勝彥著.盧伯英等譯.現(xiàn)代控制工程(中譯本)[M].北京:科學出版社，1978.