一種新型趨近率的無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制

劉保連，丁祖軍，金德飛

(淮陰工學(xué)院，江蘇淮安223003)

0 引 言

無刷直流電動(dòng)機(jī)具有體積小、重量輕、維護(hù)方便、高效節(jié)能以及易于控制等一系列優(yōu)點(diǎn)而廣泛運(yùn)用于航空航天、工業(yè)自動(dòng)化、醫(yī)療器械、計(jì)算機(jī)外圍設(shè)備等方面［1］。無刷直流電動(dòng)機(jī)是一種多變量、變參數(shù)、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)負(fù)載或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，傳統(tǒng)控制器控制難以實(shí)現(xiàn)對電機(jī)進(jìn)行精確控制。一些研究將極點(diǎn)配置和最優(yōu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模型參考自適應(yīng)控制等引入電機(jī)控制技術(shù)中，有效提高了無刷直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行性能，但這些控制仍依賴于電機(jī)精確的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)性能易受參數(shù)變化及各種擾動(dòng)的影響，魯棒性差。

變結(jié)構(gòu)控制作為一種特殊的非線性控制，由于滑動(dòng)模態(tài)對內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性，引起了人們的關(guān)注并取得了不少成果。

文獻(xiàn)［2］用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為滑模動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器對不確定系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)抗參數(shù)攝動(dòng)、抗干擾性能較好，有效地減弱了單純滑模變結(jié)構(gòu)控制所帶來的“抖振”現(xiàn)象，但算法復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)［3］結(jié)合冪次趨近率能夠使系統(tǒng)平滑的進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)的特點(diǎn)，得到一種新型趨近率，提高了傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制的性能，但滑模到達(dá)時(shí)間是不確定的。

而單純的指數(shù)趨近律及組合趨近律在滑模面附近減速防抖的性能會(huì)因控制器切換功率的不同而參差不齊，到達(dá)時(shí)間也不是最短。本文提出了一種基于PID趨近率的變結(jié)構(gòu)控制策略，以PID控制規(guī)律來控制到達(dá)滑模面的速率，其達(dá)到滑模面的時(shí)間是有限的，且確定的。仿真結(jié)果表明本文所提出的變結(jié)構(gòu)控制策略具有較高的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。

1 無刷直流電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

在分析和仿真計(jì)算中直接采用相變量法，根據(jù)轉(zhuǎn)子位置用分段線性表示感應(yīng)電動(dòng)勢。由于稀土永磁材料的磁導(dǎo)率很低，轉(zhuǎn)子的磁阻很高，其影響可忽略不計(jì)。此時(shí)，無刷直流電動(dòng)機(jī)的三相定子電壓的平衡方程式可用下列狀態(tài)方程表達(dá):

式中:uA、uB、uC為三相定子電壓;eA、eB、eC為三相定子反電動(dòng)勢;LAB、LAC、LBA、LBC、LCA、LCB為三相定子間互感;p為微分算子。

由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)決定了在一個(gè)360°電角度內(nèi)(機(jī)械上為一對磁極距)，轉(zhuǎn)子的磁阻不隨轉(zhuǎn)子位置變化而變化，并假定三相對稱，則有:

所以式(1)可改寫:

又因?yàn)槿鄬ΨQ電機(jī)中存在iA+iB+iC=0，所以MiA+MiB+MiC=0，故式(2)整理:

其等效電路如圖1所示。

圖1 無刷直流電動(dòng)機(jī)等效電路圖

電磁轉(zhuǎn)矩方程:

式中:ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度。

為了產(chǎn)生恒定的電磁轉(zhuǎn)矩，在每個(gè)半周期內(nèi)，方波電流的持續(xù)時(shí)間為120°電角度，梯形波反電勢的平頂部分要120°電角度以上，兩者應(yīng)嚴(yán)格同步。理想情況下，任何時(shí)刻定子繞組只有兩相導(dǎo)通，設(shè)每相感應(yīng)電動(dòng)勢為e，則電磁轉(zhuǎn)矩:

式中:e為定子繞組各相反電勢;i為定子繞組各相電流。

又因?yàn)?

可以看出無刷直流電動(dòng)機(jī)的感應(yīng)電動(dòng)勢與轉(zhuǎn)速成正比。式(6)代入式(5)，電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式可化為:

由式(7)可以看出，電磁轉(zhuǎn)矩大小與電流幅值大小成正比，所以控制逆變器輸出方波電流的幅值即可控制無刷直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩。

把整個(gè)電機(jī)當(dāng)作一個(gè)整體，則有:

式中:u為電機(jī)電壓，Req=2R，Leq=2(L－M)。

轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程:

式中:TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;B為粘滯阻尼系數(shù);J為轉(zhuǎn)子及負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)一般采用電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)三環(huán)控制結(jié)構(gòu)。速度環(huán)用來控制速度，其輸出為電機(jī)相電流給定值，采用本文所提出的變結(jié)構(gòu)控制器;電流環(huán)用來控制電機(jī)的電流，提高電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)性能，防止電機(jī)過流;位置環(huán)主要是實(shí)時(shí)采樣轉(zhuǎn)子位置信號(hào)，為電機(jī)換相提供依據(jù)，同時(shí)可以計(jì)算得到電機(jī)轉(zhuǎn)速。

無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)控制原理結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 控制原理框圖

2.1 PID趨近率設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)控制就是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)穿越狀態(tài)空間不同連續(xù)曲面時(shí)，控制器將按一定規(guī)律發(fā)生變化，使得控制系統(tǒng)對被控對象的內(nèi)在參數(shù)變化和外部擾動(dòng)具有一定適應(yīng)能力，從而保證系統(tǒng)性能達(dá)到期望指標(biāo)要求，其實(shí)質(zhì)是一種非線性魯棒控制。

滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)主要包括兩個(gè)方面的內(nèi)容:(1)根據(jù)對動(dòng)態(tài)特性的要求，選取合適的滑模面;(2)設(shè)計(jì)確定的控制率，使滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)漸近穩(wěn)定并具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

變結(jié)構(gòu)控制雖然對系統(tǒng)參數(shù)及擾動(dòng)不敏感，具有很強(qiáng)的魯棒性，但其存在抖振問題，解決這一問題關(guān)鍵在于在到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)之前所采用的趨近率。本文采用一種PID趨近率來減小變結(jié)構(gòu)控制的抖振及到達(dá)滑模面時(shí)間。

設(shè)滑模面:

式中:c=［c1，c2，…，cn－1，1］，x=［x1，x2，…，xn］T，為系統(tǒng)狀態(tài)變量。穩(wěn)態(tài)時(shí)我們期望s為0，即s*=0。同一般反饋控制一樣，設(shè)誤差es=s*－s=－s，則滑模面PID趨近率:

即:

對式(11)兩邊求導(dǎo)得:

式(11)是一個(gè)二階微分方程，其特征方程:

式(12)有一對共軛復(fù)根，則式(12)的解:

式中:s(0)為初始狀態(tài)，由式(13)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)按指數(shù)衰減振蕩規(guī)律趨近滑模面。令式(13)等于0，則可得第一次到達(dá)滑模面的時(shí)間:

由式(14)可以看出，只要PID參數(shù)確定，其到達(dá)滑模面的時(shí)間也是確定的。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

即:

設(shè)切換函數(shù):

系統(tǒng)為進(jìn)入滑模面之前，按前面所提出的PID趨近率來設(shè)計(jì)切換控制量。由式(10)和式(17)可得:

式中:ueq為系統(tǒng)進(jìn)入滑模面后的等效控制量。

3 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證控制策略的可行性及其性能，對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真及實(shí)驗(yàn)，圖2為在MATLAB/Simulink中搭建了無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服控制系統(tǒng)仿真模型。仿真參數(shù):無刷直流電動(dòng)機(jī)額定電壓36 V，額定轉(zhuǎn)速nN=3 600 r/min，反電動(dòng)勢系數(shù) Ke=0.065 V·rad·s－1，Leq=1.336 mH，轉(zhuǎn)矩系數(shù) KT=0.071 2 N·m/A，相電阻R=0.35 Ω，忽略粘滯阻尼系數(shù) B。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=1.543 ×10－5kg·m2。PWM 控制策略采用PWM_ON_PWM調(diào)制方式。PWM_ON_PWM可以完全消除非換相期間非導(dǎo)通相上的二極管續(xù)流現(xiàn)象。與采用傳統(tǒng)PWM調(diào)制方式相比，在相同的開關(guān)頻率和開關(guān)損耗下，改善電流波形，減小電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，尤其在中低速區(qū)域?qū)偟碾姶呸D(zhuǎn)矩脈動(dòng)情況具有明顯的改善作用，從而增加電機(jī)運(yùn)行的平穩(wěn)性［4］。圖3～圖5給出了仿真波形，圖6～圖8給出了基于TMS320F2812控制平臺(tái)的無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)波形。

圖3 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖4 速度跟蹤響應(yīng)曲線

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩波形

圖3給出了轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，速度給定1 500 r/min，并且在30 ms時(shí)突加擾動(dòng)負(fù)載。由圖可以看出，采用本文的變結(jié)構(gòu)速度控制器后，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，基本無超調(diào)，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)無靜差。突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)能夠快速跟蹤響應(yīng)，消除擾動(dòng)對轉(zhuǎn)速的影響。

為驗(yàn)證控制器的跟蹤性能，將一正弦波作為速度給定信號(hào)，幅值為±1 000 r/min，頻率為0.1 Hz，且在20 s時(shí)將電樞電阻R突然增大到0.4 Ω。圖4給出了跟蹤響應(yīng)曲線，其中實(shí)線部分是速度指令，虛線部分是實(shí)際跟蹤的速度。由跟蹤曲線可以看出，系統(tǒng)可以快速而準(zhǔn)確地跟蹤給定速度，保持相位誤差接近零，同時(shí)幅值一致;系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)跟蹤性能基本不受影響，跟蹤控制精度較高，魯棒性較強(qiáng)。

圖5給出了在速度指令不變的情況下，系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)矩波形。由圖5可以看出，在換相時(shí)及不換相期間轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)都很小，保證了轉(zhuǎn)速響應(yīng)的平穩(wěn)性。

圖6給出了系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)電機(jī)線電壓波形，波形基本呈梯形。圖7給出了電機(jī)相電流波形，間隔60°呈正負(fù)交替矩形波，電流基本平穩(wěn)，脈動(dòng)小。無刷電動(dòng)機(jī)換相過程引起電流波形中間有突變，但抖動(dòng)較小。

系統(tǒng)通過DSP捕獲單元捕獲無刷直流電動(dòng)機(jī)位置信號(hào)，并計(jì)算轉(zhuǎn)速，通過控制板卡上的DA轉(zhuǎn)換器輸出與轉(zhuǎn)速成正比的電壓信號(hào)。圖8給出了轉(zhuǎn)速信號(hào)波形，由圖8可以看出，正常運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)，基本無脈動(dòng)。當(dāng)突然增加轉(zhuǎn)速給定時(shí)，轉(zhuǎn)速跟蹤速度快，超調(diào)小，整個(gè)調(diào)節(jié)過程大約6 ms，轉(zhuǎn)速再次平穩(wěn)，這與圖3的仿真曲線是一致的。

圖6 線電壓波形

圖7 電機(jī)相電流波形

圖8 電機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)波形

4 結(jié) 語

本文根據(jù)電路基本定律建立了無刷直流電動(dòng)機(jī)基本數(shù)學(xué)模型，無刷直流電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變及負(fù)載擾動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)跟蹤性能和魯棒性。針對這些問題，本文提出了一種PID趨近率的變結(jié)構(gòu)控制策略，使得切換函數(shù)到達(dá)滑模面的時(shí)間是確定的，且該算法簡單易于實(shí)現(xiàn)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，基本無超調(diào)，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)無靜差。在突加給定以及存在負(fù)載擾動(dòng)及參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)能夠快速跟蹤響應(yīng)，消除擾動(dòng)對轉(zhuǎn)速的影響，跟蹤性能基本不受影響，表明了本文所提出的方案是有效的，跟蹤控制精度高、魯棒性強(qiáng)。

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