無窮小不可越“階”

閆瑞玲

（大同大學渾源師范分校， 山西 大同 037400）

引言

在數(shù)學分析中，有不少計算和判斷的問題的結論都與無窮小的階數(shù)的高低有關。但初學者很難弄清楚怎樣來把握這個“階數(shù)”。本文以各實例從正反兩個方面來分析如何正確地尋找合適的無窮小的階，以得出正確的結論。

數(shù)學分析是數(shù)學系的一門基礎課，以極限為主要研究方法，無窮小是一種特殊的極限。

無窮小有一些相關概念，分別是一階（標準）無窮小、無窮小的階數(shù)、高（低）階無窮小。

不同的無窮小量收斂到“0”的速度有快慢之分，無窮小的階數(shù)越高，收斂到“0”的速度越快。數(shù)學分析中有許多和無窮小的階關系密切，如果越“階”就會出錯！下面的幾個問題逐步說明。

一、極限的計算問題。

看課本上的一個習題：當a，b為何值時，

a=3，b=1.

誤解原因：sin3x～3x僅僅是一階近似公式，而分母的最高次項是3。造成錯誤的原因是用錯無窮小的階。

可以把題目修給為：

例1問a與b取何值時，

所以分子必為分母的高階或同階的無窮小。

結合已知條件，有a=-3，

（若a≠-3，則一次項系數(shù)不為0，此時分子式分母的低階無窮小，與題意相悖。）

誤解原因：除 x 外的其他形式（ex，etanx，tan2x）都是無窮次多項式，用錯無窮小的階。

正解：先求 ex，etanx，tan2x 的表達式，再代入計算。

解釋一下，所謂“合適的表達式”就是對分子和分母找到合適的無窮小的階。

同階無窮小量在正項級數(shù)和無窮積分的斂散性判別法中有廣泛的使用，若用錯階，就得不到正確的結論。

法則1）顯然是同階無窮小量性質(zhì)的一個應用，法則2)中，由知 un=o（vn）（n→∞）

這是由高階無窮小量判斂。法則3)是低階無窮小量的性質(zhì)。

[1]華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析[M].

[2]錢吉林.數(shù)學分析解題精粹[M].