應用MATLAB研究帶電粒子的擺線運動——兼對一幅2011年高考試題插圖的商榷

朱國強

（浙江紹興市第一中學，浙江 紹興 312000）

2011年福建高考試題第22題是一道新穎的考題.

題1.如圖1（甲），在x＞0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B.一質量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射人，粒子的運動軌跡見圖1（甲），不計粒子的重力.

（甲）

圖1

（1）求該粒子運動到y＝h時的速度大小v；

（2）現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y－x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖1（乙）所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y－t關系）是簡諧運動，且都有相同的周期

Ⅰ.求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為v0時，其y－t圖像如圖1（丙）所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y－t的函數表達式.

分析：該題以帶電粒子在勻強電場和勻強磁場的正交疊加場中的運動為基本情景，考查了力和運動關系，包括受力分析、運動分析、牛頓運動定律以及動能定理等主干知識.命題者對該題的命制意圖主要是考察學生的理解能力、推理能力、臨場接受新知識的能力、應用數學知識解決物理問題的能力.由于設問角度巧妙，知識補充到位，即使沒有競賽訓練背景的學生也有可能解決該題，能力立意較高.

該題暗含勻速直線運動，明示簡諧運動，因顧及中學教學的實際，沒有直接指出粒子到底做什么運動.理論推導可知，該帶電粒子實際上做擺線運動.

擺線是數學中最迷人的曲線之一.物理中可以這樣定義：一個圓輪，沿一直線做純滾動，輪上一定點P所經過的軌跡稱為擺線，又叫滾輪線.設圓輪半徑為R，取一條直線為x軸，再設P點與圓心點的距離為r，起始時刻P點位置在y軸上，θ為圓輪轉過的角度.當圓輪做純滾動時，P點的運動看作是隨圓心沿x軸前進距離Rθ的直線運動與繞圓心轉過角度θ的圓周運動這兩者的疊加，寫出方程x＝Rθ－rsinθ，y＝R－rcosθ.假設圓輪是做勻速率滾動，角速度為ω，則θ＝ωt.P點運動的參數方程為x＝Rωtrsinωt，y＝R－rcosωt.

運用Matlab軟件繪制擺線運動軌跡如圖2所示.

圖2

由圖2可知，P點的軌跡，有4種情況，依次為長幅擺線、普通擺線、短幅擺線、直線.（1）P點在動圓外，r＞R，P點的軌跡為長幅擺線，如圖2中r＝1.5所指示；（2）P點在輪緣上，r＝R，P點的軌跡為普通擺線，如r＝1所指示；（3）P點在動圓內，r＜R，P點的軌跡為短幅擺線，如r＝0.5所指示；（4）P點在圓心，r＝0，P點的軌跡為平行于x軸的直線，如r＝0所指示.

再觀察圖1，不符合擺線的特征：（1）拱寬2πR，（2）普通擺線和短幅擺線，拱高≤2r.故該題圖1所示的圖線不是擺線，值得商榷.

下面首先證明該帶電粒子在題設條件下做擺線運動，再用計算機繪制相關圖像，并提出對圖1的修改建議.

1 理論推導

設勻強電場場強為E，沿y軸負方向，勻強磁場磁感應強度為B，沿z軸負方向.帶電粒子質量為m，帶電荷量為q，q＞0，t＝0時從原點以初速度v0沿x軸入射，求帶電粒子運動的速度、軌跡.

解析：對帶電粒子進行受力分析，電場力為

磁場力為

根據牛頓第二定律得，x方向上有

y方向上有

由（1）、（2）式得

代入（2）式得

帶電粒子運動的位置坐標為

由（5）、（6）式化簡得

2 計算機作圖

2.1 程序

運用Matlab軟件繪制該帶電粒子運動軌跡的程序如下.

2.2 模擬

運行結果如圖3所示.圖中動圓的半徑R＝10，拱寬為2πR＝62.8.

圖3

（ii）當k＝0，即v0＝0時，為普通擺線，這是大部分中學試題的命題情景——初速為0；

3 修正建議

帶電粒子在勻強電場、磁場中運動ZGQSTUDIO

圖4

2010年以前，以帶電粒子在正交的電磁場中的運動為情景的高考試題，大多數取粒子初速為0，即k＝0，v0＝0，如2008年江蘇高考試題14題.

題2.在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖5所示.已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：

（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v.

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym.

（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E＞mg／q）的勻強電場時，小球從0點靜止釋放后獲得的最大速率vm.

簡析：該高考試題屬于初速v0＝0的情景，只是把豎直向下的電場力換成重力，小球做普通擺線運動.拱高h＝2R，拱寬L＝2πR，所配插圖是普通擺線，比較科學.

4 幾種解法

應用高等數學微積分解題超過大部分中學生的認知能力和認知要求.高考命題者根據應用高等數學推出的結果，采用等效思維的方法，把需要用高等數學解決的物理問題，降解為能夠用初等數學進行解釋或理解的問題.下面對題1提供幾種解法.

圖5

（2）Ⅰ.解法1：由圖1（乙）中間的直線可知，設粒子恰好沿x軸方向做勻速運動，設速度大小為v1，則qv1B＝qE.又據題意可知，所有粒子具有相同的空間周期性，即在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內前進的距離即s＝v1T，式中，解得

Ⅱ.解法1：設粒子在y方向上的最大位移為ym［圖1（丙）曲線的最高點處］，對應的粒子運動速度大小為v2（方向沿x軸）.

對粒子，在y方向做簡諧運動，振幅為A.

在y＝0處，qv0B－qE＝kA；

在y＝ym處，qE－qv0B＝kA.所以

從y＝0到y＝ym處過程中，由動能定理有

解法2：該帶電粒子的擺線運動可以看作兩個運動的合成，一個是沿x方向的速度為的勻速直線運動，另一個是速率為的勻速圓周運動振幅A＝R.寫出y－t的函數表達式y＝R－代入初始條件t＝0時，y＝0，得φ＝0，故y

總之，帶電粒子在正交的的勻強電場和勻強磁場中的運動是中學物理教學的一個難點，是各省高考、高校自主招生、物理競賽命題的一個焦點.深入理解帶電粒子的擺線運動對中學教師的教學和中學生的學習都有裨益.

1 佘守憲，唐瑩.淺析物理學中的擺線（擺線）.大學物理，2001（6）.

2 朗道.場論.北京：人民教育出版社，1959.

3 葉兵.帶電粒子在正交電磁場中運動問題的初步研究.物理教學探討，2007（11）.

4 朱國強.高中物理培優基礎教程.杭州：浙江大學出版社，2010.301

5 胡建新.帶電粒子在正交恒定電磁場中運動狀態的分析.大學物理，2004（4）.