關于無功功率的討論

田社平，陳洪亮

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240)

在正弦穩態電路中，與功率有關的概念包括瞬時功率、平均(有功)功率和無功功率、表觀功率、復功率等，其中平均功率是指電路實際消耗的功率，其對應的電能將轉換為電、磁能量之外的能量如熱能等消耗掉，具有十分明顯的物理含義;而無功功率作為一種功率的概念，雖然具有功率的量綱，但它終究不是實際作功的功率，其物理含義卻不那么明顯。在教學過程中，常有學生提出“什么是無功功率?”和“無功功率與瞬時功率有何關系?”等問題。本文結合教學實踐，試對上述問題作一討論。

在電工技術中，無功功率的定義首先源自對儲能元件無功功率的定義。對電感元件，無功功率定義為電感兩端正弦穩態電壓、電流有效值的乘積;對電容元件，無功功率定義為電容兩端正弦穩態電壓、電流有效值的乘積的負值[1-5]。這說明無功功率不僅有大小之分，而且還有正負之分。

1 無功功率的實質

1.1 無功功率之正負號的含義

無功功率的正負號反映了電容存儲的電能和電感存儲的磁能之間可以互相轉化。利用圖1對無功功率的正負號可作進一步說明。圖1(a)是LC兩個元件的串聯。對照電容和電感的瞬時功率曲線，可以看出:電路中的電容在吸收功率的同時，電感恰好在釋放功率;而電感在吸收功率的同時，電容恰好在釋放功率。在圖1(b)所示的并聯電路中還包含電阻元件。對照電容和電感的瞬時功率曲線，可以看出:盡管并非在所有的時間段電容和電感在吸收或釋放功率正好相反，但在一部分時間段內電路中的電容在吸收功率的同時，電感恰好在釋放功率;而電感在吸收功率的同時，電容恰好在釋放功率。我們由此可以得出:在存在兩種儲能元件的電路中，電容和電感在吸收或釋放功率的是可以相互抵消的，無功功率之正負號的物理意義正在于此，即電容存儲的電能和電感存儲的磁能之間可以互相轉化。有的教材認為，存在兩種儲能元件L和C的任何電路中，電容和電感在吸收或釋放功率的時間上正好相反[5]。由圖1(b)可知，上述說法是不準確的，即電路中存在電阻元件時，電路中電容和電感在吸收或釋放功率的時間上并非正好相反。通過電路仿真軟件Multisim進行仿真也驗證了這一點。圖2所示的仿真是令圖1(b)中參數為R=5Ω、L=0.1H、C=2mF，激勵頻率為10Hz、有效值為1V時在0.7～1s內電感和電容的瞬時功率曲線。由圖2可明顯看出兩種儲能元件功率的符號并非在所有時間內正好相反。

圖1 無功功率的正負號說明

圖2 圖1(b)的Multisim仿真結果

1.2 無功功率之大小的含義

在正弦穩態時，儲能元件與外電路(電源)之間存在著能量不斷往返的現象。根據無功功率的定義，電感或電容的無功功率的大小反映了電感或的電容元件儲能變化率(瞬時功率)的最大值。進一步，無功功率與儲能之間存在如下關系[1]:

請注意理解上式中各變量的含義(與教材[1]表示同)。由式(1)可進一步理解無功功率的如下物理意義。

(1)電感的無功功率等于其儲能平均值WL的2ω倍;電容的無功功率等于其儲能平均值的WC2ω倍的負值。儲能越多，若能量往返的頻率越大則往返的規模也越大。無功功率能夠反映這一情況。

(2)由于平均儲能和頻率只能取正值，因此電感的無功功率永遠是正值，而電容的無功功率永遠是負值。

2 一般正弦穩態電路的無功功率

2.1 無功功率的定義及物理意義

對于一般的正弦穩態一端口電路，其端口電壓與端口電流的相位差φ=φu－φi。圖3所示為感性一端口電路的相量圖。

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圖3 正弦穩態一端口電路的相量圖

該一端口電路吸收的平均功率為

式中，UP=U cosφ。由相量圖可知，是與電流同相位的電壓分量，兩者有效值之積得到有功功率。因此U cosφ稱為電壓的有功分量或有功電壓。相量圖中的是與電流正交的電壓分量，兩者有效值之積得到無功功率，即

式中，UQ=Usinφ，稱為電壓的無功分量或無功電壓。

由上可知，對正弦穩態電路，只要電壓和電流存在相位差就存在無功功率。無功功率還滿足如下關系:

上式表明:無功功率正比于電路中兩種平均儲能的差值。兩種儲能在電路內部可自行交換，而與外電路往返的能量僅為兩種儲能平均值的差值。當兩種儲能平均值正好相等，則電路與外電路(電源)之間并不存在能量往返的現象。因此，對一般正弦穩態電路，其無功功率的大小同樣反映了外電路(電源)參與能量往返的程度。

由上面的討論可以看出:同相電壓、電流分量產生平均功率，而正交電壓、電流分量則產生無功功率。

由式(3)可知，一般正弦穩態電路的無功功率是電感、電容元件無功功率定義的推廣。

2.2 無功功率與瞬時功率的關系

則該一端口電路吸收的瞬時功率為

圖4 正弦穩態一端口電路

該功率是一個隨時間變化的量，為瞬時功率。瞬時功率p包括兩項，一項為常量，另一項為正弦量，頻率是電壓(電流)頻率的二倍。有的教材認為上式右邊第一項為有功分量，第二項為無功分量[5]。這種說法比較模糊，它并不能解釋平均(有功)功率和無功功率的大小。

如何從瞬時功率中分解出有關分量和無功分量，應注意理解“同相電壓、電流分量產生平均功率，而正交電壓、電流分量則產生無功功率”?？梢宰C明，瞬時功率p亦可以表示為

可將上式右邊第一和第二項之和稱為有功分量PR，第三項稱為無功分量PX

事實上，可將圖4電路等效為圖5(a)所示的串聯模型。顯然有

電阻分量的瞬時功率為

類似地，電抗分量的瞬時功率為

由式(7)不難得出平均(有功)功率為P=UIcos(φu－φi)，無功功率為 Q=UIsin(φu－φi))。注意，無功功率表達式前面取正號，這是因為按照無功功率的定義，規定電感的無功功率為正，電容的無功功率為負。

圖5 正弦穩態一端口電路的兩種等效相量模型

圖4電路還可等效為圖5(b)所示的并聯模型。瞬時功率p還可以表示為與式(7)類似的公式:

上式右邊第一，第二項之和稱為有功分量RA，第三項稱為無功量PX。

同樣，由此可以得到平均功率和無功功率的正確表達式。

3 結語

本文針對電路教學中對無功功率理解上的一些問題進行了討論，著重強調了如下幾點。

(1)平均功率是由同相電壓和電流分量產生的，而正交電壓和電流分量則產生無功功率。

(2)正弦穩態電路的無功功率反映了網絡與外電路(電源)之間能量往返的規模。儲能越多，能量往返的頻率越大，則能量往返的規模也越大。

(3)無功功率可正可負，說明了電場儲能和磁場儲能在電路內部可自行交換。這里必須特別指出的是，規定電感無功功率為正而電容無功功率為負，僅僅是為了公式表達和分析的方便。相反，如取電容無功功率為正而電感無功功率為負，則與無功功率相關的公式都應作符號上的相應修改。

(4)從穩態電路的瞬時功率表達式中可分解出有功分量和無功分量，這兩個分量分別對應平均功率和無功功率。值得指出的是，盡管本文給出了兩種不同的表示方法，但其本質相同，兩種表達式的區別在于所取的時間起點不同。由式(7)和式(11)可以看出，兩者表達式在相位上相差φu－φi。

[1]李瀚蓀.簡明電路分析基礎[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陳洪亮，田社平，吳雪等.電路分析基礎[M].北京:清華大學出版社.2009

[3]陳希有.電路理論基礎[M].北京:高等教育出版社.2004

[4]吳大正.電路基礎[M].西安:西安電子科技大學出版社.2007

[5]吳錫龍.電路分析[M].北京:高等教育出版社.2004