基于廣義反調和均值的弱化緩沖算子的構造及其應用

段琪斌，陳勇明

(成都信息工程學院 數學學院,成都 610225)

0 引言

1984年,鄧聚龍教授首次提出了灰色動態(tài)模型GM(n,h)[1],此后該模型在工程技術、農業(yè)生產、經濟管理等眾多領域獲得了廣泛應用。劉思峰教授[2-4]研究發(fā)現對于沖擊擾動系統(tǒng)直接應用經典GM(1,1)模型并不理想，提出了緩沖算子的概念和構造緩沖算子所依據的緩沖算子3條公理，并利用緩沖算子的工具來解決沖擊擾動系統(tǒng)的定量預測與定性分析結果不吻合的問題，在實踐中取得了比較滿意的效果。緩沖算子分為弱化緩沖算子和強化緩沖算子，分別應用于兩種不同類型的存在沖擊擾動的原始序列。對于原始數據序列的前半部分增長(衰減)速度較快,后半部分增長(衰減)速度較慢時,利用弱化緩沖算子首先對原始數據序列進行作用,然后再進行建模[5]；對于原始數據序列的前半部分增長(衰減)速度較慢,而后半部分增長(衰減)速度較快時,在進行預測時首先應對原始數據序列進行強化緩沖算子作用,然后再進行建模[6]。弱化緩沖算子和強化算子能有效地消除沖擊擾動系統(tǒng)數據序列在建模預測過程的干擾，于是研究如何構造強化緩沖算子和弱化緩沖算子成為提高GM(1,1)模型建模精度的一個重要方向,人們從不同角度出發(fā)構造出了一系列緩沖算子[5-6]。本文將從另外一個角度利用廣義調和均值構造一類新的弱化緩沖算子，從而使序列前一部分增長(減緩)速度過快,后一部分增長(衰減)速度過慢的沖擊擾動系統(tǒng)數據序列,在建模預測過程中出現的定量預測結果與定性分析結論不符的問題得到有效解決，并且比已有的一些弱化緩沖算子在應用中具有更好的效果，使建模精度得到更大程度提高。

1 預備知識

作為后面工作的預備知識，我們先給出有關緩沖算子的一些基本概念、構造緩沖算子的3條公理以及判斷弱化緩沖算子的相關定理。

定義1(單調增長序列、單調減少序列、振蕩序列)[7]設X=(x(1),x(2),…,x(n))為系統(tǒng)行為數據序列.若?k∈｛2，3，…,n｝,x(k)-x(k-1)＞0，則稱X為單調增長序列；若 ?k∈｛2，3，…,n｝,x(k)-x(k-1)＜0，則稱X為單調衰減序列；若?k,k′∈｛2，3，…,n｝，有x(k)-x(k-1)＞0,x(k')-x(k'-1)＜0,則稱X為振蕩序列，又設則稱M-m為振蕩序列X的振幅。

定義2 (緩沖算子)[7]設X為系統(tǒng)行為數據序列,D為作用于X的算子,X經過算子D作用后所得序列記為XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d),其中x(i)d(i=1,2,...,n)為算子D作用于x(i)的結果，滿足以下3個條件的算子D稱為緩沖算子：(1)x(n)d=x(n)(不動點公理)；(2)系統(tǒng)行為數據序列X中的每一個數據x(k),k∈{1,2,…,n}都應充分參與算子作用的全過程(信息充分利用公理)；(3)任意的x(k)d,k∈{1,2,…,n}均可由一個統(tǒng)一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達(解析化公理)。上述(1)(2)(3)稱為緩沖算子三公理。

定義3(弱化緩沖算子)[7]設X為系統(tǒng)行為數據序列,D為緩沖算子.當X分別為增長序列、衰減序列或振蕩序列時，若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小,則稱緩沖算子D為弱化緩沖算子，簡稱弱化算子。

對于弱化緩沖算子有如下判別性質：

定理1[7]設X=(x(1),x(2),…,x(n))為系統(tǒng)行為數據序列,x(i)＞0,i∈{1,2,…,n},其緩沖序列為XD=(x(1)d

,x(2)d,…,x(n)d)。(1)當X為單調增長序列,則D為弱化算子 ?x(k)≤x(k)d，k∈{1,2,…,n}；(2)當X為單調衰 減 序 列,則D為 弱 化 算 子 ?x(k)≥x(k)d，k∈{1,2,…,n}；(3)當X為振蕩序列,D為弱化算子?

2 新緩沖算子的構造

下面基于廣義反調和均值[8]，我們構造一類新的弱化緩沖算子。

定理2 設X=(x(1),x(2),…,x(n))，x(i)＞0，i∈{1,2,…,n}為系統(tǒng)的原始行為數據序列，對于k∈{1,2,…,n},令XDGAHAM=(x(1)dGAHAM,x(2)dGAHAM,…,x(n)dGAHAM)，其中：

則有:

當a＞1時，DGAHAM對于單調增長序列和單調衰減序列都是弱化算子；

當a≤0時，無論X是單調增長序列還是單調衰減序列，或是震蕩序列，DGAHAM都是弱化算子。

我們將上述緩沖算子稱為廣義反調和均值弱化緩沖算子，簡記為GAHAM弱化算子(Generalized Anti-HArmonic Mean)。

下面給出定理的證明。

證明：首先驗證構造的GAHAM算子滿足緩沖算子的3條公理。=x(n)即滿足不動點公理。

（2）從GAHAM算子表達式可知系統(tǒng)行為數據序列X中的每一個數據x(k)，k∈{1,2,…,n}都充分參與算子作用的全過程，即滿足信息充分利用公理。

（3）任意的x(k)，k∈{1,2,…,n}

為x(1),x(2),…，x(n)的初等解析式表達，即滿足解析化規(guī)范化公理。

由以上（1）（2）（3）可知GAHAM算子滿足緩沖算子的三條公理。

其次證明GAHAM算子是弱化算子。依據弱化算子的判別定理1證明。

計算：

(1)當a＞1時：

①若x(k)為增長序列，對于i＞k有x(i)＞x(k)，則

由（1）式所以有x(k)dGAHAM≥x(k)，由定理 1知DGAHAM是弱化算子；

②若x(k)為衰減序列，對于i＞k有x(i)＜x(k)，則

由（1）式所以有x(k)dGAHAM≤x(k)，由定理1知DGAHAM是弱化算子。

（2）當a≤0時：

①若x(k)為增長序列，對于i＞k有x(i)＞x(k)，則

由（1）式所以有x(k)dGAHAM≥x(k)，由定理1知DGAHAM是弱化算子；

②若x(k)為衰減，對于i＞k有x(i)＜x(k)，則

由（1）式所以有x(k)dGAHAM≥x(k)，由定理1知DGAHAM是弱化算子；

③當x(k)為隨機振蕩序列，記≥m，由定理1知DGAHAM是弱化算子。

注1：當a=0時，此時GAHAM算子為平均弱化緩沖算子[18](AWBO)，即平均弱化緩沖算子為GAHAM弱化緩沖算子的一個特例，GAHAM弱化緩沖算子推廣了現有結果，更具一般性。

注2：序列算子的作用可以多次進行，若D1、D2皆為序列算子,則D1D2為二階算子，XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,…,x(n)d1d2)，類似的有三階、四階算子等等[17]。對于GAHAM算子，

①當a＞1時，對于單調增長序列和單調衰減序列，二階GAHAM算子都是弱化算子；

②當a≤0時，對于單調增長序列、單調衰減序列和振蕩序列，二階GAHAM算子都是弱化算子。

證明與定理2類似，從略。

3 算例分析

為了說明本文構造的GAHAM緩沖算子對有擾動的序列建立GM(11)模型中的實用性，利用文獻[20]中的數據建立GM(11)模型，并從建模精度上將GAHAM緩沖算子和已有的一些弱化緩沖算子作比較。

代表某市1997～2005年工業(yè)總產值的系統(tǒng)行為數據序列[9]X=(187.85,303.79,394.13,498.27,580.43,640.21,702.34,708.86,716.95)，該序列前期增長快而后期增長慢，該市工業(yè)發(fā)展前期國家給予了特殊的產業(yè)政策，在發(fā)展比較成熟的后期特殊政策取消，這是一個比較典型的存在擾動的工業(yè)產值系統(tǒng)，適合用弱化緩沖算子處理后再建立GM(11)模型。

對上述數據,文[20]中的弱化緩沖算子

對數據進行弱化處理建模后的相對誤差和一步預測誤差見表1。

下面以本文構造的GAHAM緩沖算子建立模型。

對GAHAM緩沖算子中的參數a，采用計算機模擬選擇a=15.5，原序列X經一階GAHAM緩沖算子處理得

表1 不同弱化算子建模效果比較

建立GM(1,1)模型為：

該模型的平均相對誤差為0.636%低于千分之一，一步預測誤差為0.141%低于千分之一，結果列于表1最后一行。2004年和2005年的預測值分別為707.3536和719.4147億元，這樣實際情況相符。

從表1可以看出，本文的GAHAM緩沖算子的平均相對誤差和一步預測誤差均低于前2種緩沖算子，從而優(yōu)于已有的2種弱化緩沖算子，另外，已有的2種緩沖算子作了二階處理，本文的GAHAM緩沖算子只作了一階緩沖處理。

4 結束語

本文構造的GAHAM弱化緩沖算子，適用于存在沖擊擾動的前半部分增長(衰減)速度較快而后半部分增長(衰減)速度較慢的系統(tǒng)行為序列。從理論上，GAHAM弱化緩沖算子以平均弱化緩沖算子為特例，推廣了前人的研究結果。從實踐上，通過本文的GAHAM弱化緩沖算子處理再建立GM(1,1)模型比已有的一些緩沖算子有更好的實踐效果，說明具有一定的實際應用價值。

[1] 鄧聚龍.灰色動態(tài)模型(GM)及在糧食長期預測中的應用[J].大自然探索,1984,(3).

[2] 劉思峰,趙理.弱化算子與長葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展預測[J].河南農業(yè)大學學報,1990,(3).

[3] Liu Sifeng.The Three Axioms of Buffer Operator and their Application[J].The Journal of Grey System,1991,3(1).

[4] 劉思峰.沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱與緩沖算子[J].華中理工大學學報,1997,25(1).

[5] 黨耀國,劉思峰等.關于弱化緩沖算子的研究[J].中國管理科學,2004,12(2).

[6] 黨耀國,劉斌,關葉青.關于強化緩沖算子的研究[J].控制與決策,2005,20(12).

[7] 劉思峰,黨耀國等.灰色系統(tǒng)理論及其應用(第五版)[M].北京：科學出版社,2010.

[8] 匡繼昌.常用不等式(第三版)[M].濟南:山東科學技術出版社,2004.

[9] 崔杰,黨耀國.一類新的弱化緩沖算子的構造及其應用[J].控制與決策,2008,23(7):741-744.