基于優(yōu)先度的概率區(qū)間型決策

高峰記，王海英

（解放軍后勤指揮學(xué)院后勤管理系，北京 100858）

0 引言

研究不確定條件下的決策原理和方法，歷來(lái)是決策論的中心內(nèi)容，所謂不確定性，是指由于存在決策者不可控的因素，決策方案執(zhí)行的結(jié)果存在多種可能性。

在概率區(qū)間型決策中，文獻(xiàn)[1]給出了基于期望值極值的“好中求好”，“壞中求好”，“現(xiàn)實(shí)主義”等決策方法，文獻(xiàn)[2]給出了統(tǒng)計(jì)優(yōu)勢(shì)法決策法。文獻(xiàn)[4]給出了優(yōu)序法文獻(xiàn)[5]給出了模擬法，非線性轉(zhuǎn)換法，線性轉(zhuǎn)換法等決策方法。文獻(xiàn)[6]給出了這類決策的Bayes決策法。下面我們用一種非常簡(jiǎn)便的算法計(jì)算出期望值區(qū)間，并給出方案優(yōu)先度的概念及其算法，然后在此基礎(chǔ)上給出新的決策方法。

1 概率區(qū)間型決策的定義及性質(zhì)

定義1 設(shè)決策問(wèn)題面臨B1,B2,…,Bn等n個(gè)自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率分別為p1,p2,…,pn。假若⑴B1,B2,…,Bn構(gòu)成完備事件組，即p1+p2+…+pn=1；⑵B1,B2,…,Bn發(fā)生的概率p1,p2,…,pn不能完全確定，但可以判定這些概率分別位于區(qū)間之上，即…,n))稱這種類型的決策問(wèn)題為概率區(qū)間型決策。

性質(zhì)1 在概率區(qū)間型決策中，如果自然狀態(tài)Bj(j=1,2,…,n)發(fā)生的概率

在引入概率區(qū)間型決策的概念后，傳統(tǒng)決策理論中的確定型決策，風(fēng)險(xiǎn)型決策和不確定型決策都可以看成是概率區(qū)間型決策的特殊情況。

可見(jiàn)，概率區(qū)間決策可以用一種模式來(lái)描述決策問(wèn)題可能面臨的不同狀態(tài)，它的提出對(duì)于決策理論的研究與發(fā)展起到了重要的推進(jìn)作用。

2 決策方法

在決策中，假設(shè)決策方案Ai（i=1,2,…,m）在自然狀態(tài)Bj（j=1,2,…,n）下的益損值為aij，則求Ai的期望值的最大值與最小值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化成如下線性規(guī)劃：max或

該線性規(guī)劃問(wèn)題的求解不需要用一般的線性規(guī)劃求解方法求解，下面可以給出了一種非常簡(jiǎn)便的求解方法。求方案Ai的極大期望值的計(jì)算方法：

第四步：令r=j*，計(jì)算:

求方案Ai的極小期望值的計(jì)算方法與求極大期望值的計(jì)算方法基本一致，只需將第二步和第四步中的max換成min即可。

定義2 若-∞＜a≤b＜+∞，則稱[a,b]為有界閉區(qū)間數(shù)；若-∞＜a＜b＜+∞，則稱[a,b]為有界真閉區(qū)間數(shù)；若0≤a≤b＜+∞，則稱[a,b]為非負(fù)有界閉區(qū)間數(shù)。

定義3 設(shè)[a-,a+]，[b-,b+]為有界閉區(qū)間數(shù)，定義如下運(yùn)算：

（1）[a-,a+]=[b-,b+]?a-=b-,a+=b+

（2）[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,a++b+]

（3）[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b+,a+-b-]

（4）[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)]

特別地，a×[b-,b+]=[min(ab-,ab+),max(ab-,ab+)]

定義4 設(shè)[a-,a+]，[b-,b+]為有界閉區(qū)間數(shù)，X是[a-,a+]上的隨機(jī)變量，Y是[b-,b+]上的隨機(jī)變量，定義[a-,a+]≥[b-,b+]的可能度（記為P{[a-,a+]≥[b-,b+]}）為X≥Y的概率。即P{[a-,a+]≥[b-,b+]}=P{X≥Y}。特別地，如果[a-,a+]，[b-,b+]都退化成一點(diǎn)，設(shè)[a-,a+]=a，[b-,b+]=b（a，b為實(shí)數(shù)），則a＞b時(shí)，P{X≥Y}=1；a=b時(shí)，P{X≥Y}=0.5；a＜b時(shí)，P{X≥Y}=0。

定義5 如果決策方案A的期望值區(qū)間數(shù)為[a-,a+]，決策方案B的期望值區(qū)間數(shù)為[b-,b+]，方案A優(yōu)于方案B的優(yōu)先度為P(A＞B)＝P{[a-,a+]≥[b-,b+]}。定義6 如果決策方案A與B比較的結(jié)果是P(A＞B)=1，則稱B為拙劣方案。

性質(zhì)2 設(shè)[a-,a+]，[b-,b+]是兩個(gè)有界閉區(qū)間數(shù)，其中至少有一個(gè)是有界真閉區(qū)間數(shù)，X在 [a-,a+]上服從均勻分布，Y在[b-,b+]上服從均勻分布，則：

證明 當(dāng)a-≥b+和b-≥a+時(shí)結(jié)論顯然成立。

圖1 a-＜ b-＜ a+＜ b+

圖2 b-＜ a-＜ a+＜ b+

當(dāng)a-≤b-＜a+≤b+時(shí)（如圖1）：

當(dāng)b-≤a-＜a+≤b+時(shí)（如圖2）：

當(dāng)b-≤a-＜b+≤a+或a-≤b-＜b+≤a+時(shí)，同理可證。

性質(zhì)3P(A?B)＋P(B?A)＝1

性質(zhì)4 當(dāng)[a-,a+]=[b-,b+]時(shí)，P([a-,a+]≥[b-,b+])=0.5

依據(jù)兩方案A、B的優(yōu)先度P(A?B)，給出如下決策方法：

第一步，根據(jù)所給信息，計(jì)算方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值極值，從而得出期望值所對(duì)應(yīng)的區(qū)間數(shù)；

第二步，借助方案的期望值區(qū)間數(shù)，計(jì)算方案進(jìn)行兩兩比較的優(yōu)先度cij=P(Ai?Aj)，從而得到優(yōu)先度矩陣C（在比較的過(guò)程中如果發(fā)現(xiàn)拙劣方案，可以將拙劣方案刪除）：

第三步，計(jì)算方案Ai(i=1,2,…,m)的總優(yōu)先度最后根據(jù)總優(yōu)先度P(Ai)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序。

3 概率區(qū)間型決策的應(yīng)用

某后勤單位準(zhǔn)備生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)已擬制出三個(gè)備選方案：①建立新車間大量生產(chǎn)（A1）；②改造原有車間達(dá)到中等產(chǎn)量（A2）；③利用原有車間設(shè)備小批試產(chǎn)（A3）。市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求情況存在如下四種可能：①暢銷（B1）；②需求偏好（B2）；③需求稍差（B3）；④滯銷（B4）。這三個(gè)方案在四種自然狀態(tài)下的每月利潤(rùn)如表1。

表1 每月利潤(rùn)

表2 期望值極值

經(jīng)預(yù)測(cè)，市場(chǎng)暢銷的可能性是10～25；偏好的可能性是30～60；稍差的可能性是15～35；滯銷的可能性是5～15；試確定最優(yōu)決策方案。

利用前面所給的計(jì)算Ai極大期望值（maxE(Ai)）和極小期望值（minE(Ai)）的方法，分別求出方案A1，A2，A3的期望值極值如表2。所以，A1，A2，A3的期望值所在區(qū)間分別為：

利用（＊）式計(jì)算方案兩兩比較的優(yōu)先度，所得結(jié)果為：

由于自身相比的優(yōu)先度為0.5，所以，方案兩兩比較的優(yōu)先度矩陣為：

所以，方案Ai(i=1,2,3)的總優(yōu)先度P(Ai)分別為：

P(A1)=0.5+0.53+0.943=1.973

P(A2)=0.47+0.5+1=1.97

P(A3)=0.057+0+0.5=0.557

依據(jù)總優(yōu)先度的大小，可以確定A1為最優(yōu)方案。

事實(shí)上，由于P(A2?A3)=1，所以，A3是決策的拙劣方案。在決策分析過(guò)程中可以將A3淘汰以節(jié)省分析時(shí)間。這樣以來(lái)，只需將A1與A2進(jìn)行比較就可以了。因?yàn)镻(A1?A2)=0.53，所以，A1優(yōu)于A2，即A1是最優(yōu)方案。

4 結(jié)束語(yǔ)

概率區(qū)間型決策較好的描述了介于不確定型決策和風(fēng)險(xiǎn)型決策之間的決策問(wèn)題，在決策者對(duì)自然狀態(tài)的概率信息掌握不多的情況下可以得到較滿意的決策結(jié)果。它可以看成是傳統(tǒng)決策理論與方法的推廣，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

本文在期望值極值的基礎(chǔ)上兩兩比較方案的優(yōu)劣，給出方案兩兩比較的優(yōu)先度，這比較符合人們正常的思維過(guò)程。通過(guò)兩個(gè)決策方案優(yōu)先度的計(jì)算，直接刪除拙劣方案，以增強(qiáng)決策分析的簡(jiǎn)便性和快速性。最后綜合計(jì)算各方案的總優(yōu)先度，并據(jù)此給出方案的綜合排序。達(dá)到了決策方案兩兩排序與整體綜合排序相結(jié)合的目的。

目前，概率區(qū)間型決策理論與方法的研究仍處于起步階段，許多方面需要完善、加強(qiáng)與開發(fā)，因此，對(duì)該領(lǐng)域的進(jìn)一步深入研究是十分必要的。

[1]高峰記，陳俊.概率區(qū)間型決策[J].信陽(yáng)陸軍學(xué)院學(xué)報(bào)，1990，(1).

[2]高峰記.概率區(qū)間型決策的統(tǒng)計(jì)優(yōu)勢(shì)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1995，15（9）.

[3]高峰記等.概率區(qū)間型決策的線性分配法[J].濟(jì)南陸軍學(xué)院學(xué)報(bào)，1999,（3）.

[4]高峰記，王彥，徐小華.隨機(jī)區(qū)間決策的優(yōu)序法[J].軍事運(yùn)籌研究與創(chuàng)新，2000,（10）.

[5]何大義，周榮喜.區(qū)間概率信息下的決策方法[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2010,19（2）.

[6]王明文.基于概率區(qū)間的Bayes決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1997，17（11）.

[7]Parka.,C王蓮芬.不完全概率信息下的決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1997，17（2）.

[8]謝乃明，劉思峰.考慮概率分布的灰數(shù)排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29（2）.