例說推理過程“箭標顯示法”

蔣利峰 張善賢

（1.蘇州市吳中區西山中學，江蘇 蘇州 215111；2.蘇州市吳中區教研室，江蘇 蘇州 215128）

在求解某些涉及物理量較多、運用物理公式較多、演算的步驟也較多的習題時，常可在解題前，根據題設條件和求解目標作推理分析.為了減少繁敘贅述，建議可用箭頭表示推理過程，筆者稱之謂物理過程的“箭標顯示法”.其法是根據題目的已知量和待求量，作為一組箭標的首末，按程序列出中間的物理量，物理量之間用箭標架設橋梁，顯示推進方向，并在箭標上方列出過渡的物理公式，這樣，整個推理過程，步步深入，層層展開，一目了然，立竿見影，從而掃清求解過程中的思維障礙，有效解答問題.

由于推理過程可進行雙向思維，所以箭標顯示法有順標和逆標兩類，本文按義務教育物理課程標準制定的科學內容用兩法各舉二個典型案例，說明它的操作過程.

1 順標顯示法

從已知量出發，依次標出中間過渡量，直至待求量.

例1.在如圖1（a）所示電路中，滑動變阻器R的阻值變化范圍為0—20Ω，電阻R0的阻值為8Ω且保持不變，電阻r的阻值r≤R0，接通電路后，當滑片P置于變阻器的b端時，電阻R0消耗的實際功率為2W，那么，當滑片P位于變阻器的a端時，加在電阻R0兩端的電壓為多少？

箭標見圖1（b）.

圖1

解析：圖1電路由定值電阻R0，取值不定電阻r，滑動變阻器R串聯而成.按題意順序該電路又可切換成4種不同狀態下的等效電路如圖2（a）、（b）、（c）、（d）所示.

圖2

先由R0＝8Ω，P0＝2W，再運用P0＝I2R0，得到I＝當r＝R0＝8Ω，滑動變阻器滑片P置于b端時，電路如圖2（a），電源電壓U電源1＝I（R0＋R＋r）＝0.5A×（8Ω＋20Ω＋8Ω）＝18V.若將滑片P置于a端時，電路由R0和r串聯而成如圖2（b），R0兩端的電壓為

當r＝0Ω時，滑動變阻器滑片P置于b端時，電路由R0和R串聯而成如圖2（c）.電源電壓U電源2＝I（R0＋R）＝0.5A×（8Ω＋20Ω）＝14V.

若將滑片P置于a端時，電路只有電阻R0，如圖2（d），R0兩端電壓U2＝U電源2＝14V.

計算表明，對于變值電阻r在8Ω至0Ω之間取值不同，加在定值電阻R0兩端的電壓在9V至14V之間的值均有可能.

最后要指出的是，本題在箭標顯示的基礎上可提煉出一種簡捷運算方法，該法在算出后，可運用歐姆定律和分壓原理算出加在電阻R0兩端的電壓.當r＝R0＝8Ω時，U最小r＝0Ω時，U 最大在8Ω和0之間，U是9V至14V之間的某一值.

例2.一輛汽車發動機的功率是35kW，效率是25%.當油箱中有20kg的汽油時，汽車以36km／h的速度勻速運動.試求汽車能夠行駛的路程.設汽車的熱值q＝4.6×107J／kg.

箭標見圖3.

圖3

解析：由汽油質量m＝20kg，汽油的熱值q＝4.6×107J／kg，得出汽油完全燃燒釋放的熱量Q放＝mq＝20kg×4.6×107J／kg＝9.2×108J，這就是輸入發動機的總能量.

再根據發動機的效率η＝25%，得出汽車發動機輸出的有用功W有用＝ηQ放＝25%×9.2×108J＝2.3×108J.因為發動機的功率P＝35kW＝3.5×104W，由W＝Pt得到汽車能夠運行的時間

根據題意v＝36km／h＝10m／s得到汽車能夠行駛的路程s＝vt＝10m／s×6.6×103s＝6.6×104m.

2 逆標顯示法

從待求量出發逆推，依次標出中間過渡量，直至已知量.

例3.已知某實心小球是由表1中所列出的塑料材料中的一種制成的.

表1

為了鑒別該小球究竟是由其中哪一種塑料制成的，某同學設計并進行了以下實驗：

（1）把該小球放入盛有足夠多酒精的量杯中，松手后，當小球處于平衡狀態時，發現量杯內的液面由60mL處升高到90mL處（已知酒精的密度是0.8×103kg／m3）；

（2）再把該小球放入另一只盛有足夠多水的量杯中，松手后，當小球處于平衡狀態時，發現量杯內的水面由60 mL處升高到87mL處.問小球是何種材料制成的？

本題的實質是求小球的密度.

箭標見圖4.

圖4

解析：依據題設條件，可知塑料小球排開酒精的體ΔV排1＝30mL＝3×10－5m3，排開水的體積ΔV排2＝27mL＝2.7×10－5m3.

小球的密度雖然未知，但是從例3給出的6種塑料密度表可知它的密度不會小于酒精的密度.這樣，小球在酒精中只能是懸浮或沉底，于是立即可以推知小球的體積V＝V排＝3×10－5m3，再由V排2＜V排1，得出小球肯定漂浮在水面，根據漂浮條件和阿基米德原理，推知小球重.

G＝F水浮＝ρ水gV排2＝1×103kg／m3×10N／kg×2.7×10－5m3＝0.27N.

對照例3給出的塑料密度表，確定小球由聚丙烯制成的.同時可知小球放在酒精的量杯中是沉到杯底的.

例4.如圖5所示滑輪組，在不計繩重和摩擦的前提下：（1）提起重5 000N的重物，拉力F的功率為2.5kW，拉繩子的速度為1.2m／s，求滑輪組的機械效率.（2）用該滑輪組提起4 000N的重物，勻速升高6m，求拉力做的總功.

（1）箭標見圖6.

圖5

圖6

解析：假設動力F向下拉繩子的時間為t，拉力所做的功W總1＝Pt.

重物提升的高度h1＝vt／n＝vt／3.

（2）箭標見圖7.

圖7

拉力所做的總功 W總2＝（G2＋G動）h2＝（4 000N＋1 250N）×6m＝3.2×104J.

順便可求出，在第二種情況時，滑輪組的機械效率

可見在不計繩重和摩擦時，滑輪組的機械效率隨提升的物重減小而降低.

運用“箭標顯示法”需要注意下列3點：

（1）一般適用有一定難度的綜合題，即本文開始所指的“三多”題，對于開門見山的題目，不必畫蛇添足.

（2）究竟采用“順標顯示法”還是“逆標顯示法”，要依據題設條件而定，多數情況下用順標顯示，只有當題設條件比較隱蔽時，采用逆標顯示法，如例3塑料小球的質量和體積要分別在兩種液體中分析出它們的浮沉情況后才能確定.例4中動滑輪重以及物重變化引起滑輪組的機械效率的變化等也要通過分析才能見底.

（3）推理的箭標顯示通常是在腦海中運轉，特殊情況譬如：題設條件七繞八彎時，相互之間需要討論交流時，尤其在課堂教學或課外輔導時需要選用多種媒體作箭標顯示.

總之，推理過程“箭標顯示法”的正確使用，必將使物理教學成為有的放矢、有條不紊、有理可據的科學行為.長期堅持，及時充實，不斷更新，必將從根本上改變學生接受學習，死記硬背，機械搬套的陋習.不斷提高學生樂于探究，勤于思索，善于發現問題，提出問題的能力，并養成交流合作的良好習慣，幫助他們盡快步入自主性學習的軌道.