兩大部類產品價值構成的拉格朗日乘數(shù)法之解

陶為群

（中國人民銀行 南京分行,南京 210004）

0 引言

馬克思的社會擴大再生產理論對我國的國民經濟運行具有重大現(xiàn)實指導意義。兩大部類產品的價值構成,即生產資料與消費資料部類產品的價值構成,是再生產實現(xiàn)過程中非常重要的參數(shù)。科學地獲取這些參數(shù)值，是將馬克思的再生產理論應用于現(xiàn)實的前提條件。由于兩大部類是理論化分類而非現(xiàn)實統(tǒng)計，所以只能根據投入產出表推算兩大部類產品的價值構成等參數(shù)。陶為群曾提指出，《投入產出分析》教材和工具書所介紹的推算產品價值構成的單一方法，可以歸結到UV表方法框架中，并且提出了在UV表框架下按產品工藝假定的另一種推算方法，用非線性規(guī)劃得出新方法的推算結果，但未能給出此新方法下價值構成參數(shù)的顯性算式。陶為群、陶川（2010）給出了按此新方法的兩大部類產品價值構成的極大似然估計顯性算式和實際算例。但是，他們在推算過程中沒有考慮到馬克思社會再生產原理指出的兩部類間產品交換關系，因而所獲結果還有待加以改進。

1 一種在UV表方法框架中推算兩大部類價值構成的新方法和算式

UV表方法是編制投入產出表時普遍使用的一種間接推導法。設國民經濟中有n個部門，每個部門都生產多種產品，它們共生產k種產品。在統(tǒng)計時，只能獲得每個部門對k種產品的消耗投入和產出數(shù)據，也就是獲得產品×部門表U表，和部門×產品表V表。要通過U表和V表推導出按部門或按產品的投入產出表，也就是部門×部門或產品×產品投入產出表。馬克思的再生產理論把具體的多種產品按基本用途分為生產資料和消費資料兩類，即第Ⅰ、第Ⅱ部類，兩大部類產品的價值構成類似于概括的兩類產品投入產出表。兩類產品都是由國民經濟中n個生產部門所生產，也可以看做是由k種產品部門所生產。因而，可以通過統(tǒng)計獲得的n個生產部門或k種產品部門的價值構成表，以及生產部門或產品部門的兩類產品產出數(shù)據，推導出兩大部類產品的價值構成。更確切地說，是運用價值構成×生產部門表或價值構成×產品部門表（U表），以及生產部門×兩類產品表或產品部門×兩類產品表（V表），按照某種假定條件，推導出價值構成×兩類產品表。所以，推算兩大部類產品的價值構成，實質上是將一般的UV表方法，運用到馬克思的社會再生產理論的一些具體內容，獲得具體的理論結果。

記國民經濟中第j生產（或產品）部門的總產出（或總產品）是Uj（j=1，2，…,n或j=1，2，…,k）；uc j，uv j，um j分別是該部門生產中的生產資料消耗、工資支出、剩余價值，也就是該部門的價值構成。pjΙ，pjΙΙ分別是該部門生產出的第Ⅰ、第Ⅱ部類產品。國民經濟各部門生產出的第Ⅰ、第Ⅱ部類產品分別是XΙ，XΙΙ；Cl，Vl，Ml分別是第l部類（l=Ι,ΙΙ）的生產資料消耗、工資支出、剩余價值，也就是該部類產品的價值構成。現(xiàn)在要運用統(tǒng)計獲得的國民經濟各部門的價值構成，以及它們的第Ⅰ、第Ⅱ部類產品產出數(shù)據，推算出兩大部類產品的價值構成。由于馬克思的再生產模型中生產資料消耗包含了固定資產折舊消耗，因而推算時需要把j部門的固定資產折舊納入到uc j之中。

當遵照產品工藝假定，運用n個生產部門的價值構成表，以及它們的兩類產品產出數(shù)據，推算兩大部類產品的價值構成，算式如下：

2 推算兩大部類產品價值構成應當遵從的兩部類產品交換約束條件

馬克思的再生產模型中設不變資本的周轉周期為1年，這相當于把固定資產折舊計入到生產資料消耗里。對前面已經確定了含義的字母前面加符號Δ表示增量。因為第Ⅰ部類的總產品（CΙ+VΙ+MΙ）實物形態(tài)是生產資料，扣除補償本部類和第Ⅱ部類的生產資料消耗CΙ和CΙΙ，剩余的（VΙ+MΙ-CΙΙ）都必然用于本部類和第Ⅱ部類新增生產資料ΔCΙ和 ΔCΙΙ。因此就存在關系式：

馬克思在《資本論》中已經指出，這種補償和新增使用，是經過部類內部以及兩個部類之間的產品交換（交易）完成。馬克思還特別指出：第Ⅰ部類的總產品當中的工資支出和剩余價值中用于企業(yè)主消費和新增工人工資部分，要轉化為消費資料；第Ⅱ部類的總產品當中的生產資料消耗和新增生產資料部分，要轉化為生產資料；這兩個轉化通過相互等價交換實現(xiàn)。而（2）式所表達的，是與馬克思特別指出的兩個部類之間相互等價交換同樣的含義。

在核算統(tǒng)計上，投資是國內生產總值當中沒有被消費掉的部分，由于馬克思的再生產模型中，固定資產折舊計入到生產資料消耗里，當年新創(chuàng)造價值（VΙ+MΙ）+（VΙΙ+MΙΙ）對應于統(tǒng)計上的國內生產凈值；新增生產資料ΔCΙ+ΔCΙΙ是凈投資，對應于統(tǒng)計上的資本形成凈額。而在推算兩大部類產品的價值構成時，投入產出表當中的資本形成凈額是一個已知數(shù)，用IN表示，由（2）式，就得出推算兩大部類產品的價值構成時的一個約束條件：

根據投入產出表推算兩大部類產品的價值構成，應當滿足由于兩部類產品交換而產生的這個約束條件，理論上才符合馬克思的社會再生產原理。

3 兩大部類產品價值構成的拉格朗日乘數(shù)法之解

下面遵照產品工藝假定，按照(1)式推算兩大部類產品的價值構成，并且滿足約束條件(3)式。按照(1)式推算兩大部類產品的價值構成，還應該與統(tǒng)計到的社會總產品價值構成一致，與統(tǒng)計到的第Ⅰ、第Ⅱ部類產品總量一致。即還滿足約束條件：

在產品工藝假定下推算兩大部類產品的價值構成，就是對(1)、（3）和(4)式共同構成的方程組，求解其中的6個價值構成參數(shù)變量。方程組有3n個方程、5個約束條件，方程個數(shù)加上約束條件個數(shù)超過了待解變量數(shù)，因而只能有最小二乘解。所以，記（1）式各方程左右兩邊的離差平方和為Z。則：

應當在約束條件(3)和(4)式下使離差平方和Z取得最小值，就是一個解條件極值問題。運用拉格朗日乘數(shù)法，構造拉格朗日函數(shù)Q：

現(xiàn)在以矩陣形式表示，記

那么，約束條件（3）和（4）式在一起可以表示成矩陣關系式

將拉格朗日函數(shù)Q依次對參數(shù)求偏導數(shù)，并令偏導數(shù)等于0，依次得到6個方程，合在一起可以表示成矩陣關系式：

只要各部門產出矩陣P的兩列不成倍數(shù)關系，由上式就可以得出:

帶入（7）式得:

由此解出拉格朗日乘數(shù)列向量：

帶入（9）式，就獲得參數(shù)列向量β的計算值：

由于分塊對角矩陣的逆矩陣也是分塊對角矩陣，所以上式中的計算并不復雜。式中:

式（11）中的各個分量，就是在滿足兩部類產品交換約束條件下，推導出的顯性的兩大部類產品價值構成的拉格朗日乘數(shù)法之解。對此，可以使用Excel工具方便地解出具體數(shù)值。

4 實際算例及結果分析

下面使用《全國投入產出表1981（試編）》中有關數(shù)據,計算出兩大部類產品價值構成的拉格朗日乘數(shù)法之解。選用該表數(shù)據的原因是,表中明確列出了各部門產出當中的生產資料pjΙ和消費資料pjΙΙ數(shù)據，能夠避免用不考慮進出口的數(shù)據粗略確定pjΙ和pjΙΙ而導致的推算偏差。表1上部的數(shù)據，是該投入產出表中統(tǒng)計的國民經濟各部門的投入價值構成和產出生產資料與消費資料數(shù)據；表1下部是用以上數(shù)據按照本文的拉格朗日乘數(shù)法之解，推算的兩大部類產品價值構成。其中，當年最終產品合計是4351.66億元，消費合計是2781.46億元，固定資產折舊合計是411.46億元，所以資本形成凈額即（3）式中的IN應當是最終產品減去消費和固定資產折舊，為1158.8億元。經驗證，拉格朗日乘數(shù)法之解滿足約束條件(7)式。

表1 1981年全國各部門產品價值構成與兩大部類產品價值構成的拉格朗日乘數(shù)法之解

為了觀察兩個部類之間的產品交換約束條件對于推算結果的作用，現(xiàn)在對表1最后兩行的差別，做點簡要的比較分析。在部類間交換約束條件（3）式和約束條件（4）式下，生產資料的有機構成是(CΙ/XΙ):(VΙ/XΙ)=3.3852:1；消費資料的有機構成是 (CΙΙ/XΙΙ):(VΙΙ/XΙΙ)=0.5762:0.2919=1.9740:1；生產資料的有機構成顯著高于消費資料,符合經濟學原理和人們的一般感性認識。這是因為生產資料生產的資金與技術明顯比消費資料生產密集。如果未遵從部類間交換約束條件，也就是丟掉部類間交換約束（3）式而僅使用約束條件（4）式，同樣應用拉格朗日乘數(shù)法，求解出的生產資料的有機構成就變?yōu)?.5531:0.1747=3.17:1，而消費資料的有機構成就變?yōu)?0.5828:0.3002=1.94:1，生產資料與消費資料的有機構成差異性降低。這說明，馬克思社會再生產原理指出的兩部類間產品交換關系，對于推算兩大部類產品的價值構成在理論上是必要的，在數(shù)據結果上也確實有改進作用。

[1]陶為群,陶川.兩大部類產品價值構成的約束極大似然估計[J].西安財經學院學報，2010,(4).

[2]姚天行等.大學數(shù)學[M].北京:科學出版社,2002.

[3]因特里格特等.經濟計量模型、技術與應用[M].北京:中國社會科學出版社,2004.