探尋彈簧彈力做功類試題的命制思路

金嵩洲 姚天波

（浙江上虞春暉中學，浙江 上虞 312353）

人教版必修2“探究彈性勢能的表達式”一節，沒有給出彈性勢能（取彈簧原長為零勢能處）的表達式命題專家集思廣益，精心設計彈簧彈力做功類試題，既回避了的使用，又考查了學生過程分析的能力.筆者細細推敲，認為這類試題主要有兩種命制思路，現述如下.

1 通過其他途徑變通、轉化求解

1.1 利用F－x圖像變通

例1.如圖1，一根輕質彈簧左端固定在水平桌面上，右端放一個可視為質點的小物塊，小物塊的質量為m＝1.0kg，當彈簧處于原長時，小物塊靜止于O點，現對小物塊2.4（J），且Wf＝fx＝1×0.1＝0.1（J），得W彈＝2.3J（負功），故彈簧儲存的最大彈性勢能為2.3J.

圖1

1.2 利用功能原理轉化

例2（2011年福建高考題）如圖3為某種魚餌自動投施加一個外力，使它緩慢移動，壓縮彈簧至A點，壓縮量為x＝0.1m，在這一過程中，所用外力與壓縮量的關系如圖2.然后釋放小物塊，讓小物塊沿桌面運動，已知O點至桌邊B點的距離為L＝2x.計算時可認為滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，g取10m／s2.求：

（1）在壓縮彈簧過程中，彈簧儲存的最大彈性勢能.

解析：F≤1N時，x＝0m，說明此時F與靜摩擦力平衡.

F＝1N時，靜摩擦力達到最大值f靜max＝1N，得滑動摩擦力f滑＝f靜max＝1N.

圖2

之后，物塊緩慢移動，F做正功，f滑與F彈做負功，其大小WF＝Wf＋W彈，則W彈＝WF－Wf.圖2中F關于x線性變化，故可用平均力計算功放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的1／4圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧.投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去.設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為0.不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能.已知重力加速度為g.求：

圖3

（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v1；（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能Ep；（3）略.

解析：（1）由mgR＝mv12／R，得

利用功能原理轉化、迂回求解是命制彈簧彈力做功類試題的常規思路.若遇多物體相互作用，還可借助整體法隔離法、牛頓運動定律、動量守恒定律等多種手段綜合分析.

2 選取特殊位置，使彈簧彈力做功為0

2.1 選取同一位置，彈簧彈力做功為0

圖4

例3.（2005年全國高考題）如圖4，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態.一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向.現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升.若將C換成另一個質量為（m1＋m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.

解析：第2次B剛離地時與第1次B剛離地時A的位置相同，則兩次彈簧彈力做功相等，即W彈1＝W彈2.

設開始靜止時彈簧壓縮量為x1，則

B剛要離地時彈簧拉伸量為x2，則

故前后A共上升高度為h＝x1＋x2＝（m1g＋m2g）／k.

第1次恰好使B離開地面但不繼續上升，則這一瞬間A、B、C速度均為0.

第2次B剛離地時其速度為0，A上升同樣高度，且A、D速度相同.

即

因W彈1＝W彈2，（2）式減去（1）式約去彈簧做功項，則

2.2 選取關于原長對稱位置，彈簧彈力做功為0

例4.如圖5，在傾角為θ足夠長的光滑斜面上，有兩個用輕質彈簧相連接的物塊A、B，它們的質量均為m，彈簧的勁度系數為k，C為一固定擋板，系統處于靜止狀態.現開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運動，已知重力加速度為g，求：物塊B剛要離開C時A的速度大小.

解析：設未施加力F時彈簧的壓縮量為x1，對A研究，mAgsinθ＝kx1，mA＝m，得x1＝mgsinθ／k.

當B剛要離開C時，設彈簧的伸長量為x2，對B研究，mBgsinθ＝kx2，mB＝m，得x2＝mgsinθ／k.

至剛要離開C，B恒靜止.對A全程分析：F（x1＋x2）其中h＝（x1＋x2）sinθ.

圖5

因為x1＝x2，即彈簧始末位置關于原長對稱，故在這兩個位置儲存的彈性勢能大小相等，因此全程W彈＝0，得

點評：這類試題命制思路獨具匠心，通過選取特殊位置，巧妙地回避了彈簧彈力做功，對過程分析的要求較高，技巧性強.