一道高三模擬題目引發的思考——點斜率和切斜率的區別

徐 學

（蘇州中學園區校，江蘇 蘇州 215000）

日前筆者在高三復習中遇到這樣一道模擬題：在如圖1（甲）所示電路中，閉合電鍵S，當滑動變阻器的滑動觸頭P向下滑動的過程中，四個理想電表的示數都發生變化.圖1（乙）中三條圖線分別表示了三個電壓表示數隨電流表示數變化的情況，以下說法正確的是

（A）圖線a表示的是電壓表V3的示數隨電流表示數變化的情況.

（B）圖線c表示的是電壓表V2的示數隨電流表示數變化的情況.

（C）此過程中電壓表V1示數的變化量ΔU1和電流表示數變化量ΔI的比值變大.

（D）此過程中電壓表V3示數的變化量ΔU3和電流表示數變化量ΔI的比值不變.

圖1

學生A：當滑動變阻器的滑動觸頭P向下滑動的過程中，R2的阻值增加，電壓表示數V3表示的是R2兩端的電壓，電流表表示的是流過R2的電流.由可知，當R2增大時也增大.也就是如果以U3為縱坐標，以I為橫坐標.那么該圖像的斜率應當增大.所以（A）和（D）選項不正確.

學生B：P向下滑動過程中，R2增加，I減小，即A示數減小，U內＝I r減小，路端電壓U1＝E－Ir，從該表達式看出U1與I是線性函數，圖線的斜率的絕對值為電源的內阻r，因此（C）選項錯誤.由U2＝I R1，因為R1是定值電阻，該表達式表示U2－I圖像是經過原點的直線，圖線的斜率是R1，所以（B）選項正確.由U3＝E－Ir－U2＝EI（r＋R1），由該表達式可知斜率是定值.所以（D）選項正確.又由和知道b代表U1與I的關系的圖線，a代表的是U3與I的關系的圖線.所以（A）選項正確.

究竟哪個學生的分析正確呢？感覺兩種說法都有道理.下面我們先來看下面一題，然后來討論上面哪個學生的分析是正確的.

小燈泡通電后其電流I隨所加電壓U變化的圖線如圖2所示，P為圖線上一點，PN為圖線在P點的切線，PQ為U軸的垂線，PM為I軸的垂線，則下列說法中正確的是

圖2

那么為什么學生易錯選（B）呢？首先是在初中階段，學生遇到的主要是定值電阻，此時點斜率和切斜率沒有區別.故老師在教學中不再區分兩種斜率.學生記憶的結果是在導體的伏安特性曲線圖上圖線的斜率的倒數就是電阻.另外小燈泡的伏安特性曲線圖上小燈泡的電阻雖然是非線性變化的.但是隨著電壓的增大，點斜率和切斜率都在減小，表現為小燈泡的電阻都在增加.因此并不能把點斜率和切斜率不同的矛盾暴露出來.其次在高中階段，學生在分析位移時間圖像時，圖像的斜率表示物體的速度.在分析速度時間圖像時，圖像的斜率表示物體運動的加速度.而此時的斜率都是指切斜率.最后數學上斜率的定義也是也是指切斜率.以上三個原因使學生潛意識中認為的斜率就是切斜率.當伏安特性曲線是曲線時，雖然斜率k減小，表示R增大這一規律仍成立，但圖像上某點對應的切斜率的倒數已經不等于R了.因此導體在P點時的電阻應當計算導體在此電壓下電阻在該位置的點斜率的倒數作為P的電阻.通過上述的討論我們明確了這一點.導體的電阻應當用點斜率來計算只有當導體是定值電阻時，由于切斜率等于點斜率，才可以用切斜率來計算

現在我們可以來討論本文開始提出的問題了.對于學生A，認為實質上是用到了用切斜率來表示R2的電阻.但是上式成立的前提是R2是定值電阻.即滿足R，但是R2在增大，不是定值電阻.實際上R2＝的增大只能說明增大而不能說明增大.事實上通過學生B的分析是一個定值.通過上面討論，我們應當在教學過程中讓學生能區分切斜率和點斜率.才不至于當電阻的阻值發生變化時把電阻兩端電壓的變化量與電流的變化量的比值當成電阻值.