積分上限函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其設(shè)計(jì)理念

康麗坤

（河北省張家口高新區(qū)勝利南路50 號張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 張家口 075000）

在高職的高等數(shù)學(xué)課里積分上限函數(shù)這一節(jié)的內(nèi)容是抽象程度比較高的一節(jié)，鑒于其在微積分內(nèi)容中的承上啟下作用，始終是教學(xué)過程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，由于概念的抽象導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)過程，多數(shù)是“照貓畫虎”，并不理解定義定理的涵義。為了使學(xué)生學(xué)透，學(xué)會(huì)，學(xué)以致用，以降低抽象性為理念做了此教學(xué)設(shè)計(jì)。

首先，復(fù)習(xí)定積分的幾何意義，為講解積分上限函數(shù)的定義做準(zhǔn)備。板書過程中，把幾何意義中講解部分畫的清晰規(guī)范，在引出積分上限函數(shù)時(shí)用該圖（如圖1）。

然后，引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)的自變量由變?yōu)椋厦嫣岬降暮瘮?shù)圖像中坐標(biāo)橫軸改為軸。在區(qū)間[a,b]上，任意選取x，由定積分的幾何意義得，曲邊梯形的面積可以用定積分表示（如圖2）。

強(qiáng)調(diào)，隨著x選取的不同，定積分有不同的值，尤其用幾何意義講解，曲邊梯形的面積隨著改變，由函數(shù)的定義可以得出，定積分，是一個(gè)以x為變量的函數(shù)。接著給出積分上限函數(shù)的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則變動(dòng)上限的積分是上限x的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，記為Φ(x)，即(a≤x≤b)。

為了使 Φ(x)的抽象性再次降低，將函數(shù)f(t)和積分下限a，積分上限x分別設(shè)為具體的函數(shù)和數(shù)值。令f(t)=2t，列表如下：

講解表格的設(shè)計(jì)思路，引導(dǎo)學(xué)生手繪函數(shù)的圖像，結(jié)合定積分的幾何意義進(jìn)行計(jì)算。填寫表格如下：

在填寫表格的過程中，學(xué)生對這個(gè)函數(shù)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，接下來，組織討論以下幾個(gè)問題：

通過假設(shè)函數(shù)和自變量以及定量的取值，填寫表格，一個(gè)十分抽象的函數(shù)被具體化了。在這個(gè)計(jì)算填表的過程中，學(xué)生用到了前面學(xué)習(xí)的定積分的幾何意義，用到了函數(shù)求值等知識(shí)，體現(xiàn)了溫故知新。在給自變量的幾個(gè)賦值后，相應(yīng)計(jì)算函數(shù)值過程中，體驗(yàn)定積分隨著上限變化而變化。整個(gè)過程，降低了函數(shù)的抽象性。

在高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，由于教學(xué)內(nèi)容抽象難度，邏輯要求嚴(yán)謹(jǐn)縝密，而高職學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差，理解能力有限，所以，降低抽象性，是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要的理念。一般問題都可以從三個(gè)方面入手，一是將定值具體化，二是將函數(shù)具體化，而且具簡單的函數(shù)為例，三是數(shù)形結(jié)合，就是將函數(shù)圖像做出來，用幾何意義輔助理解。四是，要注重板書授課，展示函數(shù)圖像繪制的過程，函數(shù)值計(jì)算的步驟，減少對多媒體課件的依賴。