物理競賽中運算型難題例析

江四喜

（武漢市第二中學，湖北 武漢 430010）

在中學物理中，作為規律性的核心內容，如定理、定律之類并不是很多，而且表述也都比較簡潔、明了.但物理卻又是中學階段讓很多學生感覺是最難學的學科，而其難學也是很多學生最終棄理學文的主要因素.究其原因，主要是因為要學好物理，學習者必須具備較強的綜合處理物理問題的能力.近年來，在各校自主招生的物理考試中，越來越多地使用競賽試題，其主要原因就是解答物理競賽試題的過程，能較好地展現學生處理綜合問題的能力.

中學物理競賽大綱中對物理競賽試題的命題原則作了明確的說明，即不要求答題者使用較為復雜的高等數學知識，便能處理相關的物理問題.多年的競賽試題表明，競賽的命題包含了一個基本特征，就是對大學普通物理學的內容進行初等化處理，其難點大多體現在要求中學生在不使用復雜的高等數學知識的前提下，能用中學階段所掌握的知識對普通物理的問題進行處理，因此，學生們在解答這類試題的過程中，在認清模型結構，作出過程分析，找準物理的臨界問題及隱含條件的同時，還必須綜合運用微元、對稱、等效、類比、聯想、守恒、疊加、圖像等物理思想方法，對問題進行分析與處理.而這一過程對學生的能力要求很高，也就產生了所謂的難題.

中學物理競賽中的難題，大體是從運算水平、思維角度、情景模型、過程識別及信息給予幾方面進行設置.這里僅對競賽中具有一定運算難度的習題特點，作簡要闡述.

運用數學知識解決物理問題的能力，是中學物理教學對高中學生的能力要求之一.由于在全國高中物理競賽中允許學生攜帶計算功能強大的計算器，即便是高次方程，利用計算器進行迭代計算，也會很快得到結果，所以，常規教學中比較突出的計算問題，已不再是競賽物理中的問題.這樣，在物理競賽中，學生的數學運算與推理能力也就顯得特別重要，這也就構成了一類難題.

事實上，很多參加物理競賽的學生對數學的學習進度，就走在物理的前面.因為只有這樣，才能保證在解答物理問題時，不至于遇到數學上的障礙.

對于學生的運算能力，著重于學生的幾何、數列、三角函數、二次函數以及微元問題的處理能力.

例1.質量分布均勻的剛性桿AB、CD如圖1放置，A點與水平地面接觸，與地面間的靜摩擦因數為μA，B、D兩點與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦因數為μC，兩桿的質量均為m，長度均為l.

（1）已知系統平衡時AB桿與墻面夾角為θ，求CD桿與墻面的夾角α應該滿足的條件（用α及已知量滿足的方程表示）.

（2）若 μA＝1.00，μC＝0.866，θ＝60.0°，求系統平衡時α的取值范圍（用數值計算求出）.

解析：本題的模型結構清晰，屬靜平衡的問題.受力分析也不復雜，所用規律即為一般物體的平衡條件，但要最終得到正確的結果，沒有相當熟練的運算能力，恐怕難以走到最后.

圖1

建立如圖2所示坐標系Oxy.兩桿的受力情況：f1為地面作用于桿AB的摩擦力，N1為地面對桿AB 的支持力，f2、N2為桿AB作用于桿CD的摩擦力和支持力，N3、N4分別為墻對桿AB和CD的作用力，mg 為重力.取桿AB和CD構成的系統為研究對象，系統平衡時，由平衡條件有

以及對A點的力矩

圖2

取桿CD為研究對象，由平衡條件有

以及對C點的力矩

解以上各式可得

CD桿平衡的必要條件為

由（12）～（14）式得

AB桿平衡的必要條件為

由（10）、（11）、（16）式得

因此，使系統平衡，α應滿足的條件為（15）式和（17）式.將數據代入（15）式可得α≤arctan0.385＝21.1°.將數據代入（17）式，經數值計算可得α≥19.5°.因此，α的取值范圍為19.5°≤α≤21.1°.

上例的解答雖然繁雜，但只要耐心地做下去，基本上還是可解的.而有些問題，即便掌握了解答的物理方法，但其運算方法與過程仍然會讓你無功而返.下面這道例題就屬于這一類型.

例2.如圖3，圓環之間夾有N個“三角形”，任意一線段代表電阻為R，求AB兩點之間的電阻RAB.

圖3

解析：在圖3（a）圖中，兩圓環中有N 個連條，設各自電流如圖3（b）.

應有ii＋Ii＋ii′＝C，其中C為常數.

由iiR＝Ii－1R＋IiR，ii′R＝IiR＋Ii＋1R，得

對節點A：

得

則對數列Ii－1＋3Ii＋Ii＋1＝C，求得通項有

對上式由電路對稱性有IN－2＝I1，IN－1＝－I0，代入C＝I－4I0＋I1，化簡得

對UAB，可得UAB＝iABR 及UAB＝2I0R，UAB＝（I1＋I2＋…＋IN－2）R，則iAB＝2I0，I1＋I2＋…＋IN－3＋IN－2＝2I0.為利用3ii＋ii－1＋ii＋1＝C，再寫出（－I0）＋I1＋…＋IN－3＝I0－I1.I2＋I3＋…＋IN－2＋IN－1＝I0－I1.得

聯立（4）、（5）式可得I與I0之間的關系，進而可得

除了復雜的運算，某些特殊方程的解法也是競賽中非常重要的一個方面，而對于競賽中可能出現的高次方程，則可利用手中功能強大的計算器進行運算.在此舉一例.

例3.質量均為m的小球1、2用長為4a的輕質細線相連后，均以初速v沿著與線垂直的方向在光滑水平面上運動，開始時線處于伸直狀態.在運動過程中，線上距離小球1為a的點部位與固定在水平面上的一豎直光滑細釘接觸，如圖4所示.設在以后的運動過程中兩球不相碰，試求小球與釘的最大距離（精確到0.001a）.

圖4

解析：運動過程中小球1、2所受細線的拉力相對釘子的力矩均為0，因此小球1、2各自相對釘子的角動量都守恒.設某時刻小球1沿細線方向的速度為vr、與細線垂直方向的速度為v1θ，那么小球2沿細線方向的速度大小也為vr、與細線垂直方向的速度設為v2θ，如圖5所示.小球1、2的角動量守恒式為

圖5

式中r1為球1與細釘的距離.又因系統光滑，有動能守恒式

當小球1達到與鐵釘最大距離時，滿足條件vr＝0.代入上式得v1θ2＋v2θ2＝2v2.與角動量守恒式聯立，可得

在計算器上采用二分逼近法，可得數值近似解A＝1.653.因此，小球1與釘的最大距離為r1＝1.653a.

在物理競賽中，各類難題對問題的設置，多數情況下是交融在一起的，是不可分割的，運算難度只是其中的一項要素.如例2，對中學生而言，其模型是復雜的，思維難度也是很大的.面對這類問題，沉著地分析，規范地表述，是突破障礙的保證，也是處理物理問題能力的集中體現.