再論真正常識否定5千年“常識”:沒最大自然數(shù)——數(shù)學課本極重大根本錯誤:將兩異集誤為同一集

黃小寧

(hxn268@126.com 廣東 廣州 510631)

丁肇中:“99%的人反對你，不代表他們是對的。專家的評論是依靠現(xiàn)有的認識，而科學的發(fā)現(xiàn)是推翻現(xiàn)有的認識。”（2011.10.17《新華每日電訊》2版）。錢學森希望大學能培養(yǎng)出有科學發(fā)現(xiàn)才能的杰出人才。應(yīng)試教育摧殘人的智力與學力，“高分低能”就遠談不上能有科學發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)的方法是“漁”。“科學”共識:初等數(shù)學絕不會有重大根本錯誤。“反科學”的太“反動”發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯邏輯學常識:①若R+各元x（相比下）全都是≈0的極小正數(shù)則R+絕不可含全部正數(shù)而必有正數(shù)>>R+所有數(shù)x；②…；…。故可如小學生看圖識字那樣看圖識本文的發(fā)現(xiàn)。本文突出特點:是否真的推翻了5千年都沒人能推翻的科學“常識”當然事關(guān)極其重大，但凡懂“一一對應(yīng)”概念的中學教師等都有能力評判本文的正確與否性而非只有極少數(shù)人才能評判。

1 “一對一”常識讓{n}的末項一下子暴露出來——對無窮數(shù)列的認識一直存在極重大缺陷與錯誤

設(shè)有圓形房門的旅館空房間○序列○○...，給各○都掛上非0門牌號數(shù)得“夫妻”序列P:①②③...就用光已知非0自然數(shù)全體N的一切數(shù)n了，即N各數(shù)（或各號牌）與各○已一一配對。現(xiàn)又建一○，給其配掛數(shù)1就須摘下原①中的1，...——對各○重新編號（即數(shù)與○重新配對）的整個過程中始終都總有一○不能配有N的數(shù)表明全部○多于N的全部數(shù)（全部號牌）。注！為保證重新編號的號數(shù)都∈N(不可有N外數(shù)與○配對)不可涂改門牌號的數(shù)字且號牌背面不可有數(shù)。例要將房2改稱是房1只能改變門牌號的位置:將原①中的1摘下改掛到原房2——須老老實實地按此 “沒一摘就沒一掛”的“死板”原則重新配對而不能沒改配偶而只是改配偶的“名字”（例將n號房的號牌上的數(shù)n涂改為2n得②④⑥...——百年假象:部分號牌就可掛滿P全部房間）。毛澤東:“要過細，粗枝大葉不行，粗枝大葉往往搞錯。”老眼昏花的某人嫌女兒的對象張三窮而強令她改與李四處對象，她堅決不從但又不能硬頂，于是就換名不換人地讓張三改名為李四；女父先入為主地堅信“我女絕不敢騙我”，故未戴眼鏡粗枝大葉地看了幾眼就將此新李四誤為前李四了。同樣…。

規(guī)定一數(shù)只能掛在一空房○內(nèi)或外。P中1退出房間得P′:○②③...中的○沒P′的數(shù)與之配對，除非拆散某對 “夫妻”。看圖可知一n前移到空房○內(nèi)的同時n號房就變空成○且在n的后面，這是一對一的:“拆東補西”地讓一數(shù)前移到空房內(nèi)的同時又生一新空房在前移數(shù)的后面。故 “各非1數(shù)n≥2都改與n-1號房配對”的重新配對法則令各n都前移一格到空房○內(nèi)得②③④...中必有一○在各數(shù)的后面，因“拆東補西”前后的空房是一樣多的，顯然此○是P′的末項。故N有最大元t（若N是非0自然數(shù)全體則t是…）——推翻集論立論的論據(jù):N各元n都有對應(yīng)n+1、2n∈N。下節(jié)還要嚴格證明t的存在性。科學慧眼能洞察P′所有成員的配對情況而不被目光太短淺的肉眼所騙，不被“拆東補西”術(shù)迷惑。詳論見[1]。故有革命結(jié)論:一給定無窮數(shù)列增（減）1個項后必比原來多 （少）1個項，{n≥1}不一定是N而有可能是其真子（擴）集。“推翻”此結(jié)論的癥結(jié):沒有“過細地做工作”。

有傻瓜相機也有傻瓜數(shù)學:說y=2n>n中的n可取3、2、1就是說y可>這3個數(shù)，說n可遍取N一切數(shù)就是說y必可>N一切數(shù)而取N外數(shù)（后文指出N只是非0自然數(shù)全體的滄海一粟）。問題是不少人為了分數(shù)而扼殺自己的正常思維能力。故N各元n都有對應(yīng)n+1、2n、…，但這所有對應(yīng)數(shù)并非都∈N。故定義域為N的y=n＋1（或2n）的值域并非N的一部分！故中學“{n}必無末項”等等是重大錯誤。詳論見[1]。兩數(shù)之間有無窮多個數(shù)是常見的，例1與2之間的實數(shù)就多得寫不完。有窮集Y的任何兩元之間都絕不能有無窮多個Y的元——此性質(zhì)不能硬套在無窮集W上，在W內(nèi)必有一元與另一元相隔無窮多個W的元——此獨特性質(zhì)決定了無窮數(shù)列{n}中必有與首項相隔無窮多個項的項。

P中奇數(shù)都退出房間得○②○④○..中各數(shù)2n都左移到n號房內(nèi)得②④⑥…；○○..——前列是“夫妻”列，后列是空房列，只不過各○都在一切夫妻的后面而肉眼不可見罷了。原因是有多少個奇數(shù)移出房就空出多少間房，而“拆東補西”前后的空房是一樣多的。可見對無窮序列的認識一直存在…。引進思維“望遠鏡”使后列一下子暴露出來猶如醫(yī)學有了電子顯微鏡使…。

2 再證{n}有末項推翻百年集論與百年“R完備”論

P={①②③..}中各“單人板凳”○與各數(shù) n 已一一配對即n?n號凳，將n看成是n號球員即“n=n號人”，①就是表示球員1坐在1號凳上的示意圖，…，所有球員組成N。各n都改穿2n號球衣而改稱是2n號人得②④⑥..——假象:部分球員可坐滿P的○。文[1]有定理:

h定理1（重新配對定理）:有無窮多對“夫妻”的任一無窮有序數(shù)偶集中的“男、女人”之間任意重新配對（有的人“奪”別人配偶而“娶新歡”使有的人變成“單身”，一單身“再婚”就或使一與其異性的單身不再單身，或產(chǎn)生一與其同性的新單身，沒別的可能。）后，一方出多少個單身，對方也必出多少個單身。

證:看圖識理:P中任一n被n′奪去凳來坐的同時n′的原坐凳也變空了，這是一對一的，故每產(chǎn)一對新“夫妻”必同時產(chǎn)一對可配對的單身，這就使無論怎樣的重新配對 （使P中人:有的變成“單身”后又“再婚”，繼而又“單身”，繼而又…，如此交替地進行；有的變單身后就一直單身而不再坐了；等等。）后有多少個人在凳外就同時出多少張空凳。關(guān)鍵是不可“混”入P外成員進行新配對。這說明定理成立。證畢。

設(shè)D～（對等于）D表示兩D的元已一一配對:x?x。兩不交且非空的集 d、f的并記為 d＋f=H，d=H-f。G=N～N 中的 G 的非1元x=n＋1都被令改有新配偶n∈N（所有n=1，2，…組成U）后，G的 1（原有配偶 1∈N）就成單身，據(jù) h定理1N也必出一單身t?U顯然是N的最大元！故“G各元x都可改有新配偶x＋1∈N”等等是不可實現(xiàn)的，否定此事實的癥結(jié):將N外數(shù)誤為∈N，正如歷史上人們曾力圖將納入有理數(shù)集抵制推翻“有理數(shù)完備”論一樣。

圖1內(nèi)有兩N且兩N的元x與（x）一一配對成一數(shù)偶集在框框內(nèi)，下N各元x的頭上都有一（x）=x與其配成一對“夫妻”。下N的2改與其左斜上方的⑴∈上N配對，1與⑵就成一對單身；接著3改與斜上方的單身⑵配對就又產(chǎn)生一對含1 的新單身 1 與⑶；接著 4 改與單身⑶配對就..；…；x=n＋1 改與（x）=（n）配對就…——每產(chǎn)一對新夫妻必同時產(chǎn)一對（可配對）含1的新單身，故看圖知下N的非1元x=n＋1都改有新配偶（n）∈上N的整個過程中1始終都總可有一單身∈上N與之配對。

圖1

h定理2:任何無窮集W的任何真子集w都不可～W。

證 2（證 1 見[1]）:用反證法，假設(shè) w′=w～W=w＋f成立則據(jù)h定理1在雙方的元一一配對后再令w′=w各元x′=x都改有新配偶 x∈w=w′～w 后，w′（=w～w）方有 0 個單身的同時 W=w＋f方也只有0個單身，然而事實上f?W各元都是單身。故假設(shè)不成立。證畢。

定義:集 A與B的元 x與y:若可一一對應(yīng)就稱 A～B,若可一一對應(yīng)相等就稱A＝B。顯然在未證明x與y可一一對應(yīng)相等之前是不能斷定A＝B的。

有大小的兩圓形質(zhì)點（圓心是點的中心）處在同一位置時它們的距離ρ是0，但它們相切時ρ=？規(guī)定兩橡皮點之間的距離是它們的中心的連線的長。一截橡皮筋（橡皮點集）拉長后各點都變長了使點與點間的距離也變大了（例兩端點的距離變大了），但各點的前后順序關(guān)系沒變。這是一種有序集的元的保序增距變換，其逆變換是保序減距變換。

點集:...是由……的各點（都在 x 軸上）之間彼此都保序拉大一段距離而得，示意圖顯示這增距變換使各在新位置的點到x軸任一定點例如原點的距離都比原來變大或變小了。任何非空數(shù)集A（或B）各元x（或y）到0的距離是|x|（或|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|是同一函數(shù)；故有h定理3:A=B的必要條件是|x|=|y|。

書上x數(shù)軸的正半軸R＋各點x全都離開原位置地沿軸正向保序前移至新位置 x′=kx=x＋△x＞x＞0 處形成元是點 x′的Z＋，R＋顯然就至少空出一沒有點的正數(shù)位置x=a落在一切點（都在位置x′處）的后面——此x軸的固定位置與活動點之間的關(guān)系非常形象直觀地表明R＋至少有一數(shù)a＜Z＋的一切元x′；故 Z＋的元 x′=kx 都變小為 x=x′/k＞0 組成 R＋≠Z＋，同理 R＋的元x都變小為y=x/k＞0組成 T≠R＋， 因 T至少有一y＜R＋一切x——發(fā)現(xiàn)有無窮小正數(shù)＜R＋一切x。其實應(yīng)有h常識:“對于R＋從大到小、一個不漏的每一元x都有對應(yīng)標準正數(shù)y=x/2＜x”就是說至少有一標準正數(shù)y＜R＋每一元x。將R＋換為“任何元為正數(shù)的A（各元 x都有比x大（小）的對應(yīng)正數(shù)y）”就有革命的

h 定理 4:A 的元 x＞0 都變大（小）為 y（x）＞（＜）x 組成 B必≠A，因A必至少有一元x＜B一切元y（因B必至少有一元y＜A 一切元 x）。

證:①集是隨元素的變換而變換的。A的元x:有的變大有的變小才有可能使變化前后的集相同，若其全都一致變大（小）為y（x），變化前后的集的元x與y就不可一一對應(yīng)相等了。哪能有數(shù)集各元全都變大（小）了，而集卻巋然不動的道理呢？！②據(jù)h常識由“對于B一個不漏的每一元y都有對應(yīng)x（∈A）＜y”知 A 至少有一數(shù) x＜B 每一（一切）元 y，同樣…。 證畢。

故應(yīng)有起碼邏輯學常識:R＋各數(shù)x全都變大（小）為y(x)＞（＜）x所成之集不能還是原集R＋了，否則何來“一個不漏地全都變大（小）”？

3 “推翻”h定理2的癥結(jié):不知中學數(shù)學一直隱含重大病句

L=（0，10）=D＋[1，10）的一小部分 D=（0，1）各元 x 均保序不保距地變?yōu)閥=10x∈L組成Z～D。問題是[2]指出Z≠L而只是L的一小部分。理由之一是～D的Z不可～L，沒一配對法能使L各元x都有“配偶”y∈Z。按證明h定理2的反證法由h定理 1 易證 Z（～D）～L=D＋[1，10）不成立。 不可～L 的 Z 更≠L。據(jù)h定理2L不～DìL，故～D的Z≠L。L各元x的絕對值是|x|（x=y的變域是 L）＞0而 Z各元 y=10x的絕對值是|y|=|10x|（x=y/10的變域是D）≠|(zhì)x|；據(jù)h定理 3Z≠L。D各元 x＞0均變大為y=10x組成Z，據(jù)h定理4DìL必至少有一元 x＜Z一切元y——顯示Z≠L。 可見將元是x的D=（0，1）“拉長”變?yōu)樵?0x的集Z與D增元變?yōu)樵莤的L=D＋[1，10）是有根本區(qū)別的。

故自有函數(shù)概念幾百年來一直公認的中學 “定義域為（0，1）的 y=10x 的值域=（0，10）”是將兩異集誤為同一集。 這使康脫誤以為 D～L 而“推翻”h 定理 2。 同理“（0，1）～（0，k＞1）”等等，都不成立。 形如 y=10（y/10）=10x＞x＞0 的數(shù) y都有對應(yīng)正數(shù)y/10=x,稱這類數(shù)為般正數(shù)。L內(nèi)形如y=10x＞x∈D的正數(shù)y的全體組成了Z即L內(nèi)全部般數(shù)組成Z。Z=L（般數(shù)）（L內(nèi)所有般數(shù)組成的集）才是正確的，去掉“（般數(shù)）”就是中學重大錯誤。Z≠L揭示L內(nèi)還有無窮多用而不知的不可納入Z的非一般的“特異”數(shù)y無對應(yīng)數(shù)y/10∈L。其實幾百年函數(shù)“常識”:“對于一個不漏的每一正數(shù)x都有對應(yīng)正數(shù)y=x/10比x小”就是說有正數(shù)y＜所有正數(shù)x——初數(shù)竟一直隱含此類重大病句！這是智力正常者都能一說就明的事實。關(guān)鍵是連文盲也知“一個不漏”的確切含義。

x軸各點x均保序變?yōu)辄cy=kx（k是有窮正數(shù)），x軸就保序變換成元為點y=kx的y=kx軸。

同序元概念:有序集如數(shù)軸A各數(shù)x在A內(nèi)分別都有一定的大小“名次”。A各元x均保序變?yōu)閥=g（x）（y是增函數(shù)）就得A的保序變換集B=g（A），x∈A在A中的大小名次與g（x）∈B在B中的大小名次是一樣的，稱y與x互為同序元。顯然有

h定理 5:元為x的有序數(shù)集A保序變?yōu)锽=g（A）～A，A=B的充要條件是恒有x=g（x）（凡同序元必相等）；顯然必要條件:變換是保距變換（x軸與y軸的保序變換式y(tǒng)=kx（k是有窮正數(shù)）中的k=1時是保距變換，兩軸若不全等就更不可重合相等）。

x軸所有正數(shù)點的坐標數(shù)組成R＋各元x均保序變大為y=10x＞x組成 U～R＋， 據(jù) h 定理 5、4 等，U≠R＋即定義域為 R＋的y=10x的值域U≠R＋。

以上發(fā)現(xiàn)表明中學“R各元x都有對應(yīng) 10x、x/10∈R”等等是一系列重大錯誤。由此可知:因“R各元x都有對應(yīng)標準實數(shù)10x、x/10”故有部分10x∈U與x/10是用而不知的非一般的R外標準實數(shù)——推翻百年“R完備”論。詳論見[2][3]。

4 近似常識凸顯R只是標準實數(shù)全體的滄海一粟表明有標準無窮大實數(shù)＞R一切數(shù)——可視其為0而忽略的x→∞可取一切正數(shù)？

解恩澤等:“大凡一種理論體系，都可能潛伏著邏輯矛盾即悖論，發(fā)現(xiàn)悖論并設(shè)法消除之，往往會導致重大的科學革命。 ”（《潛科學》1992(2)，2 頁）。 質(zhì)量為 M=kx的地球（或其它星球）上一粒質(zhì)量為x的沙子被風揚起，球的M就受到擾動而變?yōu)?kx＋（-x）≈kx——和式的末項-x可視為0而忽略，若x→∞則x與kx(k＞＞1固定不變)相比總還是等價于一沙子與地球相比，以致于可視x為0而忽略。可見x→∞也有相比下總≈0的另一面，科學極不發(fā)達期地球的極偉大性掩蓋了它的極渺小性，數(shù)學極不發(fā)達期此x→∞的一面掩蓋了其也有被限制相比下總距0太近的另一面。同樣，定義域為R＋的取標準正數(shù)的

是說變域是R＋的誤差項x（可→∞）＞0與y的主部相比實在是總距0太近了以致于可視其為0而忽略即說R＋各元x相比下全都是可忽略不計的極小正數(shù)。于是R＋只是正數(shù)全體的滄海一粟（y的首項可是10100x等等）——近似計算常識凸顯y的變域K有元y＞＞R＋的一切元x。因“R＋各元x都有對應(yīng)標準正數(shù)y與1010x、…”故一直存在用而不知的標準無窮大實數(shù)x＞R一切數(shù)，以及1/x＜R一切正數(shù)——標準分析與非標準分析等價的原因。人們在近似計算中不自覺地糾正了中學重大錯誤:K=R＋且含全部正數(shù)。關(guān)鍵是有起碼數(shù)學常識:絕不可將可取一切正數(shù)的x視為0而忽略；且據(jù)h定理5等，R＋≠K。故“R各元x都有對應(yīng)1010x、10100x、…∈R”是極重大錯誤。

若y的定義域改為是N（各元n都有對應(yīng)標準自然數(shù)y與1010n、…）則上述近似常識凸顯K有自然數(shù)元y＞＞N一切元n，N只是非0標準自然數(shù)全體Q的滄海一粟，中學的“N=Q”是以井代天錯誤。將根本不是N的一部分的K～N誤為N的一部分使人“推翻”h定理2。

5 結(jié)束語

不識上述重大真相使數(shù)學一直被無窮現(xiàn)象中的假象與病態(tài)的集論迷惑而無法化解數(shù)學危機。詳論見[1][2][3]。這表明數(shù)學家們在打基礎(chǔ)的中學階段就受到了影響自己一生的重大誤導教育而又一直被蒙在鼓里，從而受害終生。例如使“天才數(shù)學家”康脫推出極荒唐的百年病態(tài)謬論“部分可=全部”。百年集論百年來浪費了億萬學生大量的寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學費。更要命的是它的重大誤導作用:誤導人推出更重大錯誤。育人課本的重大錯誤所造成的重大經(jīng)濟損失一點也不亞于經(jīng)濟建設(shè)中的重大錯誤所造成的經(jīng)濟損失，是否及時糾正，與每一個人的切身利益息息相關(guān)。

［1］黃小寧.真正科學常識否定5千年“常識”:沒最大自然數(shù)——證實龐加萊百年前偉大科學預見推翻百年集論[J].科技信息，2011（27）.

［2］黃小寧.發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學重大錯誤:將無窮多各根本不同的點集誤為同一集[J].中國科技信息，2010（18）.

［3］黃小寧.“時空量子化”的關(guān)鍵:糾正數(shù)學課本一系列重大錯誤——證明實數(shù)軸有最小、大正數(shù)點推翻百年集論[J].科技信息，2011（17）.