我國人均國內生產總值的預測分析

余后強，李 玲

(咸寧學院a.數學與統計學院；b.生物醫學工程學院,湖北 咸寧 437100)

0 引言

人均國內生產總值(人均GDP)的經濟數據能較好的反映一個國家的經濟這一復雜系統的宏觀整體特征即動力學特征,但其經濟數據在其主要的一些影響因素作用的同時常常還受到許多外生因素的影響，從而導致數據會產生突變，這就需要能夠有較多的數據來研究其趨勢和波動，并且希望在一定的趨勢下，較少的數據就已經能體現出其趨勢，大量的以往數據反而會影響對其數據的預測。那么該經濟數據的預測模型如何建立就成為預測精度的關鍵所在【1】。

人均國內生產總值的時間序列為既含有確定性的動態趨勢又含有隨機性波動的非平穩時間序列,關于人均國內生產總值的一系列的模型的建立，時間序列分析法和灰色系統理論都可以做得到，并且時間序列分析法和灰色系統理論都各有各自的優點，時間序列分析法一般是建立在大量的歷史數據的基礎上進行模型的建立，進而對序列進行短期的預測。其預測方法的基本思想是：預測一個現象的未來變化時,用該現象的過去行為來預測未來。即通過時間序列的歷史數據揭示現象隨時間變化的規律,將這種規律延伸到未來,從而對該現象的未來作出預測【2】；而灰色系統理論則是一種動態趨勢預測理論，它適用于在原始觀測數據較少且數據已具有較為明顯的趨勢的預測問題，它能夠較好地反映數據的趨勢性變化【3】。

時間序列預測中的自回歸移動平均模型（ARMA模型）是一種比較成熟的模型,因此可以通過對人均國內生產總值的時間序列的分析來研究我國經濟發展的內在規律和演變機制[4][5]?；疑到y理論在控制、預測、決策等領域有著廣泛的應用,但就其精華而言還在于GM(1,1)模型。GM(1,1)模型被廣泛應用于預測,并且預測效果很好[6][7][8]。由于GM(1,1)算法簡單易行,預測精度相對較高,所以在很多問題中,GM(1,1)模型仍是較好的預測模型。

本文將ARMA模型與GM(1,1)模型相結合用于人均國內生產總值的預測[9],首先采用ARMA模型方法在長期的數據的基礎上研究其發展趨勢，在已明確其發展趨勢后利用最近的較少的數據建立GM(1,1)模型，進而繼續對數據進行預測，這樣既能延長被預測的序列，又能夠避免某些突變的數據對預測序列的影響。實例表明，將以上兩個模型結合起來構成的組合模型用于預測人均國內生產總值有較高的預測精度。

1 ARMA模型的建立

1.1 數據預處理

本文從國家統計局網站選取1978～2005年度的人均GDP（表1）作為我國經濟發展的衡量標準。

為了驗證模型的合理性，我們利用1978～1997年的20個數據進行模型的建立，1998～2005年的數據作為預測數據來驗證。由表1可知我國的人均GDP的序列明顯不平穩，對原序列先后進行對數化，一階差分化后得到圖1。

由圖1可知此時的序列趨于平穩，然后對此序列進行零均值化，從而得到用來建模的序列。

圖1 1978～1997年度的人均GDP

1.2 模型識別及參數估計

我們得到的平穩的零均值化的序列是一個ARMA(p,q）過程，則可用ARMA(p,q)模型來描述：

式中p和q分別是自回歸部分和滑動平均部分的階數；?i(i=1,2,…,p),θj(i=1,2,…,q)分別是自回歸系數和滑動平均系數;at～N(0,σ2),t=1,2,…,n白噪聲序列。故ARMA(p,q)模型有p+q+1個未知參數。要確定這些未知參數首先要確定模型的階次,即p和q值。對于階數(p,q)的確定是建模中比較重要的步驟，也是比較困難的步驟。一般地，我們可以運用基于自相關函數和偏相關函數的定階方法、基于F檢驗、利用信息準則法確定階數。這幾種方法都各有各自的優缺點，往往可以把以上幾種方法交叉結合運用。本文中，我們主要通過利用信息準則的方法中的最小信息準則(Akaike's Information Criterion,AIC)來定階。其基本思想是根據模型的預報誤差來判斷自回歸模型的階數是否合適。如果某個適用的自回歸模型是由某一序列擬合得來的,則利用該模型對序列進行一步預測,所得的預測誤差必定是最小的。因此,預報效果的好壞,反過來也可作為模型擬合優劣的檢驗準則。

AIC函數為

其中：M,N為ARMA模型階數的上限值，一般取為

用該模型參數進行預測，然后轉化到處理前最初的數據，詳見表3。

表2 ARMA(1,3)模型參數

表3 預測數據與實驗數據

由表3我們可以看出，用該模型預測出的數據與實際數據還是比較吻合的，具有一定的合理性。此時，得到的ARMA(1,3)模型為

1.3 模型檢驗

利用得到的ARMA(1,3)模型預測1998～2005年的數據，結果如表4所示:

表4 預測數據與實驗數據

由表4我們可知，隨著預測序列的增加，準確性也隨著降低。為了提高模型的精度，我們需要對模型進行改進。

2 ARMA-GM組合模型

2.1 GM模型建模原理

GM是一個擬微分方程的動態模型,它可以較好地描述系統內部特征和發展趨勢,外推預測性能優于統計回歸方程,且不要求樣本數據有較大容量和滿足一定統計分布。其建模過程為：

設原始非負數據序列為：

x(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)],其中

x(0)(i)＞0,i=1,2,...,n。

對原始非負數據序列作一次累加：

得出的x(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]為一次累加序列,根據灰色系統理論,對于一次列加生成序列

又令x(0)的GM(1,1)定義型為

則其一級參數包PΙ在最小二乘準則下有矩陣算式如下

則此微分方程的解即可得模型為

2.2 ARMA-GM組合模型應用

針對ARMA(p,q)模型預測稍長時誤差過大的缺點，本文用GM(1,1)模型來對其進行改進，由于原序列的數據較為充分，這時我們就要確定數據的序列長度，我們如果確定的數據長度過短，經濟數據的信息就不能夠得到充分體現，并且預測的精度隨著序列長度的增加也將明顯下降；如果確定的數據長度過長，不但不方便計算，而且數據更有可能存在奇異數據，所以確定好數據的序列長度是十分重要的一步，在本文中選取序列的長度為6。

在確定了序列的長度以后，就需要確定這個GM模型長度為6的序列的數據，為了增加預測序列的精度以及序列的長度，我們需要在ARMA(p,q)模型的基礎上用GM(1,1)模型來加以改進，在選取實驗數據時，在建立GM(1,1)模型時如何確定序列的數據以提高預測的精度是改進的關鍵。在選取序列數據時原始數據和用ARMA(p,q)模型得到的理論數據的長度的選取就顯得尤為重要，為此我們用不同的數據長度組合方式進行對比，截取的序列數據考慮到既需要有充足的ARMA(p,q)模型所預測的數據又需要有足夠的對比數據，考慮到以上因素，我們選取1997～2002年的數據作為實驗序列，經過比較，我們可知我們采用的ARMA(1,3)模型在預測兩步內的精度較高，并且也能夠很好地體現出經濟數據的趨勢。故此，我們采用4個原始數據與2個ARMA(1,3)模型預測出的數據結合的序列方式作為GM(1,1)模型建模的序列選取方式。

按此方式進行預測，我們得到模型的的參數a=-0.095682,b=4563.478922。則得到的模型為

x?(1)(t)=51737.98e-0.095682t-47693.98 ，利 用 改 進 的ARMA-GM組合模型進行預測，另外為了對比我們直接用GM(1,1)模型進行預測得到的結果如表5所示。

表5 各模型預測數據對比

2.3 模型評判

在評價對同一問題的不同模型的優劣時，我們可以用許多方法對其進行評價，在本文中我們采用灰關聯度分析法[10]。

將實際值x0(k),k=1,…,5作為參考序列，ARMA模型預測值x1(k)、ARMA-GM模型預測值x2(k)以及GM模型預測值x3(k)作為比較序列。

根據表5求出差

顯然

由此計算出關聯系數如下：

令ρ=0.5，則有

從上述關聯度分析來看，r02明顯大于r01和r03，所以我們可知改進的模型明顯優于原ARMA模型以及GM模型，ARMA-GM模型能夠更精確地進行預測。

通過以上對改進模型的探討，我們可知采用4個原始數據與2個ARMA(1,3)模型預測出的數據結合的序列方式的GM(1,1)模型比其它模型在該建模中有更好的優越性。

3 小結

ARMA模型在建模時能夠在長期的數據的基礎上研究其發展趨勢，在進行短期預測時有很好的精確性，但是當預測稍長時預測的精度將明顯的降低。采用本文提出的ARMA-GM組合模型能夠很好的解決該問題，它不但能夠在數據序列較少時比較準確地進行預測，而且隨著預測序列的長度的增加精度降低的也較慢。

另外由于經濟發展在不同歷史階段下發展規律有很大的差異等,并非建立的預測ARMA-GM組合模型中原始數據序列越長，采用的ARMA模型序列越長預測結果越好。

在本文中我們采用4個原始數據與2個ARMA(1,3)模型預測出的數據結合的序列方式作為GM(1,1)模型建模的序列選取方式。該改進的ARMA-GM組合模型與傳統GM(1,1)模型以及ARMA模型相比,預測精度大大提高。因此,改進的GM(1,1)模型用于對其他經濟方面的預測是可行的,效果比較理想。該方法具有一定的理論和實踐意義。

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