行波超聲波電動機混沌建模與分析

李文娟，史敬灼

(河南科技大學，河南洛陽471003)

0 引 言

混沌是一類典型的非線性運行狀態，普遍存在于鼠籠式異步電動機、同步磁阻電動機、無刷直流電動機等電磁電機驅動控制系統中。對電機系統的混沌運行進行研究，從一個新的角度認識這一非線性現象，有助于維持電機系統的穩定運行，亦可為混沌運動控制提供必要基礎。

作為一種基于逆壓電效應實現機電能量轉換的特種電機，超聲波電動機的運行機理完全不同于傳統的電磁電機，并具有一些獨特的性能特點，這使它不僅已經應用于家用電子、微型機器人、航天等領域，而且在其它眾多運動控制領域有著廣闊的應用前景。由于包含壓電能量轉換、摩擦能量傳遞等非線性過程，超聲波電動機表現出強非線性和強耦合性。文獻［1］的研究已驗證了超聲波電動機中存在混沌行為。為了分析超聲波電動機本身的混沌特性，確定其混沌區域，從而抑制電機的混沌行為，還需要建立一個能夠用來對超聲波電動機混沌運行狀態進行分析的電機模型。

本文針對Shinsei USR60型行波超聲波電動機，采用自制的驅動控制電路，分析了超聲波電動機系統的混沌運行狀態。為了分析超聲波電動機系統是否存在混沌特性，本文根據理論分析建立了超聲波電動機轉速控制系統的混沌分析模型，調節電壓幅值－轉速控制器參數來研究超聲波電動機的運行特性。通過仿真，獲得了電機轉速相對于控制參數的Lyapunov指數譜、分岔圖及電壓相對于轉速的軌跡圖，結果表明行波超聲波電動機在一定工作情況下將呈現出混沌運動，并給出了混沌運動區域對應的控制參數取值范圍。

1 行波超聲波電動機的混沌分析模型

超聲波電動機的運行涉及兩部分相互聯系的能量轉換過程。一是在電機定子內部，由壓電陶瓷利用逆壓電效應將外加電能激勵轉換為定子的微幅機械振動;二是在定子和轉子的接觸面上，利用摩擦作用將定子表面質點振動的機械能轉換為轉子的旋轉運動。因此，相互作用的定子振動模型和定、轉子接觸模型是超聲波電動機非線性模型的兩個主要環節。

超聲波電動機的基本動力學模型［2］:

式中:M為定子模態質量矩陣;D為定子振動阻尼矩陣;C為模態剛度矩陣;q為定子模態坐標矩陣;mr為轉子質量;w為定子表面到中性層的距離;Fz為定子對轉子的軸向壓力;FN為預壓力，dz為電機軸向阻尼系數;ω為轉子角速度;TR為輸出轉矩;TL為負載力矩;J為轉動慣量。Fd為轉子對定子的模態力矩陣:

式中:Fdn為轉子對定子的法向模態力;Fdt為轉子對定子的切向模態力。

由于超聲波電動機具有強耦合性，定子對轉子產生作用力的同時，轉子也會產生對定子的作用力，下面來計算轉子對定子的模態力矩陣Fd。令:

則轉子對定子的法向模態壓力:

轉子對定子的切向模態壓力:

令:

式中

將式(6)、式(7)、式(8)代入式(5)，得:

由式(2)、式(4)、式(5)，得:

至此，建立起了超聲波電動機的混沌分析模型，編寫程序就可實現仿真計算。由于超聲波電動機工作頻率高，計算中取步長為1×10－6s。

2 行波超聲波電動機轉速控制系統混沌分析

本文對圖1的轉速控制系統進行混沌分析。超聲波電動機有驅動電壓幅值、頻率、相位差等三個可控變量。考慮到改變頻率可得到較寬的調速范圍，而改變電壓幅值能得到較高的調速精度，但調速范圍有限，該系統采用頻率和電壓幅值兩個控制變量對轉速進行控制，設計了兩個可互相切換的轉速控制器。電壓－轉速控制器通過調節電壓幅值來實現對轉速的控制，用于轉速誤差較小情況下的精細調速，輸出控制量為電壓幅值的給定值;頻率－轉速控制器則以電機驅動頻率為控制量，用來對轉速進行大范圍調節。為實現對電機兩相驅動電壓幅值的有效控制，圖1系統還包含電壓幅值閉環控制器，作為電壓－轉速控制的內環控制器。

圖1 超聲波電動機轉速閉環控制結構框圖

由于超聲波電動機運行特性的限制，驅動電壓幅值的調節存在上、下限值。超過上限值，電機定子壓電陶瓷片可能損壞;低于下限值，電機會突然停轉。圖1中的“限幅”環節用來限制電壓幅值的給定值在合理范圍內。系統中，電壓－轉速控制器和頻率－轉速控制器均采用PI(比例積分)控制，電壓幅值控制器為P(比例)控制［3］。電壓幅值控制器輸出為PWM占空比，通過PWM信號發生器給出PWM控制信號作用于H橋驅動電路，驅動電路實現逆變電壓放大功能，輸出高頻高幅的驅動電壓給超聲波電動機。在仿真分析中，為了突出超聲波電動機的運行特點，將PWM信號發生器和驅動電路等效為一個比例環節KD，與電壓幅值控制器的比例環節KV一同并入轉速PI控制器中的比例環節，于是得到系統仿真框圖如圖2所示。

圖2中，頻率－轉速控制器與圖1完全相同，輸出為電機驅動頻率值。仿真過程中，保持頻率－轉速控制器參數和電壓－轉速控制器的比例系數不變，調節電壓－轉速控制器積分系數KI進行轉速階躍響應仿真，得到不同KI時的電機驅動電壓和轉速變化波形。隨后，采用互信息量法和Cao法計算延遲時間τ和最小嵌入維數m，進而用最小數據量法計算轉速變化波形的最大Lyapunov指數［4］，得到轉速相對KI的分岔圖，并對系統的運動特性進行分析以確定其混沌區域。

圖2 超聲波電動機轉速控制系統仿真框圖

在［1，20］范圍內調節KI，仿真得到Lyapunov指數譜圖和分岔圖，如圖3所示。由于在轉速周期1行為過程中，一個周期內有兩個極大值，所以在分岔圖中表現出兩個分支。表1給出了系統狀態與KI取值之間的對應關系。圖3中當 KI≤14.22時，Lyapunov指數均為負值，并且在分岔圖中可以看出，該區域中轉速表現為固定點和周期1運動。當KI＞18.2時，Lyapunov指數均為正數，系統表現出混沌行為，且轉速波動幅度較大。而在14.22＜KI≤18.2區域中，Lyapunov指數主要為正數，但是存在Lyapunov指數為負數的小區域，如表1所示。

圖3 轉速相對于KI的分岔圖及Lyapunov指數

表1 超聲波電動機周期運動和混沌運動區域

這種現象反映出超聲波電動機運動特性的復雜性。由于該區域中系統表現出周期行為的小區域比較分散且范圍窄，所以在分岔圖中該區域的周期行為不明顯。

由表1 可知，在區域17.72 ＜KI≤18.2 內，超聲波電動機轉速表現為周期3運動。李天巖和Yorke J指出，只要3周期點存在，就有一切周期點存在，即周期3意味著混沌［5］。此觀點進一步證明了超聲波電動機運行過程中會表現出混沌特性。當KI=17.82時，輸出電壓峰峰值時域波形及相電壓對于轉速的軌跡如圖4和圖5所示。

圖4 KI=17.82 時，輸出電壓峰－峰值

圖5 KI=17.82 時，電壓相對于轉速的軌跡

圖6和圖7為KI=15.02時的仿真波形。很明顯，轉速、電壓和轉矩均出現了貌似隨機而有界的不規則行為，電壓相對轉速的軌跡、正的Lyapunov指數和系統的分岔圖均表明控制系統表現出了混沌行為。電機處于混沌狀態時，轉速限定在有限范圍［49.92 r/min，50.07 r/min］之內，電壓限定在［200 V，345 V］之內。

圖6 KI=15.02 時，輸出電壓峰峰值

圖7 KI=15.02 時，電壓相對于轉速的軌跡

3 結 語

本文根據超聲波電動機的運行機理，通過理論分析，建立了超聲波電動機轉速控制系統的混沌分析模型。采用該模型對系統進行不同控制參數情況下的動態運行過程分析，表明了兩相行波超聲波電動機混沌運行的復雜性，這主要源于超聲波電動機運行機理的復雜性。同時，給出了控制參數取值范圍與混沌運動區域之間的對應關系，為進一步的混沌控制研究提供了必要基礎。

［1］ 史敬灼，李文娟.基于相空間重構的兩相行波超聲波電機混沌運行分析［J］.微特電機，2011，39(3):14－16.

［2］ Mass J，Ide P，Frhleke N，et al.Simulation model for ultrasonic motors powered by resonant converters［C］//Conference Record of the 1995 IEEE Industry Applications Society 30th Annual Meeting.Orlando，USA，1995，3:111 －120.

［3］ 王海彥，史敬灼.基于CPLD的超聲波電機H橋相移PWM控制［J］.電氣自動化.2009，31(2):48－50.

［4］ 呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時間序列分析及其應用［M］.武漢:武漢大學出版社，2002.

［5］ Li T Y，Yorke J A.Period three implies chaos［J］.The American Mathematical Monthly，1975，82(10):985－992.