基于虛擬載荷譜技術的錐齒輪疲勞壽命分析＊

葉南海，陳 凱，戚一男，盧進海

（湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

傳動齒輪在工作中速度高，所受載荷大，引起的應力情況復雜，齒輪失效所導致的后果往往是十分嚴重甚至是災難性的，故對其疲勞壽命的研究具有十分重要的工程意義.傳統的實驗分析方法存在實驗周期長、費用高以及實驗條件難以控制等諸多問題.而現在的疲勞軟件仿真分析又大多是建立在靜力分析基礎上，未考慮動力因素的影響.而在齒輪輪齒嚙合過程中，動力因素對輪齒的受力和變形狀態會產生較大的影響，尤其在輪齒嚙入和嚙出時，由于輪齒受力變形，會產生較大的嚙合沖擊[1］，故其分析結果也會受到影響.近年來很多學者對這些問題進行了大量的研究[2－6］.

本文提出一種新的疲勞壽命計算方法，在有限元分析的基礎上提取應力分析結果，經過處理得到虛擬載荷譜，進而通過 Miner準則和Corten－Dolan準則估算出錐齒輪傳動的疲勞壽命.該方法不但顯著縮短了實驗周期，大幅降低實驗費用，而且計算的結果相比疲勞軟件來說更具保守性，參考價值更高，具有較大的工程應用價值.

1 錐齒輪建模與有限元網格劃分

1.1 錐齒輪模型

某提升機減速器的核心部分是錐齒輪，其傳動模型如圖1所示.主要參數為：大齒輪Z1＝37；小齒輪Z2＝23；模數M＝13；壓力角20°；齒寬系數0.3；螺旋角35°.

圖1 錐齒輪傳動模型Fig.1 Bevelgear transmission model

1.2 有限元網格劃分

由齒輪傳動特性可知，所有輪齒都是均勻參與嚙合傳動的，故為節省工作量和求解計算時間，沒必要對主、從動錐齒輪進行全齒的網格劃分，只需建立多個齒輪對嚙合的模型，以保證至少有一個嚙合周期的分析.這樣可以控制模型規模，同時為了利于提高計算精度，模型對參與接觸的齒面和相應的齒根采用較密的網格；對不參與接觸的齒面和輪緣采用較疏的網格.而且網格采用8節點六面體單元，使用具有強大的人機交互性功能的hypermesh進行人工劃分，如圖2所示，最后共生成單元12 259個，節點16 324個.

2 齒輪應力分析

2.1 有限元參數設置

MSC.Marc是將有限元分析的理論方法和軟件實踐完美結合的一種功能齊全的高級非線性有限元軟件的求解器.它具有很強的結構分析能力，提供了強大的直接約束接觸算法，分析精度高，對于大面積接觸而又不能準確預測接觸區域的物理問題（如齒輪嚙合）具有顯著的優越性.本文采用剛體控制的方法，對主動輪施加一定轉速，對從動輪施加阻力矩[7］.

圖2 錐齒輪嚙合傳動局部網格劃分Fig.2 Local meshing of bevel gear

按照某提升機減速器的實際工況進行加載，對主動輪施加3r/min的轉速，從動輪的阻力矩為1 438N·m，計算時間為0.5s，計算步數設為250，以保證至少有一個完整的齒輪嚙合周期.

材料參數為：彈性模量E＝2.06×105MPa；泊松比υ＝0.3；密度ρ＝7.85×10－6kg/mm3.

2.2 應力分析結果

提交運算后在Marc中讀取應力結果，Marc軟件用應力等值線來表示模型內部的應力分布情況，圖3為從動齒輪嚙合狀態的等效應力圖.仿真結果清晰地描述了等效應力結果在整個模型中的變化，從而得出錐齒輪在連續動態嚙合過程中齒面接觸應力和齒根彎曲應力的變化規律，可以快速地確定模型中最危險區域.從圖中可以看出，應力主要集中在齒根和齒輪接觸部，這也是設計人員要考慮的關鍵部分.

圖3 等效應力圖Fig.3 Equivalent von mises stress

平均正應力是交變應力中最大應力和最小應力的平均值，它對疲勞壽命有一定的影響，對于錐齒輪的疲勞分析具有一定的參考價值.圖4為某一瞬間平均應力的分布云圖，可以看出齒根處的平均應力值最大，為1 028MPa，這說明在此位置最容易發生疲勞斷齒故障.

圖4 平均正應力分布云圖Fig.4 Mean normal stress

圖5為某一瞬態接觸應力分布云圖，這反映了應力主要集中在齒面接觸和齒根部分，故齒輪的破損和疲勞破壞主要發生在這些位置.圖6為節點26 428在嚙合過程中的接觸應力分析結果.從圖中可以看出，一開始節點26 428未進入嚙合狀態，故沒有接觸應力，隨著嚙合的進行，在增量步為83時開始嚙合，接觸應力隨輪齒的嚙入較為平穩地上升，之后逐漸下降直至退出嚙合狀態.該節點在嚙合仿真過程中得到的齒面接觸應力的變化規律符合輪齒實際動態嚙合規律.

圖5 接觸應力分布云圖Fig.5 Contact normal stress

3 基于fatigue的疲勞分析

從前面完成的減速器錐齒輪的動態連續嚙合過程仿真中，可以獲取包含疲勞計算所需的齒輪接觸應力及齒根彎曲應力等信息的T16文件，并且可以直接被MSC.Fatigue讀取進行疲勞壽命分析[8］.

圖6 小齒輪節點26 428的接觸正應力Fig.6 Contact normal stress of node 26 428

在Fatigue里選取一種性能和強度與所用材料相近的齒輪材料，其理論S－N曲線如圖7所示，抗拉極限強度為2 032MPa.圖8和圖9分別為錐齒輪壽命云圖和疲勞損傷云圖.從整體上看，錐齒輪結構壽命分布比較合理，疲勞壽命最短的位置處于齒根和齒面接觸部位.根據設計要求，變速箱錐齒輪的齒輪設計壽命為9×105（嚙合次數），從圖9中可以看出，該錐齒輪的疲勞壽命為2.29×107（嚙合次數），完全達到設計要求.疲勞損傷發生在輪齒節線偏下部位，分布比較集中，并且呈擴展趨勢，這與疲勞壽命的破壞區域基本一致，而且這也是理論疲勞損傷發生的區域.

圖7 S－N 曲線Fig.7 S－Ndata plot

圖8 疲勞壽命云圖Fig.8 Fatigue life image

圖9 疲勞損傷云圖Fig.9 Fatigue damage image

4 虛擬載荷譜技術研究

載荷譜是對運行中結構所承受的典型交變循環載荷的統計，虛擬載荷譜就是基于虛擬軟件所得出的交變載荷的統計.基于虛擬載荷譜，就可以通過線性疲勞累積損傷理論來計算錐齒輪的疲勞壽命.

線性疲勞累積損傷理論是指在循環載荷作用下，疲勞是可以線性累加的，各個應力之間相互獨立、互不干涉，當累加的損傷達到某一數值時，試件發生疲勞破壞.線性累積損傷理論中最典型的理論是 Miner理論[9］.其基本內容為：

1）在任意等幅疲勞載荷下，材料在每一應力循環中吸收等量的凈功，凈功累積到臨界值，即發生疲勞破壞；

2）在不同等幅及變幅疲勞載荷下，材料最終破壞的臨界凈功全部相等；

3）在變幅疲勞載荷下，材料各級應力循環中吸收的凈功相互獨立，與應力等級的順序無關.

Miner理論估計疲勞壽命的數學公式為：

式中：NL為疲勞曲線上達到破壞的循環次數；αi為第i級應力水平的相對頻率；Si為第i級應力水平；m為零件疲勞曲線斜率.

Miner理論可以認為是線性損傷、線性累積循環比（其累計的是循環而并不是損傷）理論，其成功之處在于大量的實驗結果（特別是隨機譜實驗）顯示臨界疲勞損傷的均值確實接近1，在工程上因簡便而得到廣泛應用.其他確定性的方法則需要進行大量試驗來擬合眾多參數，精度并不比Miner理論更好[9］.

但是Miner未考慮不同應力水平段的相互影響和低于疲勞極限以下的應力的損傷作用，因此要對其進行修正，其中應用較多的是Corten－Dolan準則，Corten－Dolan準則是以最大循環應力作用下所產生的損傷核數目與疲勞裂紋的擴展速率為依據，從而推導出多級載荷作用下估計疲勞壽命的計算公式為：

式中：d＝ （0.8－0.9）m.

因此，當低應力損傷分量占的比重較大時，Corten－Dolan理論估計的疲勞壽命將比Miner理論估計的更短，這是因為它考慮了疲勞極限以下的應力損傷作用，更符合實際.前面已經分析得到了錐齒輪嚙合接觸應力云圖，將其結果導出TXT文件，總共有76M的數據，其中包含了每個增量步中各個節點所受的應力值及應力的最大最小值等信息.將TXT文件進行整理，只保留數據信息.然后導入到Matlab中進行數據處理，對各個應力水平段的應力個數進行提取、統計，并且分別根據Miner法則和Corten－Dolan法則進行相應的計算.得到的結果如表1所示.由表1可知，應力水平最大的一級為Si＝1 900MPa其相應疲勞曲線達到破壞的循環次數為6.0×104，疲勞極限的斜率m＝5.8，疲勞極限Sr＝900MPa.用Miner法估算錐齒輪的疲勞壽命.

由于第11級以下的各應力水平均低于疲勞極限，故按Miner理論可以忽略.由表1統計的數據，按照式（1）估算疲勞壽命：

用Corten－Dolan準則估計錐齒輪的疲勞壽命：根據經驗公式，取Corten－Dolan疲勞曲線的斜率d＝0.85m＝4.93，并由表1中已算得的數據按照式（2）估計疲勞壽命：

由于錐齒輪在低應力水平作用下的循環次數多，Corten－Dolan法計入了這些低于疲勞極限應力的損傷作用，因此計算得到的疲勞壽命是用Miner法 得 到 的 疲 勞 壽 命 的 61.1% （3.33/5.45＝61.1%），故用此法將相對安全些.而錐齒輪的設計壽命是9×105（嚙合次數），可見用 Miner法和Corten－Dolan法計算的疲勞壽命也符合設計要求.但是通過疲勞軟件得出的壽命結果是2.29×107（循環次數）.可見雖然 Miner法和Corten－Dolan法得出的結果與疲勞軟件得出的結果有偏差，但是，由于是理論計算，故此偏差也可接受.從結果看，Corten－Dolan法得出的結果更具保守性和可靠性.

表1 數據統計Tab.1 Data statistics

5 結 論

1）提出了一種基于虛擬載荷譜技術的疲勞壽命計算方法，并將計算結果與疲勞軟件的計算結果進行了比較.算例表明，該方法計算簡單、結果準確可靠、安全性高.

2）基于虛擬載荷譜技術的疲勞壽命計算方法，顯著縮短了試驗周期，大幅降低了載荷譜獲取的試驗費用，具有工程應用背景.

3）本算法得出的壽命結果對于加快新產品的研制進度，全面提高產品的質量具有參考價值.至于實際傳動過程中其他各種因素對疲勞壽命的影響，還有待于進一步研究.

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