淺談動能定理對彈簧模型的佯不適用性

王 森 高櫻娜 羅琬華

（西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 北碚 400715）

1 動能定理對彈簧模型的佯不適用性現(xiàn)象

圖1

1.1 彈簧的佯不適用性現(xiàn)象

取 人 教 版 （2006）《物理》必修2教材“探究彈性勢能的表達(dá)式”一節(jié)中圖7.5－3（本文圖1）所示為研究情景：彈簧一端固定在墻上，處于原長，現(xiàn)在另一端施加外力F使彈簧緩慢拉伸.［1］以彈簧為研究對象，設(shè)W1表示拉力F對彈簧做的功，W2表示墻壁對彈簧做的功，x表示手與彈簧的接觸點(diǎn)的位移，根據(jù)文獻(xiàn)［2］的結(jié)論：求功公式中位移最準(zhǔn)確的理解應(yīng)為受力點(diǎn)即將受力部位看做質(zhì)點(diǎn)時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的位移.有可推知又由于彈簧動能的改變量ΔEk＝0，易知W總≠ΔEk，故彈簧不滿足動能定理.

1.2 彈簧系統(tǒng)的佯不適用性現(xiàn)象

彈簧系統(tǒng)，此處界定為含有彈簧的系統(tǒng)，包括不受外力和受外力兩種情況.

（1）彈簧系統(tǒng)不受外力.

以圖2所示情景分析，在光滑的水平地面上，壓縮的彈簧兩端分別固定著兩個(gè)完全相同的物體，放開手后，兩物體將在彈簧彈力的作用下做先加速后減速的往復(fù)運(yùn)動.以彈簧和兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象，因彈簧對物體的力與物體對彈簧的力始終大小相等，方向相反，且彈簧與物體的受力點(diǎn)為同一點(diǎn)，位移相等，故系統(tǒng)內(nèi)力做功之和為0，考慮到無外力做功，因此系統(tǒng)內(nèi)、外力做功之和始終為0，這要求系統(tǒng)的動能始終不發(fā)生改變.而事實(shí)上，系統(tǒng)的動能卻在不斷變化，這與動能定理相違背，故不受外力的彈簧系統(tǒng)不滿足動能定理.

（2）彈簧系統(tǒng)受外力.

圖2

以圖3所示情景分析，在光滑的水平地面上，彈簧一端固定在墻上，另一端與一物體連接，現(xiàn)壓縮彈簧至一定限度后無初速度放開，假設(shè)整個(gè)過程中無能量損失，彈簧將在水平方向上做先加速后減速的往復(fù)運(yùn)動.以彈簧和物體組成的系統(tǒng)為研究對象，同前文，此處內(nèi)力做功為0，且彈簧受墻作用力部位始終沒有發(fā)生位移，因此墻壁對系統(tǒng)做功即外力做功為0，故系統(tǒng)內(nèi)、外力做功之和始終為0，而系統(tǒng)的動能卻在不斷地變化著，故受外力的彈簧系統(tǒng)也不滿足動能定理.

圖3

2 動能定理適用范圍之理論推導(dǎo)

按研究對象的不同，動能定理分為質(zhì)點(diǎn)的動能定理與質(zhì)點(diǎn)系的動能定理；按照質(zhì)點(diǎn)間距離是否發(fā)生改變，質(zhì)點(diǎn)系又分為不變質(zhì)點(diǎn)系（即剛體模型）與變化質(zhì)點(diǎn)系（即形變物體）.一般就動能定理是否適用于質(zhì)點(diǎn)與不變質(zhì)點(diǎn)系沒有疑問，但對變化質(zhì)點(diǎn)系（即形變物體）是否適用則意見不一，前文所述彈簧模型對動能定理的佯不適用性現(xiàn)象便是明證.下面重點(diǎn)闡述動能定理對變化質(zhì)點(diǎn)系的適用性推導(dǎo).

根據(jù)文獻(xiàn)［3］，從質(zhì)點(diǎn)動能定理出發(fā)可推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系動能定理［3］，此不贅述.已知質(zhì)點(diǎn)系動能定理

式中∑A外表示質(zhì)點(diǎn)系外力做功之和，∑A內(nèi)表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功之和，∑Ek表示質(zhì)點(diǎn)系的末動能，∑Ek0表示質(zhì)點(diǎn)系的初動能.其中

式中∑A內(nèi)非表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)非保守力作功之和，∑A外非表示質(zhì)點(diǎn)系外非保守力作功之和，∑A外保表示質(zhì)點(diǎn)系外保守力作功之和，∑A內(nèi)保表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)保守力作功之和，∑A保表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)外保守力作功之和.

根據(jù)勢能定義有

式中∑Ep表示質(zhì)點(diǎn)系末勢能，∑Ep0表示質(zhì)點(diǎn)系初勢能.

聯(lián)立（1）～（3）式得

（4）式表明：質(zhì)點(diǎn)系總機(jī)械能的增量等于一切內(nèi)非保守力和外非保守力所做功的代數(shù)和，此即質(zhì)點(diǎn)系的功能原理.若∑A內(nèi)非＋∑A外非＝0，即只有保守力做功，則物體的機(jī)械能守恒，故機(jī)械能守恒定律是質(zhì)點(diǎn)系功能原理的推論.

上面我們從質(zhì)點(diǎn)系動能定理到質(zhì)點(diǎn)系功能原理是以（2）、（3）兩式同時(shí)成立為前提的，換句話說，質(zhì)點(diǎn)系功能原理只有在（2）、（3）、質(zhì)點(diǎn)系動能定理同時(shí)成立的條件下才可成立.故易知質(zhì)點(diǎn)系功能原理的適用范圍≤質(zhì)點(diǎn)系動能定理的適用范圍.

3 佯不適用性成因分析

動能定理適用于任何情況，毋庸置疑，但為何會出現(xiàn)動能定理對于彈簧模型的佯不適用性呢？關(guān)鍵在于前文在考慮彈簧時(shí)犯下了兩個(gè)錯(cuò)誤：（1）錯(cuò)誤地將彈簧看做質(zhì)點(diǎn)：因彈簧的形變明顯，不可忽略其形狀大小，故不可看做質(zhì)點(diǎn)；（2）將彈簧看做質(zhì)點(diǎn)系時(shí)，又定勢地認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功之和為0，事實(shí)上，彈簧內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的距離發(fā)生了改變即質(zhì)點(diǎn)間發(fā)生了相對位移，根據(jù)文獻(xiàn)［3］中所證：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功等于力與質(zhì)點(diǎn)間的相對位移的乘積［3］，故知彈簧的內(nèi)力做功之和必不為0，同樣彈簧系統(tǒng)的內(nèi)力做功之和也不為0.下面我們對圖1中所示情景再做分析，以定量計(jì)算出此情景下彈簧內(nèi)力做功之和.

分析.設(shè)彈簧外力做功之和為W1，內(nèi)力做功之和為W2，由動能定理可得

由（6）式知用手緩慢拉伸、壓縮一端固定在墻上的彈簧時(shí)，彈簧內(nèi)力做功之和等于外力做功之和的負(fù)值，也等于彈性勢能的改變量，這也正是教材使用拉力做的功得出彈性勢能的表達(dá)式的理論依據(jù)所在.

4 總結(jié)

（1）動能定理適用于任何情況；

（2）功能原理是動能定理在一定條件下的一種變形公式；

（3）彈簧不可看做質(zhì)點(diǎn)，只能看做質(zhì)點(diǎn)系，且該質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功之和必不為0；

（4）用手緩慢拉伸、壓縮一端固定在墻上的彈簧時(shí)，彈簧內(nèi)力做功之和等于外力做功之和的負(fù)值，也等于彈性勢能的改變量，墻壁對彈簧不做功.

1 課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.物理（必修2）.北京：人民教育出版社，2006.

2 楊鳳梅.作用點(diǎn)不固定的力作功的“佯謬”問題.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001（8）.

3 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程 力學(xué)（第2版）.北京：高等教育出版社，2005.