由一道題的錯(cuò)解牽出對(duì)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的理解

金愛兵 董菲菲

（江蘇省盱眙中學(xué)，江蘇 淮安 211700； 江蘇盱眙縣馬壩初級(jí)中學(xué)，江蘇 淮安 211752）

質(zhì)點(diǎn)組在不同參考系中的動(dòng)能將會(huì)有不同的數(shù)值.而在高中物理中，利用系統(tǒng)動(dòng)能定理或系統(tǒng)機(jī)械能守恒列方程時(shí)都要表示出質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能.如果沒有把質(zhì)心動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能分清楚，學(xué)生在以質(zhì)心為研究對(duì)象列方程可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文根據(jù)學(xué)生對(duì)一道練習(xí)題的錯(cuò)誤解答和修正來加深對(duì)質(zhì)心動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的理解.

1 提出問題

例題.質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2 m的小球A和B，不考慮小球的形狀.支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示.開始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，求小球A在下落過程中的最大速度？

解法1：以小球A、B和支架組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)連接B球的桿向左偏離豎直方向θ角，此時(shí)小球A的速度為v，有

圖1

由于單個(gè)小球機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，于是學(xué)生提出了創(chuàng)新解法，將兩個(gè)球看成是一個(gè)球集中在某一點(diǎn)，也就是運(yùn)用質(zhì)心的知識(shí).

此時(shí)另一個(gè)學(xué)生提出，解法2中方程左邊用的是質(zhì)心勢能的減少量，方程右邊應(yīng)該用質(zhì)心的動(dòng)能增加量，然后根據(jù)質(zhì)心和小球A都繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有相同角速度，找出質(zhì)心的速度與小球A的速度關(guān)系，提出了另一種表達(dá)式.

解法3與解法1和解法2的結(jié)果不同，問題出在什么地方？

解法2和解法3方程的左邊都是質(zhì)心勢能的減少量，方程的右邊卻不一樣，解法2是質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)能，解法3是系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能一定等于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能嗎？

2 分析問題

設(shè)質(zhì)點(diǎn)組中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在S和S′系中的速度分別為vi和vi′，S′系相對(duì)S系的平動(dòng)速度為u，按照伽利略速度變換有vi＝vi′＋u.

質(zhì)點(diǎn)在參照系S中的動(dòng)能為Ek，則

u是S′系相對(duì)S系的速度，也就是質(zhì)心在S系中的速度vc，

結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)組在某參照系中的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)組在質(zhì)心系中的動(dòng)能加上隨質(zhì)心整體平動(dòng)的動(dòng)能.（表述1）

3 解決問題

將解法3重新修正：

以A球?yàn)槔鐖D2所示，由數(shù)學(xué)知識(shí)得

圖2

當(dāng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)，A球的速度vA＝v，垂直O(jiān)A，B球的速度，垂直O(jiān)B，質(zhì)心的速度垂直O(jiān)C.將vA分解為v1沿AC方向和v2垂直AC方向，將vC分解為v3沿AC方向和v4垂直AC方向.

A、B兩球?qū)點(diǎn)的總動(dòng)能為

解法3中的機(jī)械能守恒方程應(yīng)更正為

4 拓展問題

將上述結(jié)論應(yīng)用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系.

設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考系S和平動(dòng)質(zhì)心參考系S′的速度分別為v1、v2、v1′、v2′，兩質(zhì)點(diǎn)在參考系S 和平動(dòng)質(zhì)心參考系S′的相對(duì)速度相等為u，即

在質(zhì)心參考系S′中，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為0，有

上述結(jié)論可表示為：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能等于兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)能加上質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能.（表述2）

上題可用表述2列方程：小球A和B的速度相互垂直，兩者的相對(duì)速度和相對(duì)動(dòng)能為

機(jī)械能守恒方程為