氣象學中的雨量與物理學中的流量是什么關系＊——對一道競賽題的分析

許冬保

（九江市第一中學，江西 九江 332000）

1 試題

第25屆全國中學生物理競賽預賽試題第12題：

一座平頂房屋，頂的面積S＝40m2.第一次連續下了t＝24h的雨，雨滴沿豎直方向以v＝5.0m／s的速度落到屋頂，假定雨滴撞擊屋頂的時間極短且不反彈，并立即流走.第二次氣溫在攝氏零下若干度，而且是下凍雨，也下了24h，全部凍雨落到屋頂便都結成冰并留在屋頂上，測得冰層的厚度d＝25mm.已知兩次下雨的雨量相等，冰的密度為9.0×102kg／m3.由以上數據可估算得第二次下的凍雨結成的冰對屋頂的壓力為________N，第一次下雨過程中，雨對屋頂的撞擊使整個屋頂受到的壓力為________N.

2 解答

設冰、水的密度分別為ρ0、ρ，第一次雨對屋頂的壓力為F1，第二次冰對屋頂的壓力為F2.

凍雨結成冰的總質量為

冰對屋頂的壓力大小為

將m代入解得

第2問正確答案是0.058N.通常有以下3種解法.

解法1：如圖1所示，設雨滴密度為ρ′，經一段時間 Δt，下落到屋頂的雨滴分布在高為vΔt、面積為屋頂面積所構成的流管內，其質量流量為

圖1 下落的雨流管

由動量定理，有

解得

取ρ′＝1.0×103kg／m3，代入題給數據，得

由牛頓第三定律知，雨對屋頂的撞擊使整個屋頂受到的壓力大小等于屋頂對雨的作用力大小.

因此，屋頂受到的壓力大小為1.0×106N.

解法2：兩次在t＝24h內下雨的雨量相等，即質量相等.則

由動量定理，有

代入已知數據，得

雨對屋頂的撞擊使整個屋頂受到的壓力大小等于屋頂對雨的作用力大小.即等于0.052N.

解法3：兩次在t＝24h內，下雨的雨量相等，即體積相等.則第一次下落的雨的總體積V為

如圖1所示，對一段時間Δt，以下落到屋頂的雨滴構成的流管為研究對象，質量流量為

由動量定理，有

代入已知數據，得

雨對屋頂的撞擊使整個屋頂受到的壓力大小等于屋頂對雨的作用力大小.即等于0.058N.

3 分析

解法1認為：雨滴的密度ρ′就是水的密度ρ.實際上雨滴的密度遠小于水的密度.這是因為雨滴形成的流管中，該流管內的雨滴之間存在較大的間隙，雨滴的線度一般在0.1～7mm之間［1］，流管內的雨滴不是水柱.

在t＝24h內，兩次下雨的雨量相等，即體積相等.將流管中雨滴的質量等效為水的質量，有

解得

代入已知數據，得

將ρ′代入式F1＝ρ′Sv2中，得 F1≈0.058N，答案正確.

解法2和解法3，相差不大，顯然不是計算造成的偏差.原因何在？

比較發現，關鍵在于對題中24h內“兩次下雨的雨量相等”的理解，解法2理解為24h內兩次的質量相等，解法3理解為24h內兩次的體積相等.換言之，雨量相等是質量流量相等，還是體積流量相等？試題給出的參考答案是支持后者.

對此，有人提出建議：“題目的意思若是更明確些，就好多了”［2］.不少學生也認為試題文字表述不清，兩種理解均可.實際情況果真如此嗎？

4 雨量和流量之間的關系

在氣象學中，雨量是指在一定時段內降落到平地（假定無滲透、蒸發、流失等）上的雨水深度，通常用雨量器測定，以mm為單位.因此雨量是一個與深度有關的概念.

為測定降雨量的大小，氣象工作人員在地面觀測場的露天放置一個金屬圓筒雨量器，它一天所接收到的雨量，就是日降雨量，可用量雨杯量出.

我國氣象臺規定：凡是日降雨量在10mm以下稱 為小雨，10.0～24.9mm 為中 雨，25.0～49.9mm為大雨，50.0～99.9mm 為暴雨，100.0～250.0 mm為大暴雨，超過250.0mm的稱為特大暴雨［3］.

雨量與流量之間有什么關系呢？

在流體力學中，流量是描述流體性質的重要物理量.單位時間通過流管截面的流體質量叫做質量流量.單位時間通過流管截面的流體體積叫做體積流量［4］.雖然質量流量和體積流量常泛稱為流量，但含義不同.

為了探究雨量與流量之間的定量關系，有必要了解雨量器的工作原理.

圖2 雨量器

雨量器是測定降雨量的儀器，常見的雨量器結構如圖2所示，外殼是金屬圓筒，筒口直徑為20cm，分上下兩節.上節作承雨用，其底部為一漏斗，漏斗伸入儲水瓶內.下節內放儲水瓶，以收集雨水.降雨后，將雨水瓶中的雨水倒入量雨杯，讀得雨量的毫米數［1］.這里我們注意到量雨杯的底面積應該是確定的，也就是說，雨量實際反映的是一段時間（24h）內的體積，對應于物理學上的體積流量.

為了得到定量的關系式，我們假設在一段時間t內，雨量用h表示，體積流量用Q表示，量雨杯的底面積用S表示，有

取t＝24h，S一定，因此，物理學中的體積流量正比于氣象學中的雨量.只有在一定的溫度下（水的密度不變），質量流量才正比于雨量.

綜上所述，解法3是正確的.原答案準確，試題文字表述沒有異義.

全國中學生物理競賽內容提要指出：物理競賽的內容有一部分有較大的開闊性，其中包括物理知識在各方面的應用：對自然界、生產和日常生活中一些物理現象的解釋.中央及各省市地方電視臺、廣播電臺、網絡、手機、報紙等均有氣象預報的信息，已滲透普通百姓的生活和工作之中.中學生如只關注課內學習，談何提高科學素養？需知兩耳要聞窗外事，處處留心皆學問.

1 辭海編纂委員會.辭海（縮印本）.上海：上海辭書出版社，1999.2400

2 程賢樓.對25屆全國中學生物理競賽預賽卷兩道題的一點建議.物理教師，2009（7）：62

3 林崇德.中國少年兒童百科全書（自然·環境）（第三版）.浙江教育出版社，1998.150

4 舒幼生.力學.北京：北京大學出版社，2005.211