自由邊界拋物薄殼的模態振型函數

王新杰 岳洪浩 鄧宗全

（哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001）

自由邊界拋物薄殼的模態振型函數

王新杰 岳洪浩 鄧宗全

（哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001）

基于membrane理論，推導出一組完全滿足拋物薄殼自由邊界條件的模態振型函數.通過模態分析實驗得到自由邊界拋物薄殼的低階模態實驗振型，將實驗振型與有限元分析振型及依據模態振型函數所得到的理論振型進行對比，三者能夠較好的吻合，表明所推導的模態振型函數可正確描述拋物薄殼的模態形狀.

拋物薄殼;模態振型函數;membrane理論;模態分析

拋物殼結構具有聚焦特性和良好的空氣動力學性能，在航空航天領域得到廣泛的應用，如大型薄壁通信天線、太空光學反射鏡和火箭整流罩等.而拋物殼結構的振動抑制問題，成為工程應用和設計中的難點和重點.近年來眾多學者通過智能材料對拋物殼結構進行主動振動控制從而達到抑制振動的目的［1－2］.而拋物殼結構的模態振型反映了結構對外載荷響應的相對幅度、相位和振動形狀，是研究板殼結構智能監測、傳感/作動器設計與布局的重要依據和基礎.

針對拋物殼的動力學問題的研究起步較早，眾多學者作了大量的研究工作［3－9］，但針對拋物殼模態振型所開展的研究則相對較少.1960年，Lin和Lee推導了基于彎矩假設的自由邊界條件下的模態形狀方程［10］，但實際上該模態形狀方程只滿足彎矩假設條件而并不滿足自由邊界條件.1964年，Hoppmann等人采用實驗的方法描繪出不同邊界條件下拋物殼的振動節線［11］.1973年，Glockner和Tawadros對拋物殼在簡支和固支條件下的自由振動進行了實驗，并給出拋物殼模態形狀的離散實驗值［12］.2005 年，Kang和 Leissa應用三維Ritz方法分析了不同厚度拋物殼彈性結構的自由振動特性，利用包含有厚度參數在內的多項式來表示拋物殼的模態形狀函數，但并沒有給出拋物殼在相應邊界條件下模態形狀函數的具體形式［13］.綜上所述，針對自由邊界拋物殼的模態振型函數仍需進一步的理論研究，開展對應的模態實驗分析，進行驗證非常有必要.

本文以自由邊界拋物薄殼的模態振型為研究對象.首先基于membrane簡化，對自由邊界條件下拋物薄殼的模態振型函數進行理論推導;然后通過模態分析實驗，對所推導出的模態振型函數進行驗證.

1 拋物殼的薄膜力與薄膜剪力

定義拋物殼的曲線正交坐標系為（φ，ψ，α3）.φ，ψ和α3分別表示拋物殼的子午線方向、圓周方向和橫截方向，如圖1所示.用c和a分別表示拋物殼的高度及開口半徑;并引入參數b，且b=a2/（2c）.φ*表示子午線方向的邊界弧度，且φ*=arctan（2c/a）.則子午線曲率半徑 Rφ=b/cos3φ，圓周曲率半徑Rψ=b/cosφ.

圖1 拋物殼的曲線坐標系

設拋物殼中曲面在φ，ψ和α3方向的位移分量分別為uφ，uψ和u3，則拋物殼薄膜力、薄膜剪力與位移的關系可表示為［14］

2 自由邊界拋物薄殼模態振型函數

當殼體的厚度與曲率半徑的比值小于0.05時，可采用 membrane理論［15］，忽略殼體的彎矩、扭矩及橫向剪力.本節將采用membrane理論對自由邊界拋物薄殼的模態振型函數進行推導.

對于自由邊界拋物殼，其邊界上的所有力與力矩都應為零，由于本文采用了membrane理論，忽略了殼體的彎矩、扭矩及橫向剪力，因此邊界約束條件簡化為邊界上（即φ=φ*時）沿著子午線和圓周方向的薄膜力以及薄膜剪力為零，即

依據式（1）～式（3），如要滿足約束方程（4），可令

假設彈性拋物殼上任意點以一個固有頻率進行簡諧振動，而其位移可表示為以下形式:

式中，k表示模態階數;ωk表示第k階固有頻率;Uφk，Uψk和 U3k分別表示子午線方向、圓周方向和橫截方向的模態振型函數.

將式（8）～式（10）代入式（5）～式（7）可得

首先將橫截方向的模態振型函數寫為

式中f3（φ）為變量φ的函數.

將式（14）代入式（11）得:

將式（14）和式（15）代入式（12）得:

式（18）的通解為

式中c1，c2為任意常數.

由于拋物殼的不同階次振型的最大幅值并不相同，因此這里引入模態的振動幅值系數Ak，則3個方向上的模態振型函數可以表示為

為了保證當 φ=φ*時，式（5）～式（7）成立，Uφk修改為

由式（19）可以看出，F3（φ）=sin φtan－kφ 和F3（φ）=sinφtankφ均為方程式（18）的特解.

當 F3（φ）=sin φtan－kφ 時，依據式（21）～ 式（23）可求得

針對式（26）的表達式來說，當φ=0時，U3k的值為無窮大，當φ由0→φ*時，tan－kφ越來越小，U3k的值逐漸減少.也就是說，殼的頂點（φ=0）處，其振動幅值為無窮大;而沿著子午線方向由頂點到邊緣（0→φ ）移動時，其振動幅值是逐漸減小的.這些均不符合自由邊界條件下拋物殼振動的實際情況，因此該組振型函數被排除掉.

當 F3（φ）=sin φtankφ 時，依據式（21）～ 式（23）可求得:

經分析，式（29）所描述的振型函數符合自由邊界條件下拋物殼振動的實際情況.依據式（27）～式（29）所表述的振型函數可得到拋物薄殼各階理論振型的3D圖形.

3 拋物薄殼模態分析實驗

3.1 拋物薄殼物理模型及模態分析測試平臺

本文以DSM Somos-14120樹脂為原料，采用激光快速成型法制作了拋物薄殼的物理模型.DSM Somos-14120樹脂的機械性能指標為:彈性模量 Y=2.8×109N/m2，質量密度 ρ=1 120 kg/m3（25℃），泊松比 μ=0.35.拋物薄殼的尺寸參數為:開口半徑為 a=0.2 m，高度 c=0.1 m，厚度h=1×10－3m.

為滿足自由邊界條件，采用橡皮筋將拋物薄殼懸吊起來，將殼體的頂點確定為懸吊點，以使懸吊方式對邊界條件的影響減到最小.此外，加速度傳感器的質量和數量也會對精密柔性殼結構的動態特性產生重要影響，所以實驗中只設置一個響應參考點，并選擇ICP加速度計（M353B18）對響應參考點進行測量.利用ICP力錘對拋物薄殼進行激勵，通過NI動態信號采集卡（NI-PXI44 72）采集數據.圖2所示為模態分析測試平臺.

圖2 自由邊界拋物薄殼模態分析測試平臺

3.2 模態振型測試及分析

在拋物薄殼模型上沿圓周方向和子午線方向等弧度交叉劃分48個節點，應用移動激勵點法測試實驗模型的動態特性，并通過ModalVIEW模態分析軟件進行頻響函數分析，最終提取自由邊界條件下拋物殼的低階振型.將拋物殼前三階實驗振型與理論振型、ANSYS分析振型對比，如圖3～圖5所示.

圖3 自由邊界拋物薄殼第一階模態形狀對比

圖4 自由邊界拋物薄殼第二階模態形狀對比

圖5 自由邊界拋物薄殼第三階模態形狀對比

通過模態振型比較可以看出，理論振型、實驗振型和ANSYS分析振型在各階模態均能準確對應，因此可以確認基于membrane簡化推導的自由邊界拋物薄殼模態振型函數能夠正確描述各階模態振動的實際形狀.

4 結論

基于membrane簡化，推導出一組完全滿足拋物薄殼自由邊界條件的模態振型函數，依據所推導的模態振型函數可得到自由邊界拋物薄殼上的理論振型.利用模態分析軟件ModalVIEW得到自由邊界拋物薄殼的低階模態實驗振型.將理論振型、實驗振型和ANSYS分析振型進行對比，三者能夠較好的吻合，驗證了所推導模態振型函數的正確性.

（References）

［1］Tzou Hornsen，Ding Jianghong.Actuator placement and micro-actuation efficiency of adaptive paraboloidal shells［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，2003，125:577－584

［2］Yue Honghao，Deng Zongquan，Tzou Hornsen.Optimal actuator locations and precision micro-control actions on free paraboloidal membrane shells［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2008，13:2298－2307

［3］羅祖道，潘紀浩.拋物旋轉扁殼的軸對稱彎曲［J］.力學學報，1963（3）:200－218

Luo Zudao，Pan Jihao.Axisymmetrical bending of shall-ow paraboloidal shell［J］.Acta Mechanica Sinica，1963（3）:200－218（in Chinese）

［4］孫博華.拋物旋轉扁殼的一般彎曲問題［J］.力學學報，1989，21（2）:245－249

Sun Bohua.The generalbending problem ofa shallow paraboloidal shell［J］.Acta Mechanica Sinica，1989，21（2）:245－249（in Chinese）

［5］Kayran A，Vinson J R，Ardic E S.A method for the calculation of natural frequencies of orthotropic axisymmetri-cally loaded shells of revolution［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1994，116:16－25

［6］張志良，程昌鈞.旋轉薄殼轉點頻段的軸對稱振動解［J］.固體力學學報，2006，27（2）:630－636

Zhang Zhiliang，Cheng Changjun.Turning-point solution for axisymmetric shell vibrations［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2006，27（2）:630－636（in Chinese）

［7］陳星文，張若京.旋轉薄殼自由振動中3類廣義相關函數的求解［J］.計算機輔助工程，2008，17（1）:36－38

Chen Xingwen，Zhang Ruojing.Solution to three kinds of generalized related functions in free vibration of revolution shell［J］.Computer Aided Engineering，2008，17（1）:36－38（in Chinese）

［8］張志良，程昌鈞.旋轉薄殼振動耦合轉點問題的一致有效解［J］.中國科學 G 輯，2009，39（8）:1116－1125

Zhang Zhiliang，Cheng Changjun.Uniformly valid solutions of the coupling turning-point problem in revolution shell vibration［J］.Science in China Series G，2009，39（8）:1116－1125（in Chinese）

［9］Al-Khatib O J，Buchanan G R.Free vibration of a paraboloidal shell of revolution including shear deformation and rotary inertia［J］.Thin-Walled Structures，2010，48（3）:223－232

［10］Lin Y K，Lee F A.Vibrations of thin paraboloidal shells of revolution［J］.Journal of Applied Mechanics，1960，27（4）:743－746

［11］Hoppmann W H，Cohen M I，Kunukkasseril V X.Elastic vibrations of paraboloidal shells of revolution［J］.Journal of the A-coustic Society of America，1964，36（2）:349－353

［12］Glockner P G，Tawadros K Z.Experiments on free vibration of shells of revolution［J］.Experimental Mechanics，1973，13（10）:411－421

［13］Kang J H，Leissa A W.Free vibration analysis of complete paraboloidal shells of revolution with variable thickness and solid paraboloids from a three-dimensional theory［J］.Computers and Structures，2005，83:2594－2608

［14］Yue Honghao，Deng Zongquan，Tzou Hornsen.Distributed signal analysis of free-floating paraboloidal membrane shells［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，304:625－639

［15］曹富新.簡明彈性力學［M］.沈陽:遼寧科學技術出版社，1984:269－270

Cao Fuxin.Concise elasticity［M］.Shenyang:Liaoning Science and Technology Publishing House，1984:269－270（in Chinese）

Mode shape functions of free paraboloidal thin shells

Wang Xinjie Yue Honghao Deng Zongquan

（School of Mechatronic Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Based on the membrane theory，a set of mode shape functions for paraboloidal thin shell with free boundary condition were formulated.Low mode shapes of free paraboloidal thin shell were obtained by the way of modal experiment analysis.The theoretical mode shapes based on the mode shape functions were compared with the mode shapes through finite element method and experimental method.The results show that the theoretical mode shapes agree well with the mode shapes through finite element method and experimental method.Then mode shapes of paraboloidal thin shell can be correctly described by the mode shape functions.

paraboloidal thin shell;mode shape function;membrane theory;modal analysis

V 214;TU 33

A

1001-5965（2012）03-0389-05

2010-11-15;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-03-09 10:37

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120309.1037.016.html

國家自然科學基金資助項目（50705017，50675043）;高等學校學科創新引智計劃資助項目（B07018）

王新杰（1982－），男，河南郟縣人，博士生，wxj_hit@163.com.

（編 輯:文麗芳）