數學師范生PCK建構與數學史、高等數學教學融合關系的思考

黃云鵬

[摘要] 目的：為了應對基礎數學課程改革的不斷推進和教師專業化水平提升的要求，師范類數學教育專業的教學需要進行著眼于PCK提升的改革。方法：文獻考證與理論分析。結果：數學史指導并豐富教師的課堂教學，促進數學師范生對數學的理解和對數學價值的認識。結論：數學史與高等數學教學的融合，是建構師范生PCK知識的一條有效途徑。

[關鍵詞] 數學師范生PCK建構數學史高等數學教學融合

教師的PCK 是1986年時任美國教育研究會主席的斯坦福大學教授舒爾曼（Shulman）針對當時美國教師資格認證制度的缺失而提出來的一個重要概念，PCK( Pedagogical Content Knowledge) 即學科教學知識。他認為這種知識是學科知識在教學應用中的轉換形式, 是特定的內容與教學法的整合或轉換, 是教師獨特的知識領域,是他們專業理解的特殊形式。具體來說, 就是“對于一個人的學科領域中最一般地要教授的內容, 表達那些概念的最有用的形式, 最有效的比喻、說明、例子、解釋以及演示, 一句話, 就是使人易于懂得該學科內容的表達和闡述方式”,它還包括“知道不同年齡和背景的學生在學習那些最經常教授的課題時己具有的一些日常概念和先入之見,這些日常概念和先入之見會使具體內容的學習變得容易或困難”[1]。

對PCK 這種 “能夠幫助教師去建構課程內容,使教師知道怎樣運用有效的類比(analogies) 、舉例(illustrations) 、講解(explanations) 和演示( demonstrations) 的方法來呈現學科內容,理解和預想學生進入學習過程時所擁有的概念和可能存在的困難等的知識”[2] ，自提出之后, 即成為世界教師教育研究的熱點。 舒爾曼后來又重新定義了PCK, 認為它是教師在面對特定的學科課題時, 如何針對學生的不同興趣與能力, 將學科知識組織、調整與呈現, 以進行有效教學的知識。這是一種使得教師與學科專家有所區別的專門知識。[3]

我國學者也從教學設計(包括目標、內容、對象、策略四要素) 和課堂教學(包括過程、方法、效果三要素) 等方面比較了小學數學新手和專家教師的PCK,并由此提出: PCK 的實質是一種“轉化”的智能,是教師將學科知識“轉化”成學生有效獲得的一種學科教學智能,即教師根據課程理念、目標,進行系統思考,把學科知識有效地“轉化”成教學任務,又由教學任務有效地“轉化”為學生實際的獲得……相比之下，專家教師能正確把握學生掌握知識的情況,并成功地把學科知識轉化為學生的實際所得[4] 。

不難發現，國內外對PCK研究的共同點是：它是教師在教學情境中教師學科知識的轉化形式。轉化的程度是衡量教師專業化發展水平的一個指標。特別是在《國家中長期教育改革與發展規劃綱要》頒布之后，有高素質的教師隊伍，才有高質量的教育教學，已成為社會公眾的共識。對承擔職前教師培養任務的師范院校來說，如何提高師范生的職業能力，使職前培養對職后專業化水平提升的效用更大，成了亟待研究的重大課題。本文是從建構數學師范生PCK的視角，對數學師范生PCK建構與數學史、高等數學教學融合關系的思考，以期通過提高職前數學專業課教學的有效性，為數學師范生奠定職后“轉化”的基礎。

教師PCK的主要成分（出自華東師大數學系鮑建生教授的講課稿)

數學師范生PCK獲得途徑的分析

學科最核心、最有價值的知識；知識間的聯系；這兩部分知識主要通過數學專業知識的學習和對中學教材研究課程的學習獲得。如何將特定的知識呈現給不同學生的策略，這部分知識在校期間可以通過調動個人學習體驗、反思學習經驗和教學案例，有關教學、學習、課程理論知識的學習及基本教學技能的訓練，教育見習等途徑獲得。至于學生在學習某一知識過程中容易誤解和混淆的問題則在教育實習中，通過搜集學生對某一知識點學習的錯誤及其成因分析和對策研究，初步體驗獲得這一部分知識的方式和手段。

再分析學科最核心、最有價值的知識；知識間的聯系這兩部分知識的獲得的方式——聽課和自學。其中聽課的質量是關乎這兩方面知識獲得的決定因素。如果一個師范生在大學基礎課程學習的過程中，接收的都是經過加工的、完善的、最終的數學結果和形式，而欠缺對數學知識產生背景的了解、數學家進行數學創造過程的體悟，這種缺失對學生而言，很難對數學形成一個較為完整的認識，影響學生形成正確的數學觀，和數學探究的意識和興趣。這樣的師范生，日后在教學實踐中，怎么可能幫助自己的學生在自主探究的數學學習中，體驗數學學習的成功，激發起繼續學習數學的信心和勇氣，建立起較高的數學學習的自我效能感，從而養成自信、主動、質疑等良好的個性品質，為學生未來幸福的生活奠定一生的基礎。另外，學生學習的不成功，做教師的幸福感從何而來？一個沒有幸福感的人，其生活質量從何談起？

再者，教師的一個重要職責是為學生解惑，解惑的前提是要知惑，雖然對學生某一知識過程中容易誤解和混淆的問題這一部分知識，師范生可以結合自己的學習體驗和教育實習中的積累加以豐富。但是，在課程學習中，教師向師范生展示歷史上數學家的一些錯誤認識，也可以幫助這些未來教師把握學生的疑惑之處。

教育取向的數學史研究對數學教育的啟示

文化是一切非自然的、由人類所創造的事物或對象。眾所周知，數學的對象并不是自然界的客觀實在物，是數學家在長期實踐中創造出來的，因此，數學是一種文化。文化的一個重要特征就是具有歷史性，數學也不例外，任何時期的某一數學成果都不是某一時間的偶然產物，都伴隨著歷史的積淀。“數學的過去被永遠地同化在它的現在和將來，這使得數學成為一個逐漸積累的科學。”[5]如何向學生展示數學的歷史性？

19 世紀,德國生物學家海克爾( E. Haeckel ,1843-1919) 提出一個生物發生學定律:“個體發育史重蹈種族發展史。”德國著名數學家F. 克萊因(F. Klein , 1849-1925) 認為,數學教學至少在原則上要遵循這項定律,因為科學的教學方法只是誘導人去作科學的思考,而不是一開頭就教人去碰冷漠的、經過科學洗練的系統。按照歷史順序教授數學,能使學生“看清一切數學觀念的產生是如何遲緩;所有觀念最初出現時,幾乎常是草創的形式,只是經過長期改進,才結晶為確定方法,成為大家熟悉的有系統的形式”。

法國著名數學家龐加萊(H. Poincaré,1854-1912) 主張數學課程的內容應完全按照歷史發展順序展現給讀者,他說:“動物學家堅持認為,在一個短時期內,動物胚胎的發育重蹈所有地質年代其祖先們的發展歷史。人的思維發展似乎也是如此。教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷,迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此,科學史應該是我們的指南。”[6]

就像美國數學家和數學史家克萊因認為的：“每一位中學和大學數學教師都應當知道數學史，有許多理由，但最重要用的一條理由或許是：數學史是教學的指南。”[7]

另外，西方學者對數學史數學功能的觀點，汪曉勤教授在《古為今用：美國學者眼中數學史的教育價值》一文中總結為：1.數學史激發學生的興趣，改變學生的數學觀；2.數學原始文獻的價值；3.數學史使數學人性化；4.數學家遇到的困難和挫折，同樣也會為課堂上的學生所經歷；5.學生學習數學的認知過程與數學史的發展過程相似；6.數學史幫助學生理解和欣賞數學；7.歷史上的數學問題提供了豐富的社會文化信息。[8]等等，這些研究成果都啟示我們，數學教學不能就數學講數學，應該向學生展現歷史上數學的知識、思想、方法產生過程中數學家的艱辛付出和火熱的思考，告別只留下干巴巴框架的數學教學。通過對數學的演進與變革的了解，幫助未來的教師更好地理解數學，使他們這些未來教數學的人先感受到數學的親切，才可能談及傳播親切的數學。

數學史與高等數學專業課教學融合

對數學師范生建構PCK的影響

愛好數學是教好數學的一個重要前提。高等數學學習的內容、方法、困難的程度與基礎教育學段的數學有很大不同。如何幫助師范生保持對數學的喜愛、對數學問題探究的熱情？如何加快適應高等數學的學習？首先，要針對高等數學的抽象性，克服知識的“天外之物性”，在教學中要對知識產生的合理性進行設計。為此，在數學師范生基礎專業課的學習過程中，可恰當地借助一些數學史的知識，如微積分中導數概念的引入，介紹一下為什么人們當時要研究切線？讓師范生認識到所引入的新主題乃是解決問題之需要,讓他們產生足夠的動機，從而獲得良好的學習效果。講洛比達法則時，介紹一下當年發生在法則背后的故事，一來讓師范生感受數學家也是凡人，二來加深了對定理的印象。學習泰勒展開式時講點數學史上張冠李戴的故事，學習隱函數求導時講點“業余數學家戰勝了專業數學家”的引子等等，幫助師范生樹立學習數學的良好情感，認識到“數學不過是人類的一種文化活動,人人可學,人人可做,盡管并非人人都有數學家的才能;而從事這種文化活動的數學家也是平凡的人,同樣會遇到困難、挫折、失敗。了解這一點,師范生就不會為自己在學習過程中所遇困難、挫折和失敗而灰心喪氣,甚至錯誤地認為自己沒有數學頭腦了”。[9]同時，經歷了體現數學歷史性的教學，師范生才能樹立真正關注學生數學情感的意識，寬容、平靜地對待學生的錯誤，并給學生予以修正錯誤的時間。與此同時，增強了自己有關對學生學習某一知識過程中容易誤解和混淆的問題的把握能力，豐富了自己如何辨析與糾正學生存在問題的策略。在某種程度上是對未來從教所需PCK的一種積累。

另外，有了數學史與高等數學的融合，數學師范生在學好基礎課程的同時，還會習得一種到數學史的寶藏中尋寶的習慣，不僅豐富了自己的數學文化素養，也無形中獲得了一種教學的策略，同時，從歷史上數學家對數學知識理解的偏差，獲得自己教學設計中對學生認知難度的理解，會更多地思考學生可能的困難和疑惑，從而提高教學的有效性。

綜上，數學史更多地融合于師范生基礎專業課的學習，有利于形成師范生良好的數學學習情感和動態可謬的數學觀；形成追問知識發生、發展過程的習慣；能從歷史相似性和歷史發生教學法的角度來設計高速重演數學知識發生發展過程的教學；因為把握學生學習產生困難和犯錯誤的困惑，而給學生更多理解，為學生預留了更大的生成空間，同時，對學生更多的理解，還有助于形成良好的師生關系，讓學生因親其師而信其道，使這些未來教師可以盡早地獲得教學的成功。然而，正確的數學觀、對知識來龍去脈的追問習慣、對學生易出錯和困惑的把握、主動思考學情去尋找學生最易接受的比喻、說明、例子、解釋以及演示等素養，恰恰都是支撐師范生將來向成功教師邁進的PCK。所以，數學史與高等數學教學的融合是師范生建構PCK的有效途徑。

參考文獻：

[1]Shulman.L.(1986).Those Who Understand Knowledge in teaching .Education Reseacher.15(2).PP.9.

[2]袁維新.學科教學知識:一個教師專業發展的新視角[J].外國教育研究,2005,3:10-14.

[3]楊彩霞. 教師學科教學知識:本質、特征與結構[J].教育科學,2006,22(1)：60-63.

[4]上海市青浦實驗研究所(2007).小學數學新手和專家教師PCK 比較的個案研究[J].上海教育科研,2007(10):55-58.

[5]馮振舉，戴麗麗.國際HPM的發展歷程及啟示[J].西北大學學報(自然科學版)，2005，35（5）：654-656.

[6]Kline M. Logic Versus Pedagogy[J]. American Mathematical Monthly ,1970 ,77(3):264-282.

[7]克萊因M.古今數學思想(第1冊)[M].張里京，譯.上海：上海科學技術出版社，1979：2-3.

[8][9]汪曉勤,林永偉.古為今用：美國學者眼中數學史的教育價值[J].自然辯證法研究，2004（6）：73-76.

作者單位：陜西教育學院數學系陜西西安