中國通貨膨脹預測：基于AR和VAR模型的比較

張衛平

（復旦大學 經濟學院，上海 200433）

0 引言

通貨膨脹率是宏觀經濟最重要的指標之一。對通貨膨脹率做出準確可靠的預測不僅是政府政策部門和中央銀行宏觀經濟決策的重要依據，而且也是企業和居民經濟活動以及預期形成的重要參考。隨著計量經濟學在時間序列方面的發展，已經有了一系列可以選擇的模型來預測通貨膨脹。在形形色色的模型當中，究竟哪類模型對通脹的預測更加準確呢？考慮一定“結構”的模型能夠勝過簡單的隨機游走式的預測嗎？貨幣量或者GDP（名義的或者實際的）可以改善通脹的預測精度嗎？這些問題，都是關于通貨膨脹預測有待尋求答案的問題。

本文將利用中國1996Q1～2010Q2的季度數據，分析兩類最基本的時間序列模型——AR模型和VAR模型在預測中國通脹上的表現，以彌補國內研究的不足。我們重視基本模型，是因為，既然連最簡單的隨機游走模型都有可能在通脹預測方面擊敗其他復雜模型，我們沒有任何理由忽視簡單的基本模型的預測能力。有關通貨膨脹預測的實證研究有必要回歸簡單的基本模型，認真和系統地分析它們對通貨膨脹的預測能力，而不是僅僅偏好復雜的“花哨”模型。

1 模型預測能力的評價標準

本文用πt表示季度通貨膨脹率（年率），即πt=400ln，其中，P為CPI定基指數。用表示到t期為止前h期的平均通脹率（年率），即用πt+h|t表示在t期對t+h期通脹πt+h的預測，用表示在t期對t+1到t+h期共h期的“平均通貨膨脹率”的預測。當h=1時，；當h＞1時，可以有兩種方法得到樣本為T的樣本外預測一種是直接法，即直接把作被解釋變量建立模型，直接通過模型方程計算另一種是間接法，即把πt+1做被解釋變量建立模型，在得到1步向前樣本外預測πT+1|T之后，可以通過迭代方法得到樣本T之外其它期的預測πT+s|T，s＞1。然后計算πT+1|T到πT+h|T共h期的平均值，即可得到本文采用第二種方法。

本文利用樣本外預測表現來作為評價模型預測能力優劣的標準。在整個樣本區間通過一定的方法構造多個子樣本，對每個子樣本，都可以對給定模型的參數進行估計，并利用模型對子樣本外的觀測進行預測，然后比較該預測值與該子樣本外觀測的真實值。為了評估某類模型的預測能力，我們將考慮該模型下所有子樣本集合的預測值與真實值之間的“平均”誤差。

對時間序列數據而言，有兩種較為常用的構造子樣本的方法：迭代法和滾動法。迭代法固定樣本窗口左邊界，并通過移動窗口右邊界來改變樣本；滾動法固定樣本窗口的寬度，通過移動窗口的位置（同時改變窗口的左邊界和右邊界）來構造不同的樣本。本文將同時考慮兩種方法。每種方法下，當窗口右邊界從t1移動到t2時，我們可以得到（t2-t1+1）個預測值，然后計算均方根誤（RMSE），其數學形式為

本文通過比較不同模型的RMSE來比較不同模型的預測能力。

2 模型選取、估計以及預測方法

我們認為在研究清楚“簡單”模型對中國通脹的預測方面的表現之前，放棄較為復雜的模型是研究的正常道路。本文做出的這種模型選擇除了是因為這兩類模型是非常基本和重要的時間序列模型之外，也是因為它們通常被認為是預測效果較好的模型，而且易于進行參數估計（只需要線性優化，比如最小二乘，而不需要非線性優化方法）。借助于這兩類模型，本文試圖回答如下問題：（1）AR類模型和VAR類模型在預測中國通貨膨脹方面，是否能夠勝過簡單隨機游走模型么；（2）引入其他變量的VAR模型能否改善單變量AR模型的預測效果么；（3）VAR模型中，引入不同變量的預測效果有什么差異，什么變量的效果最好；（4）在這兩類模型中，哪種具體形式的模型在通脹預測方面表現最好。

除了AR和VAR模型外，本文在實證部分對各種模型的預測能力進行比較和評價的過程中，采用的基準預測模型是最為簡單的隨機游走模型，即下期通脹預測值就等于當前期的通脹率，對于本文的季度數據而言，即

下面，我們對AR和VAR模型進行簡要的說明，并對后文實證部分用到的的參數估計和變量預測方法進行簡要的描述。

2.1 AR模型：設定、估計和預測

本文考慮的第一類模型為AR模型，它的形式如下

其中πt為通貨膨脹率，本文選擇的是剔除了季節性的定基比的消費者價格指數的對數差分；πt-1,…,πt-p是滯后1期到滯后p期的通貨膨脹率；ut為t期的擾動項；a1,…,ap為p個AR參數，a0為常數項。

對式的估計可以用最小二乘（OLS）法，即對每個給定的用于參數估計的子樣本，我們把前p個觀測用于構造πt-1,…,πt-p，剩余的部分作為被解釋變量，用π表示。假定數據長度為T，時間起止為[t1,t2]。令Z=[πt-1,，它是(T×p)維矩陣。用（p+1）維列向量a表示參數集合，那么參數a的OLS估計量為

由于本文關注的只是各種模型預測的樣本外表現，不涉及單個預測的標準差問題，所以這里不討論擾動項ut的分布假定或者參數估計量的分布。給定子樣本，得到參數的估計值之后，可以形成對該子樣本之外的一步預測，即對第一個通貨膨脹率πt2+1的預測，其值為

通過遞歸方法，可以得到2步預測πt2+2|t2，3步預測πt2+3|t2，……，直到h步預測πt2+h|t2。根據前文，我們可以根據1步到h步的預測值計算在t2期對未來1至h期的通脹預測，并計算其與真實值的誤差。通過改變[t1,t2]區間，我們可以得到誤差序列，并根據式計算RMSE。對任何給定的p的具體模型，都可以計算該模型的RMSE。

2.2 VAR模型：設定、估計和預測

本文考慮的第二類模型為VAR模型，該模型自Sims(1980)以來，被廣泛應用于宏觀經濟中的實證研究，這里用它來考慮通貨膨脹預測問題。VAR模型的具體形式為

其中，π與上面討論的AR模型一樣，表示通貨膨脹率；A1,…,Ap為p個VAR參數矩陣；A0為常數項矩陣，（本文用符號“|”表示變量的串聯）為擾動項向量，其中et對應πt方程，vt對應xt，或者為標量或者為向量；x表示其他某個變量或者由其他變量組成的向量，本文考慮如下變量，名義GDP增長率（DNGDP）、實際GDP增長率（DRGDP）、貨幣供給增長率（DM0、DM1、DM2）、生產者價格指數衡量的通貨膨脹率（DPPI）。它們或單獨進入x，此時該變量和π構成兩變量VAR系統；或每次選取兩個進入x，此時該變量對和π構成三變量VAR系統。對于每個具體模型（包括滯后階數），我們都將進行參數估計、預測以及RMSE的計算。

用yt表示方程的左邊，即它為K維列向量。用表示方程右邊的擾動項向量，它也是K維列向量。采用Lütkepohl(2006)的符號表示方式：

模型可以寫為

參數A的OLS估計量為

同樣，這里不討論參數的分布。給定子樣本區間[t1,t2]，可以得到參數估計值，然后就可以對yt中的變量進行一步預測，即對yt2+1的一步預測為

yt2+1|t2的第一個元素即為通貨膨脹率的一步預測πt2+1|t2，同AR模型一樣，我們可以用遞歸方法計算2到h步預測，并得到t2期對未來1至h期的通脹預測，變動樣本，最終可以得到該具體VAR模型的RMSE。

3 數據及其簡單的統計性質

本文的全部變量的數據總樣本區間為1996Q1～2010Q2，數據頻率為季度。數據起點選擇1996年，是因為從1996年起，狹義貨幣M1和廣義貨幣M2正式成為貨幣政策的調控目標，這種統一的制度環境，使得我們在分析貨幣量是否有助于改善通脹預測時，可以避免受制度環境變化的影響；同時也便于在與單變量的模型進行比較時，有個統一的時間范圍，這使得我們不去分析更長時間范圍的單變量模型，即便CPI度量的通脹數據可以獲得更長的序列。我們用CPI指數計算得到的通貨膨脹率作為本文預測的對象。其中的CPI指數以2005年1月為基期，利用2005年其他月份的月度環比以及其他年份的月度同比，可以計算月度CPI定基指數；選取每個季度最后月份的月度CPI定基指數，可以得到季度CPI指數，用P表示，然后計算得到通貨膨脹率選取每季度最后一個月的貨幣量作為季度貨幣量數據，可以構造貨幣量增速利用季度的名義GDP數據可以構造名義GDP增速DNGDPt=400ln(NGDPt/另外，根據國家統計局公布的GDP實際同比增速，我們可以構造GDP定基比指數，根據此指數可以構造實際GDP增速全部數據均用X11方法剔除了季節性因素。對這些變量的簡單統計性質的描述見表1。

表1 簡單統計描述和ADF單位根檢驗

用CPI度量的通貨膨脹是否含有單位跟，是進行通貨膨脹預測首先會考慮到的問題。這將幫助我們決定，在構建通貨膨脹預測模型時，是直接對通貨膨脹本身建模，還是對一階差分后的通貨膨脹進行建模。另外，在本文考慮的VAR模型中，其他變量是否平穩也是我們關心的數據特征。表1最后一行給出了本文用到的變量的時間序列的ADF單位根檢驗的t統計量值。由于所有的時間序列都沒有明顯的確定的一階時間趨勢，所以檢驗都采取只含有常數項的檢驗形式，所有檢驗統計量的值均在1%的顯著水平上拒絕原序列含有單位根的零假設（本文沒有給出臨界值）。因此我們直接對通貨膨脹水平，而不是通貨膨脹的差分建模。

4 實證結果

圖1 AR模型在不同p和h下的相對RMSE

圖2 兩變量VAR模型在不同p和h下的相對RMSE（基于遞歸方法）

圖3 兩變量VAR模型在不同p和h下的相對RMSE（基于滾動方法）

圖4 三變量VAR模型在不同p和h下的相對RMSE（基于遞歸方法）

為了更清楚地說明在預測中國通貨膨脹方面，各種模型的預測能力，本文將分幾個方面來總結實證結果。我們首先考慮AR和VAR模型中選擇不同滯后階數p以及在不同預測期h上的表現；其次考慮兩變量和三變量VAR模型中，隨著x變量選取的不同，模型之間的預測能力的比較。圖1～圖5包含了本文全部實證結果的信息。圖6～圖8則是為了模型比較的方便，對實證結果從特殊視角的展示。所有的圖形橫軸坐標均表示h，即預測期，本文h的取值范圍為1～8，這相當于一個季度到兩年。縱軸坐標都是不同模型的RMSE的相對于參考模型的RMSE的比值，其中圖1～圖5參考模型為隨機游走模型，圖6、圖7參考模型為AR(1)，圖8參考模型為包含M1增速的兩變量滯后1階的VAR模型。

圖5 三變量VAR模型在不同p和h下的相對RMSE（基于滾動方法）

圖6 兩變量VAR模型x變量不同選擇下與AR（1）的相對RMSE

圖7 三變量VAR模型x變量不同選擇下與AR（1）的相對RMSE

圖8 三變量VAR與兩變量VAR模型的比較

4.1 不同滯后階數以及預測期的比較

從圖1～圖5可以看出，絕大部分具體形式的模型在絕大部分的預測期上都優于簡單的隨機游走式的預測，即縱軸的值大都小于1；而且預測期越長，AR或者VAR模型相對于隨機游走式的簡單預測的優勢就越明顯，即隨著h的增加，縱軸的值傾向于減少。大部分情況下，滯后階數越少，模型的表現越好，這符合AR和VAR模型在預測方面的一般特征。下面給出各個圖形其他方面的具體表現或者特殊情況。

圖1是單變量AR模型預測表現的匯總，其中左圖為遞歸方法下的結果，右圖為滾動方法下的結果。AR模型在預測未來一個季度的通脹上，對隨機游走模型的優勢并不明顯，左圖中只有AR(1)和AR(2)模型的RMSE略低于隨機游走模型的RMSE；右圖，所有1至4階的AR模型的表現均不如隨機游走模型。但在2～8個季度上，除了滾動方法下的個別形式的AR模型，包括AR(3)模型在h=2時的預測、AR(4)模型在h=2,3時的預測，剩余所有形式的AR模型的表現均優于隨機游走模型。

圖2和圖3是兩變量的VAR模型在遞歸方法和滾動方法下的表現。通貨膨脹π始終是兩個變量之一，兩變量的另一個變量x則有不同選擇。這里，含有名義GDP增速和實際GDP增速的模型表現稍微有些特殊，此時的VAR(4)雖然仍舊不如VAR(1)，但大部分情況下優于VAR(2)和VAR(3)，這有可能是因為產出對歷史產出的依賴性更強，也有可能是數據在進行季節調整時，調整過度或者不足②本文更多關注的是“典型”特征，對這種近似于個案的情況不做深入。。

圖4和圖5是三變量VAR模型在遞歸方法和滾動方法下的表現。π依然是三變量中必選的一個。另外兩個變量，一個是貨幣量增速（DM0或DM1或DM2），另一個是產出增速（DNGDP或DRGDP）。由于PPI信息在預測通脹方面較差的表現，我們在三變量VAR模型中，不考慮PPI度量的通脹率。總的來說，滯后1階的VAR表現最好。在基于遞歸方法下的結果中，VAR(4)雖大部分情況不如VAR(1)，但通常比VAR(2)和VAR(3)要好。

4.2 VAR中x變量不同選擇的比較

為了更清楚地比較VAR模型中x的不同選擇對模型預測能力的影響，我們只關注表現最好的滯后階數為1的模型。用圖6和圖7來分別比較兩變量VAR(1)模型和三變量VAR(1)模型各自內部的比較，與圖1～圖5不同，這里參考模型為AR(1)。用圖8來看在x為DM1時，引入DNGDP或者DRGDP的是否能進一步改善預測精度。

從圖6可以看出，引入額外的信息，未必會改善對通脹的預測。能否改善單變量中表現最好的AR(1)的預測精度，取決于所選變量是什么。如果x是DM1或DNGDP或DRGDP，那么該變量帶來的額外信息將有助于提高通貨膨脹的預測精度；反之，如果x是DM0或者DM2或者DPPI，那么引入額外信息，基本不會改善AR(1)的預測精度。如果一個擁有歷史通脹數據的人被允許可以另外選擇一個變量，以便對未來通脹做出預測，那么這個人會考慮他要預測多久的通脹，如果是未來一個季度，那么他最優的選擇是名義GDP或者實際GDP；如果是2～5個季度，那么最優的選擇是M1；如果更長期的，比如兩年，那么他的最好選擇是名義GDP；無論多長時期的通脹預測，額外擁有M0、M2或者PPI數據，不會幫助他得到基于歷史通脹數據本身得到的結果更好的預測。

從圖7可以看出，三變量模型中，M1的表現依然優于M0和M2，M1無論與名義GDP還是實際GDP組合，其中包含的信息對預測通脹而言，都是三種貨幣量中表現最優的。在與M1的組合中，另一個變量是名義GDP增速在大部分情況下要比另外一個變量是實際GDP增速要有更好的表現。

從圖6和圖7可以知道，單獨引入DM1的VAR模型，或者同時引入DM1和產出增速（DNGDP或DRGDP）的VAR模型，都可以改善僅借助于歷史通脹的AR(1)預測。我們很容易想到一個問題，即后者能夠進一步改善前者的預測精度嗎？圖8給出了這一問題在實證中的不甚清楚的答案。從圖中可以看出，基于遞歸方法和基于滾動方法，對這一問題的回答并是不一致的，前者傾向于肯定三變量模型，后者傾向于否定三變量模型。但可以看到，即便遞歸方法給出了某些情況下可以進一步改善的結果，改善的幅度也不高，尤其是2或者2個季度以上的預測，改善的幅度至多2%左右。

5 結論

本文沒有采用復雜模型，而是選取最為簡單和基本的AR以及VAR模型，來分析和比較它們在預測中國通貨膨脹的表現，以求彌補中國通脹預測方面研究的不足，并且得到了以下幾點結論：（1）通常，滯后階數較少的模型對通脹的預測準確度較高；（2）預測期越長，考慮一定“結構”信息的模型的預測表現越優于簡單的隨機游走式預測；（3）若只要引入一個變量作為額外信息，并且基于VAR模型進行預測，絕大多數情況下，M1增速、名義GDP增速和真實GDP增速都能改善僅僅依賴歷史通脹信息形成的預測，但M0增速、M2增速以及PPI通脹，均不能提高單變量的AR（1）模型的預測精度；（4）若引入兩個變量作為額外信息，并且基于VAR模型對通貨膨脹進行預測，絕大部分模型都能優于單變量的AR(1)模型，但相對含有M1增速的兩變量VAR(1)模型則沒有明顯的改進。

良好的中國通貨膨脹的預測，不僅可以為中國的貨幣政策制定提供“前瞻”依據，而且可以成為某些理論研究的實證材料。目前，中國通貨膨脹預測方面的研究程度與該問題本身的重要性很不相稱。本文雖然分析了時間序列模型當中最為重要和基本的兩類模型：AR和VAR模型，并得到了一定的結論。但仍有許多方面值得進一步的深入研究，比如，如何對季節性部分進行預測，考慮到通脹某種形式的非線性行為，考慮到通脹的條件異方差能否提高預測精度等等。另外，本文的模型比較僅僅利用了RMSE，沒有考慮其他的基于統計量的模型預測比較方法。這些都是值得進一步研究的問題。

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