星間DOWRT中的相對論效應分析與修正

孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191）

星間DOWRT中的相對論效應分析與修正

孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191）

推導了雙向單程測距與時間同步（DOWRT，Dual One-Way Ranging/Time Synchronization）的解耦方程，分析了空間動態下DOWRT法的計算方法及相對論效應在測距和時間比對中的影響，提出了帶有相對論效應修正的DOWRT算法，最后分別仿真分析了低軌編隊飛行衛星和導航星座中的距離與時間同步測量中相對論效應引起的誤差.結果表明:衛星間采用DOWRT測量方法時，由相對論效應引起的低軌短基線編隊飛行衛星間距離測量誤差為米級、時間同步誤差為亞皮秒級，而在導航星座測量中引起近百米級距離測量誤差和高達微秒級的時間同步誤差.因此為了實現導航衛星間高精度距離與時間同步測量，必須進行相對論效應修正.

雙向單程測距與時間同步;衛星導航星座;星間鏈路;誤差分析;廣義相對論

衛星編隊飛行是近年來興起并受到國內外航天界普遍關注的一個新的研究領域，而編隊衛星間的距離和時間同步測量技術是其中一項關鍵技術，很多文獻討論了這一問題［1－5］.考慮到衛星運動的影響，文獻［3］對雙向法進行了修正，提出通過預先估計衛星的徑向速度、星間距離實現動態下衛星距離和鐘差的精確測量.

在全球導航定位系統中，星間鏈路的測量在輔助地面進行精密定軌、增加星歷注入頻度、增強星座自主運行和管理等方面起著重要作用.目前，美國GPS BLOCK-IIR衛星已具備了星間相對測量的能力［4］，一旦有足夠的衛星在軌，GPS星座將可以實現戰時的自主運行，但其星間鏈路的測量技術細節卻很少公布，很多技術尚不清楚實現方法.所以針對導航星座的星間鏈路測量技術的研究與探索在建設我國全球衛星導航系統過程中有著重要的實際和戰略意義.文獻［5］介紹了一種導航衛星動態雙向時間同步算法，提出利用星間偽距擬合多項式和鐘差擬合多項式聯合求解高精度星間鐘差.

在大尺度空間范圍內，以歐幾里德空間為基礎的經典牛頓力學理論中時間觀測精度在10－8以內［6］，遠不能滿足現代高精度測量的要求，所以必須在相對論框架下考慮衛星間距離和時間同步測量這一問題.對此國內外鮮有文獻提及，本文給出了動態下帶有相對論效應修正的星間距離測量與時間同步的解耦方程，并仿真分析了相對論效應對LEO（Low Earth Orbit）衛星編隊飛行和導航星座中測距與時間同步測量的影響.

1 基于雙向法的DOWRT原理

基于雙向法的雙向單程測距技術DOWR（Dual One-Way Ranging）是一種非相干擴頻測距和時間比對方法［1－2］，在這種方法中，每顆衛星均安裝有發射機和接收機，通過偽碼和載波相位測量，各自得到觀測偽距，通過交換偽距消除多種誤差量，實現星間精密測距，時間同步.其基本原理可用圖1說明.

衛星A（B）在其鐘面時刻tAt（tBt）發射測距幀信號，在tAr（tBr）時刻接收到對方衛星測距幀信號.其他參數定義為:①ρA為A衛星接收B衛星信號處理解算出來的偽距（基本觀測量，時間單位）;②ρB為B衛星接收A衛星處理解算出來的偽距（基本觀測量，時間單位）;③τAB（τBA）為測距信號在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時延;④Δt為A星與B星發射（接收）測距信號時兩星之間的鐘差;⑤τAt，τAr，τBt，τBr分別為A星發射設備和接收設備的時延與B星發射設備和接收設備的時延.分析過程中以測距信號傳播時延關系來推導測距衛星天線相位中心之間的幾何距離，當忽略各種測量誤差時，顯然有

圖1 DOWRT法的時空分析圖

如圖1b所示，由于衛星運動，測距信號在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時延τAB（τBA）不同.R為信號發射時刻衛星A，B天線相位中心之間的幾何距離矢量，vAlos，vBlos為衛星A，B速度在它們幾何距離矢量上的投影，根據經典運動學原理有

由式（1）、式（2）可以得到經典理論下動態衛星間距離與時間同步測量的解耦方程:

2 DOWRT的廣義相對論效應與修正

經典的牛頓理論認為同時性是瞬時的、絕對的，亦即慣性系中不同地點發生的事件都可以在一個時間軸上（用一只鐘）給予記錄.但是相對論理論認為（假設）:①光的傳播速度不滿足疊加性，光速恒定不變;②愛因斯坦同時性，即利用光信號將發生在不同地點的事件的時間維聯系起來［6－8］.狹義相對論解決了相互做勻速運動的慣性系中時空度量的問題，廣義相對論解決的是在任意慣性系之間時空度量的問題.經典理論中測量精度為10－8，不能滿足高精度測量的要求.

在廣義相對論中，時空坐標系是由與物質分布及引力場等有關的度規張量gαβ定義的，時空中四維不變弧元ds2表示如下［8］:

時空的測量與度規張量gαβ的選取有關，事實上，很難嚴格給出某一坐標系下度規的完整表達形式.

在地心非旋轉坐標系下，采用1991年IAU第21次大會決議A4推薦的后牛頓精度近似下（c－2的精度對星間距離測量與時間同步而言已經足夠）的時空度規:

其中，U為地球的牛頓引力勢和太陽等外部天體的引潮力之和;δij為科羅內克符號.

測距與時間同步的基礎是測時，即前述問題的本質是對時間的計量.不同地點的時鐘比對，除了與同時性的定義有關以外，還與信號的傳播時延有關.式中的偽距觀測值ρA，ρB就是接收衛星鐘面時tAr（tBr）與發射衛星鐘面時tBt（tAt）的比對（求差）.

在廣義相對論框架下，形如式的通過無線電進行時間比對（求差）的問題，必須對相對論效應進行修正，即

其中，δBA（δAB）是測距信號由衛星A到衛星B（衛星B到衛星A）的相對論效應修正項，它們主要表現為引力時延.根據式（4）～式（6）且只考慮地心引力項，可以得出如下的表達式（皮秒量級）:

其中，RBA（RAB）表示由衛星B指向衛星A（衛星A指向衛星B）的幾何距離矢量;vA（vB）和aA（aB）分別表示衛星A（B）在地心非旋轉坐標系下的速度和加速度矢量;rA（rB）則表示衛星A（B）到地心的距離值;GM為地心引力常數.因為近似過程只考慮了地心引力影響，所以只有在地球附近2×105km的范圍內式（7）、式（8）才有效.

式（7）、式（8）中，等號右邊第1項，在地心地固坐標系中表現為Sagnac效應，在星間時鐘比對中影響量級為102ns;第2項中衛星的加速度項的影響很小可以忽略.第3項為引力勢項，并且有

而且根據圖1有 RAB≈R，RBA≈－R，所以式（7）、式（8）可以近似表達為

需要說明的是，廣義相對論框架中式中的τBA，τAB稱為幾何時延，且有

這樣結合式（6）、式（10）、式（11）就可以得到動態下進行了相對論效應修正（后牛頓精度下）的衛星間測距與時間同步解耦方程:

3 數值仿真分析

文獻［9］給出了相對論效應對衛星時鐘的影響.表1中摘錄了4種衛星的相對論效應中影響量級較大的Sagnac效應典型值.其中第3行給出按式（7）、式（8）中等式右邊第1項計算的Sagnac效應值.可見通過式（7）、式（8）計算的Sagnac效應值與典型值基本吻合.

表1 Sagnac效應典型值與計算值比較

下面通過仿真對比分析LEO衛星編隊間和導航星座衛星間DOWRT法測量中的相對論效應引起的誤差.假設 LEO衛星編隊軌道高度約240 km，基線長度約370 km;導航星座由24顆MEO（Medium Earth Orbit）衛星（Walker24/3/2）、3顆GEO（Geostationary Earth Orbit）衛星和3顆IGSO（Inclined Geosynchronous Orbit）衛星組成，其中MEO衛星軌道高度為24126km，GEO/IGSO衛星軌道高度35 780 km.并忽略接收機測量誤差、原子鐘變化誤差、測量設備延時誤差、天線相位中心的偏差.

圖2、圖3為LEO衛星編隊間和導航星座中MEO衛星間DOWRT法中相對論效應引起的誤差.結果表明:對低軌短基線編隊飛行的衛星而言，相對論效應對DOWRT法測量的影響較?。ň嚯x測量誤差為米級、時間同步誤差為亞納皮級），而在導航星座中MEO衛星間的距離測量誤差為百米級、（異軌中）時間同步誤差為微秒級.可見，衛星的軌道高度和星間的相對距離決定著相對論效應誤差的量級.

圖2 LEO衛星編隊星間測量相對論效應誤差

圖4為導航星座中MEO與GEO（IGSO）衛星測量的相對論效應誤差分析.由圖可知，相對論效應對不同軌道高度衛星MEO與GEO（IGSO）衛星間的距離測量引起百米量級的誤差，引起的時間同步測量誤差為微秒量級.

圖4 導航星座中MEO與GEO（IGSO）衛星間測量的相對論效應誤差

4 結論

本文通過研究與分析相對論效應對DOWRT法測量的影響，得到了以下結論:①相對論效應引起的誤差與測距衛星相對距離和在此距離方向上的速度投影有關;②衛星的軌道高度和星間相對距離決定了相對論效應引起的誤差量級;③相對論效應對短基線LEO衛星編隊距離測量產生的誤差為米級、時間同步誤差為亞皮秒級，但在導航星座中，相對論效應引起的距離測量誤差為百米級、時間同步誤差為微秒級.

綜上，為實現導航星座衛星間的高精度DOWRT，必須考慮相對論效應的影響，并按修正公式進行解耦計算.

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Analysis and correction on relativistic effect of inter-satellites using dual one-way ranging/time synchronization

Sun Wenchao Chang Qing Xu Yong Qi Wei
（School of Electronics and Information Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

The calculation of dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）between dynamic satellites was analyzed.In addition，relativistic effect on ranging/time synchronization was presented.A calculation with relativistic correction of DOWRT was proposed.Measurement errors of ranging/time synchronization in low earth orbit（LEO）formation constellation and in navigation constellation caused by relativistic effect were simulated and comparatively analyzed.Simulation results demonstrate that when inter-satellite DOWRT method is adopted，ranging measurement and time synchronization errors during LEO formation flying caused by relativistic effects are in meter-scale and sub-picosecond level respectively，while in navigation constellation measurement，the corresponding errors would be in hundred-meter scale and microsecond level.As a result，relativistic correction should be included in order to realize high-precision ranging and time synchronization measurement between navigation satellites.

dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）;navigation constellation;inter-satellite links;error analysis;general relativity

TN 927;TN 961

A

1001-5965（2012）03-0335-05

2010-11-30;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-03-09 10:37

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120309.1037.017.html

國家自然科學基金資助項目（60872062）;國家高技術研究發展計劃（“863”計劃）資助項目（2007AA12Z336，2009AA12Z313）;航天科技重點創新基金資助項目（2009-06）

孫文超（1986－），男，天津人，碩士生，wenchao35092207@yahoo.com.cn.

（編 輯:婁 嘉）