一個(gè)力學(xué)問(wèn)題的一對(duì)內(nèi)力做功的探討

何述平

（西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所，甘肅 蘭州730070）

1 引言

質(zhì)點(diǎn)系的一對(duì)內(nèi)力做功與否對(duì)解決質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題至關(guān)重要，但就一對(duì)內(nèi)力做功與否的論證存在欠嚴(yán)謹(jǐn)或令人費(fèi)解甚至不合理，如下述典型力學(xué)問(wèn)題中認(rèn)為，m、M及水平面間無(wú)摩擦力，故機(jī)械能守恒；［1］m和M 的相互作用力具有相同的位移，做功之和為零，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.［2］那么，此力學(xué)問(wèn)題的一對(duì)內(nèi)力做功否？做的總功等于零否？怎樣合理推證？解決此類問(wèn)題的方法如何？本文就此進(jìn)行相應(yīng)的探討，以期獲得合理的解釋，并為此類問(wèn)題的解決提供物理學(xué)方法論的基礎(chǔ).

2 探討

2.1 問(wèn)題

如圖1，質(zhì)量為M、斜邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、傾角為θ的直角劈位于光滑水平面上，質(zhì)量為m的小物塊自光滑直角劈的頂部滑下，最初直角劈和小物塊均處于靜止?fàn)顟B(tài).求小物塊滑至直角劈底部時(shí)直角劈的速度大小，［1，2］小物塊的速度和直角劈移動(dòng)的距離.［3］

2.2 解析

為了明晰起見，采用隔離法解析此問(wèn)題，且不局限于此題設(shè)問(wèn)題，以獲得關(guān)于此問(wèn)題的盡可能完備的信息.

水平面為參照系（慣性系），分別以小物塊、直角劈為研究對(duì)象，受力如圖2.

圖1

圖2

在水平面沿水平x方向、豎直y方向建立坐標(biāo)系O－xy.依據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)m、M有

依據(jù)牛頓第三定律有（大小關(guān)系）

由（1）～（5）式知，m、M 應(yīng)分別相對(duì)水平面做初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x、y方向）.對(duì)m有

對(duì)M有

t為m自M 頂部滑至底部的時(shí)間，此時(shí)有位移大小關(guān)系

由（1）、（3）、（5）、（6）、（8）、（9）式得

（11）、（12）式分別為m自M 頂部滑至底部時(shí)的水平位移大小.

由（1）、（2）、（6）、（7）、（10）、（11）式得

此式表明彈性力N為恒力，再聯(lián)系（1）～（5）式可佐證，m、M分別相對(duì)水平面做勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x、y方向）.

由（1）～（5）、（13）式得

（13）、（14）、（16）、（17）式與運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、非慣性系牛頓定律推得的結(jié)果［4］一致.（14）～（16）式再次表明，m、M分別相對(duì)水平面做勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x，y方向）.對(duì)m有

對(duì)M有

由（10）～（12）式和（14）～（16）式及（18）～（20）式得

vm方向與水平面的夾角為

vM方向沿水平方向.（21）、（23）式分別為m自M 頂部滑至底部時(shí)的速度大小.

2.3 討論

2.3.1 一對(duì)內(nèi)力的功

由（10）～（12）式和（5）式可推證質(zhì)點(diǎn)系（m＋M）的一對(duì)彈性內(nèi)力N、N′做的總功等于零，即

Nsinθ·xm－Ncosθ·ym＋N′sinθ·xM＝0. （24）

由（9）、（10）式知，m對(duì)M 的相對(duì)位移與M 對(duì)m 的彈性力N正交，則由質(zhì)點(diǎn)系一對(duì)內(nèi)力做功的特點(diǎn)——一對(duì)內(nèi)力做的總功僅決定于相互作用力和相對(duì)位移［3］知，一對(duì)彈性內(nèi)力N、N′做的總功等于零.

由（21）、（23）式可驗(yàn)證系統(tǒng)（m＋M＋地球）的機(jī)械能守恒，即

從而佐證系統(tǒng)的一對(duì)彈性內(nèi)力N、N′做的總功等于零.

雖然一對(duì)彈性內(nèi)力N、N′做的總功等于零，但由（24）式知，這對(duì)彈性內(nèi)力卻做了功，其效果是使系統(tǒng)的機(jī)械能發(fā)生了轉(zhuǎn)化（m的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為豎直方向m的動(dòng)能和水平方向m、M的動(dòng)能），從而使系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

2.3.2 釋疑解惑

由（10）～（12）式知，m、M 分別相對(duì)水平面的位移大小不相等，由（9）、（10）式知，m相對(duì)M 的位移大小不為零.因此，認(rèn)為m和M的相互作用力具有相同的位移、做功之和為零，［2］這是一種想當(dāng)然的錯(cuò)誤.

2.3.3 方法

一對(duì)彈性內(nèi)力N、N′做的總功等于零，具有約束力的特點(diǎn)——約束力不做功，［5］因此，可將這對(duì)彈性內(nèi)力視作質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)約束力，進(jìn)而考慮運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決問(wèn)題.

設(shè)u為m相對(duì)M 的速度大小（方向沿直角劈的斜面向下），系統(tǒng)（m＋M）水平方向動(dòng)量守恒，以水平面為參照系，m 運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎颍校?，2］

系統(tǒng)（m＋M＋地球）機(jī)械能守恒，有［1，2］

由（26）、（27）式得到與（21）～（23）式相同的結(jié)果；（26）式對(duì)0～t（m自M 頂部滑至底部的時(shí)間）積分，再結(jié)合（9）式，得同（11）、（12）式的結(jié)果.

比較上述隔離法和系統(tǒng)法知，隔離法雖有些繁瑣，但解析透徹、過(guò)程清晰；而系統(tǒng)法不涉及物理過(guò)程的具體細(xì)節(jié)和質(zhì)點(diǎn)間可能復(fù)雜的相互作用，直接考慮質(zhì)點(diǎn)系的始末態(tài)物理量——?jiǎng)恿俊⒛芰浚顟B(tài)量），因此，系統(tǒng)法具有簡(jiǎn)捷性.

鑒于上述，解決涉及質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功的力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)質(zhì)點(diǎn)系一對(duì)內(nèi)力做功的特點(diǎn)［3］定性判定一對(duì)內(nèi)力做功與否；其次依據(jù)所要解決問(wèn)題的性質(zhì)運(yùn)用隔離法或系統(tǒng)法或兩者的有機(jī)結(jié)合進(jìn)行定量推演.

另外，若從中學(xué)物理層次僅僅求此題設(shè)問(wèn)題的水平位移大小，［6，7］則其合理方法之一如下.系統(tǒng)（m＋M）水平方向動(dòng)量守恒，以水平面為參照系、m運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎颍瑢?duì)m自M頂部滑至底部時(shí)的狀態(tài)有

且有位移大小關(guān)系式（9）；再依據(jù)m、M分別相對(duì)水平面做初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則位移大小為

t為m 自M 頂部滑至底部的時(shí)間.由（28）、（9）、（29）、（30）式可得同（11）、（12）式的結(jié)果.

3 結(jié)語(yǔ)

本文就一個(gè)典型力學(xué)問(wèn)題的一對(duì)內(nèi)力做功的問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的探討，不僅從功與能兩個(gè)層次合理推證了質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)一對(duì)彈性內(nèi)力做的總功等于零，功的層次上又給出了概念性和特點(diǎn)性的兩個(gè)等效的推證方法；而且分別運(yùn)用隔離法細(xì)致地和系統(tǒng)法簡(jiǎn)捷地分析解決了問(wèn)題，比較了這兩種方法的優(yōu)劣，為依據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)便捷地選擇方法提供了根據(jù)；同時(shí)指明了推證此典型力學(xué)問(wèn)題的一對(duì)內(nèi)力做的總功等于零的不合理性，并提出了解決涉及質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功的力學(xué)問(wèn)題的一般方法.本文不僅從大學(xué)普通物理層次細(xì)致地解析了此典型力學(xué)問(wèn)題，而且給出了僅僅求解此問(wèn)題的水平位移大小的中學(xué)物理的合理方法之一.

1 惲瑛，朱君哲，舒素珍.哈里德物理學(xué)習(xí)題解答（第1卷）.北京：科學(xué)出版社，1985.207－208

2 胡盤新，孫迺疆.普通物理學(xué)（第5版）習(xí)題分析與解答.北京：高等教育出版社，2003.83－84

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1982.182，195－196

4 謝寶田，周友明，馮麟保.理論力學(xué)教程習(xí)題解.北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1991.89－91

5 Kleppner D，Kolenkow R J.力學(xué)引論.寧遠(yuǎn)源等譯.北京：人民教育出版社，1980.196

6 劉炳升.走進(jìn)高中新課改：物理教師必讀.南京：南京師范大學(xué)出版社，2005.150

7 陳剛.物理教學(xué)設(shè)計(jì).上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.145