假設(shè)檢驗功效的蒙特卡羅模擬

張建俠，鞠 銀

（1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471003;2.上海電機學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 200240）

1 假設(shè)檢驗的兩類錯誤

假設(shè)檢驗做出推斷的基礎(chǔ)是樣本，是一種不完全歸納推斷，盡管大多數(shù)情況下所作的推斷是正確的，但也總有可能做出錯誤的決策。所犯錯誤有兩類：一類是拒絕了實際上是成立的原假設(shè)H0，這類“棄真”的錯誤稱為第I類錯誤，其概率大小用α表示，記為：第二類是接受實際上不成立的原假設(shè)H0，這類“存?zhèn)巍钡腻e誤稱為第II類錯誤，其概率大小用β表示，記為：

在確定檢驗法則時，我們應(yīng)盡可能使犯兩類錯誤的概率都較小。但是，一般來說，在樣本容量固定時，若減少犯第一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率往往增大。若要使犯兩類錯誤的概率都減小，除非增加樣本容量。在給定樣本容量的情況下，一般來說，我們總是控制犯第I類錯誤的概率，使它不大于α，α的大小視具體情況而定。這種只對第I類錯誤的概率加以控制，而不考慮犯第II類錯誤的概率的檢驗，稱為顯著性檢驗。在一些實際問題中，我們除了希望控制犯第I類錯誤的概率，往往還希望控制犯第II類錯誤的概率。

對有些統(tǒng)計量，比如樣本均值，這兩類錯誤可以通過分析的方法得到[5]。然而，如果假設(shè)檢驗方法的總體的正態(tài)性假設(shè)不能滿足或者分析方法難以得到兩類錯誤的表達式，此時通過蒙特卡羅模擬來估計第I類和第II類錯誤便是一個很好的選擇。具體步驟如下。

算法1蒙特卡羅方法模擬計算第I類錯誤的步驟：

（1）確定在原假設(shè)成立條件下的總體服從的分布

（2）從總體中抽取樣本容量為N的樣本

（3）用臨界值方法進行假設(shè)檢驗

（4）確定第一類錯誤是否發(fā)生，也就是看是否拒絕原假設(shè)；記錄實驗的結(jié)果

（5）執(zhí)行第2步到第4步M次

在第6步中，實際上就是計算在M次試驗中犯第I類錯誤的比例，以此作為給定臨界值下檢驗顯著性水平的估計值。

算法2下面給出蒙特卡羅方法模擬計算第II類錯誤的步驟：

（1）確定在原假設(shè)不成立條件下的總體服從的分布

（2）從總體中抽取樣本容量為N的樣本

（3）用顯著性水平α和相應(yīng)的臨界值進行假設(shè)檢驗

（4）確定第二類錯誤是否發(fā)生，也就是看是否未拒絕原假設(shè)；記錄實驗的結(jié)果

（5）執(zhí)行第2步到第4步M次

由此，犯第二類錯誤的概率可由M次試驗中未拒絕原假設(shè)次數(shù)所占比率來估計。

值得注意的是，對假設(shè)檢驗中犯第II類錯誤的估計是通過對原假設(shè)不成立條件下分布的抽樣得到的，因此會有許多犯第II類錯誤的可能，所以在分析第II類錯誤時必須指明選取的被擇假設(shè)。

2 檢驗法的功效

眾所周知，衡量檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣由其功效決定，所以計算功效函數(shù)極為重要。為此，首先引入施行特征函數(shù)的概念。

定義 若C是參數(shù)θ的某檢驗問題的一個檢驗法

稱為檢驗法C的施行特征函數(shù)或OC函數(shù)，其圖形稱為OC曲線。

由定義知，若此檢驗法的顯著性水平為α，那么當(dāng)真值θ∈H0時，β(θ)就是做出正確判斷的（即H0為真時接受H0）的概率。故此時β(θ)≥1-α；而當(dāng)θ∈H1時，則β(θ)就是犯第II類錯誤的概率，而 1-β(θ)是做出正確判斷（即H0為不真時拒絕H0）的概率。函數(shù)1-β(θ)稱為檢驗法C的功效函數(shù)。當(dāng)θ*∈H1時，值1-β(θ*)稱為檢驗法C在θ*的功效，它表示當(dāng)參數(shù)θ的真值為θ*時，檢驗法C做出正確判斷的概率。

由功效函數(shù)定義可以看出，求功效函數(shù)就是求第I類和第I類錯誤；而兩類錯誤我們可以用蒙特卡羅方法模擬得到。

3 數(shù)值算例

假設(shè)檢驗的形式有左邊檢驗、右邊檢驗和雙邊檢驗三種，對應(yīng)的功效函數(shù)也有三種不同的情形。在此僅以下面“產(chǎn)品質(zhì)量抽驗方案”問題為例做出對功效函數(shù)的模擬，其他形式假設(shè)檢驗可類似由蒙特卡羅模擬得到。

解：檢驗問題可表示為：

H0:μ≤μ0，H1:μ＞μ0

且要求當(dāng)μ≥μ0+δ=140時能以1-β=0.95的概率拒絕H0。

在此例的假設(shè)下，給出功效函數(shù)的蒙特卡羅模擬，結(jié)果如圖1，圖2。

從模擬結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

(1)由圖1μ≤120時的圖像可知，實際上α=0.05是犯第一類錯誤的最大可能，這一最大值僅當(dāng)真實μ為原假設(shè)定義的μ0=120時達到。

(2)圖1也顯示功效函數(shù)取值與樣本容量有關(guān)，在其他檢驗條件保持不變，僅增加樣本容量，兩種錯誤類型的概率α和β同時減少。

圖1 μ取不同值時的檢驗功效

圖2 μ=140時檢驗功效與樣本容量

(3)從圖1可以看到參數(shù)的真值μ(μ＞μ0)在μ0附近時，檢驗法的功效很低。這表明，即便樣本容量N很大，要想對所有的μ∈H1控制犯第二類錯誤的概率都很小是不可能的。

(4)圖2得到不同樣本容量下μ=140時的檢驗功效值，可見在N=24或N=25時，功效函數(shù)取值已滿足例題的要求，這與分析方法得到的N≥24.35符合的非常好。

幾點說明：

①在以上模擬中，模擬次數(shù)均為M=10000；②限于篇幅，在此處沒有單獨給出假設(shè)檢驗兩類錯誤α,β的模擬結(jié)果及其與樣本容量N和模擬次數(shù)M的關(guān)系；③在此處僅以右邊檢驗為例給出了功效函數(shù)的蒙特卡羅模擬，但此處的模擬方法也適用于其他檢驗形式；在構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量分布函數(shù)未知的檢驗中，蒙特卡羅模擬方法仍然適用，此時還需要用模擬方法產(chǎn)生構(gòu)造的統(tǒng)計量的分位數(shù)以確定拒絕域。

本文給出了假設(shè)檢驗中兩類錯誤的蒙特卡羅模擬，不僅可以作為某些分析方法得到的兩類錯誤的實驗驗證；對分析方法難以得到顯示表達的兩類錯誤，也可直接模擬得到其近似值。檢驗功效是評價檢驗法檢驗效果的重要指標(biāo)，在統(tǒng)計分析中有重要應(yīng)用。本文以產(chǎn)品質(zhì)量抽驗方案為例給出了功效函數(shù)的蒙特卡羅模擬結(jié)果，本模擬方法也適用于無法得到功效函數(shù)顯示表達式的更復(fù)雜情況。總之，本題介紹功效函數(shù)的蒙特卡羅模擬可用于假設(shè)檢驗中樣本容量的確定，不同的檢驗法檢驗效果比較等統(tǒng)計分析問題。

[1]高惠璇.統(tǒng)計計算[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006,(1).

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2005,(3).

[3]高洪，孫平輝.假設(shè)檢驗中檢驗效能的研究進展[J].中國熱帶醫(yī)學(xué)，2007，7(2).