一個力學問題的一對內力做功的探討

何述平

（西北師范大學教育學院物理教育研究所，甘肅 蘭州730070）

1 引言

質點系的一對內力做功與否對解決質點系問題至關重要，但就一對內力做功與否的論證存在欠嚴謹或令人費解甚至不合理，如下述典型力學問題中認為，m、M及水平面間無摩擦力，故機械能守恒；［1］m和M 的相互作用力具有相同的位移，做功之和為零，因此系統的機械能守恒.［2］那么，此力學問題的一對內力做功否？做的總功等于零否？怎樣合理推證？解決此類問題的方法如何？本文就此進行相應的探討，以期獲得合理的解釋，并為此類問題的解決提供物理學方法論的基礎.

2 探討

2.1 問題

如圖1，質量為M、斜邊長為L、傾角為θ的直角劈位于光滑水平面上，質量為m的小物塊自光滑直角劈的頂部滑下，最初直角劈和小物塊均處于靜止狀態.求小物塊滑至直角劈底部時直角劈的速度大小，［1，2］小物塊的速度和直角劈移動的距離.［3］

2.2 解析

為了明晰起見，采用隔離法解析此問題，且不局限于此題設問題，以獲得關于此問題的盡可能完備的信息.

水平面為參照系（慣性系），分別以小物塊、直角劈為研究對象，受力如圖2.

圖1

圖2

在水平面沿水平x方向、豎直y方向建立坐標系O－xy.依據牛頓第二定律，分別對m、M有

依據牛頓第三定律有（大小關系）

由（1）～（5）式知，m、M 應分別相對水平面做初速度為零的勻變速直線運動（x、y方向）.對m有

對M有

t為m自M 頂部滑至底部的時間，此時有位移大小關系

由（1）、（3）、（5）、（6）、（8）、（9）式得

（11）、（12）式分別為m自M 頂部滑至底部時的水平位移大小.

由（1）、（2）、（6）、（7）、（10）、（11）式得

此式表明彈性力N為恒力，再聯系（1）～（5）式可佐證，m、M分別相對水平面做勻變速直線運動（x、y方向）.

由（1）～（5）、（13）式得

（13）、（14）、（16）、（17）式與運用動量守恒定律、非慣性系牛頓定律推得的結果［4］一致.（14）～（16）式再次表明，m、M分別相對水平面做勻變速直線運動（x，y方向）.對m有

對M有

由（10）～（12）式和（14）～（16）式及（18）～（20）式得

vm方向與水平面的夾角為

vM方向沿水平方向.（21）、（23）式分別為m自M 頂部滑至底部時的速度大小.

2.3 討論

2.3.1 一對內力的功

由（10）～（12）式和（5）式可推證質點系（m＋M）的一對彈性內力N、N′做的總功等于零，即

Nsinθ·xm－Ncosθ·ym＋N′sinθ·xM＝0. （24）

由（9）、（10）式知，m對M 的相對位移與M 對m 的彈性力N正交，則由質點系一對內力做功的特點——一對內力做的總功僅決定于相互作用力和相對位移［3］知，一對彈性內力N、N′做的總功等于零.

由（21）、（23）式可驗證系統（m＋M＋地球）的機械能守恒，即

從而佐證系統的一對彈性內力N、N′做的總功等于零.

雖然一對彈性內力N、N′做的總功等于零，但由（24）式知，這對彈性內力卻做了功，其效果是使系統的機械能發生了轉化（m的重力勢能轉化為豎直方向m的動能和水平方向m、M的動能），從而使系統的機械能守恒.

2.3.2 釋疑解惑

由（10）～（12）式知，m、M 分別相對水平面的位移大小不相等，由（9）、（10）式知，m相對M 的位移大小不為零.因此，認為m和M的相互作用力具有相同的位移、做功之和為零，［2］這是一種想當然的錯誤.

2.3.3 方法

一對彈性內力N、N′做的總功等于零，具有約束力的特點——約束力不做功，［5］因此，可將這對彈性內力視作質點系的內約束力，進而考慮運用機械能守恒定律解決問題.

設u為m相對M 的速度大小（方向沿直角劈的斜面向下），系統（m＋M）水平方向動量守恒，以水平面為參照系，m 運動方向為正向，有［1，2］

系統（m＋M＋地球）機械能守恒，有［1，2］

由（26）、（27）式得到與（21）～（23）式相同的結果；（26）式對0～t（m自M 頂部滑至底部的時間）積分，再結合（9）式，得同（11）、（12）式的結果.

比較上述隔離法和系統法知，隔離法雖有些繁瑣，但解析透徹、過程清晰；而系統法不涉及物理過程的具體細節和質點間可能復雜的相互作用，直接考慮質點系的始末態物理量——動量、能量（狀態量），因此，系統法具有簡捷性.

鑒于上述，解決涉及質點系內力做功的力學問題時，應首先依據質點系一對內力做功的特點［3］定性判定一對內力做功與否；其次依據所要解決問題的性質運用隔離法或系統法或兩者的有機結合進行定量推演.

另外，若從中學物理層次僅僅求此題設問題的水平位移大小，［6，7］則其合理方法之一如下.系統（m＋M）水平方向動量守恒，以水平面為參照系、m運動方向為正向，對m自M頂部滑至底部時的狀態有

且有位移大小關系式（9）；再依據m、M分別相對水平面做初速度為零的勻變速直線運動，則位移大小為

t為m 自M 頂部滑至底部的時間.由（28）、（9）、（29）、（30）式可得同（11）、（12）式的結果.

3 結語

本文就一個典型力學問題的一對內力做功的問題進行了詳細的探討，不僅從功與能兩個層次合理推證了質點系中質點間有相對運動時一對彈性內力做的總功等于零，功的層次上又給出了概念性和特點性的兩個等效的推證方法；而且分別運用隔離法細致地和系統法簡捷地分析解決了問題，比較了這兩種方法的優劣，為依據問題的性質便捷地選擇方法提供了根據；同時指明了推證此典型力學問題的一對內力做的總功等于零的不合理性，并提出了解決涉及質點系內力做功的力學問題的一般方法.本文不僅從大學普通物理層次細致地解析了此典型力學問題，而且給出了僅僅求解此問題的水平位移大小的中學物理的合理方法之一.

1 惲瑛，朱君哲，舒素珍.哈里德物理學習題解答（第1卷）.北京：科學出版社，1985.207－208

2 胡盤新，孫迺疆.普通物理學（第5版）習題分析與解答.北京：高等教育出版社，2003.83－84

3 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1982.182，195－196

4 謝寶田，周友明，馮麟保.理論力學教程習題解.北京：中國科學技術出版社，1991.89－91

5 Kleppner D，Kolenkow R J.力學引論.寧遠源等譯.北京：人民教育出版社，1980.196

6 劉炳升.走進高中新課改：物理教師必讀.南京：南京師范大學出版社，2005.150

7 陳剛.物理教學設計.上海：華東師范大學出版社，2009.145