基于高頻數(shù)據(jù)的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量的構(gòu)建

郭名媛

0 引言

Markowitz提出的現(xiàn)代證券組合投資理論運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法全面而細(xì)致地分析了何為最優(yōu)的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)和如何選擇最優(yōu)的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)。一般而言，投資風(fēng)險(xiǎn)越大，其期望收益也就越高。投資者在權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，以其對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的偏好來進(jìn)行證券資產(chǎn)的選擇。資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)與Markowitz的現(xiàn)代證券組合投資理論有著極其密切的關(guān)系。對(duì)于投資者來說，有效投資組合中單個(gè)證券的總風(fēng)險(xiǎn)中只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)這部分對(duì)有效投資組合的風(fēng)險(xiǎn)做出貢獻(xiàn)，每個(gè)證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則在有效投資組合中消失。而資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的β數(shù)則用來衡量有效投資組合中單個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)。資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)是以市場(chǎng)收益作為影響因子的單因子模型，具有簡(jiǎn)便、易于操作的特點(diǎn)。雖然CAPM也遭到了某些批評(píng)，然而對(duì)于CAPM的理論研究和實(shí)際應(yīng)用仍然十分的活躍，也證明了其有很大的實(shí)用價(jià)值。國(guó)內(nèi)對(duì)資本資產(chǎn)定價(jià)模型的研究主要始于20世紀(jì)90年代，雖然CAPM在中國(guó)股票市場(chǎng)的適用性是一個(gè)問題。但是，它所包含的基于Markowitz的資產(chǎn)組合理論，它對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分析，對(duì)市場(chǎng)組合及其替代物的論述以及它對(duì)風(fēng)險(xiǎn)與收益之間關(guān)系的描述，對(duì)中國(guó)的股票市場(chǎng)有很大的指導(dǎo)意義。充分利用CAPM較強(qiáng)的邏輯性、實(shí)用性，通過對(duì)股票市場(chǎng)的實(shí)證分析和理論研究，有利于發(fā)現(xiàn)問題，推動(dòng)我國(guó)股市的發(fā)展。因此，正確確定CAPM中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β非常重要。

大多數(shù)國(guó)內(nèi)外的實(shí)證研究證明了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β是可變的，投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與經(jīng)濟(jì)所處的狀態(tài)相關(guān)，在股票市場(chǎng)的不同的時(shí)期，股票的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β會(huì)有所變化。De Santis,Gerard(1997)[1]證明系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨時(shí)間的改變而改變。Bekaert,Harvey(1995)[2]在檢驗(yàn)世界金融市場(chǎng)之間的協(xié)同性的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨著國(guó)內(nèi)和世界的信息變量的改變而改變。Fabozzi，F(xiàn)rank(1977)[3]研究了在不同市場(chǎng)態(tài)勢(shì)下證券β值的差異及穩(wěn)定性，并指出當(dāng)市場(chǎng)狀況從牛市轉(zhuǎn)向熊市時(shí)，β值較不穩(wěn)定。然而國(guó)內(nèi)外的實(shí)證研究主要是采用低頻數(shù)據(jù)進(jìn)行的[1～12]。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和通訊技術(shù)的進(jìn)步，采集和存儲(chǔ)高頻金融數(shù)據(jù)已經(jīng)成為了可能。這使得采用高頻數(shù)據(jù)來度量系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β成為了可能。這種方法相對(duì)于采用低頻數(shù)據(jù)更能夠充分利用股票數(shù)據(jù)的日內(nèi)信息。

本文擬采用高頻金融數(shù)據(jù)，通過賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場(chǎng)收益的方差和股票收益與市場(chǎng)收益的協(xié)方差，構(gòu)建賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量，對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β進(jìn)行研究。

1 已實(shí)現(xiàn)極差方差和已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

1.1 已實(shí)現(xiàn)極差方差

Christensen和Podolskij[13]提出了基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)極差方差估計(jì)量。采用已實(shí)現(xiàn)極差方差來估計(jì)金融資產(chǎn)收益的方差，其優(yōu)點(diǎn)在于這種方法能夠充分利用高頻數(shù)據(jù)的日內(nèi)信息，計(jì)算簡(jiǎn)便。

其中，T為研究跨度天數(shù)，N為在[t-1,t]時(shí)間段內(nèi)等時(shí)間間隔的采樣次數(shù)。Δ=1/N，Δ為將[t-1,t]時(shí)間段分為N個(gè)時(shí)間段的時(shí)間間隔。 pi,t,m為金融資產(chǎn)i在第t日的[n-1,n]時(shí)間段內(nèi)的價(jià)格。

定義1[13]已實(shí)現(xiàn)極差方差（Realized Range-based Variance，簡(jiǎn)稱RRV）為:Christensen and Podolskij[13]證明了：

1.2 已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

定義2已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差（Realized Range-based Covariance）為金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積之和，即

2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

2.1 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差

唐勇，張世英[14]在已實(shí)現(xiàn)極差方差的基礎(chǔ)上，提出了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差。

定義3[14]賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差（Weighted Realized Range-based Volatility,WRRV）為金融資產(chǎn)i的日內(nèi)極差收益平方的加權(quán)之和，即

其中：τi,n為日內(nèi)收益平方的權(quán)重。

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差定義中，可以看到當(dāng)τi,n=1(n=1，…，N)時(shí)，WRRVi,t=RRVi,t。即已實(shí)現(xiàn)極差方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差的一個(gè)特例。

賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差中權(quán)重確定的計(jì)算公式為[14]：

賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差相對(duì)于已實(shí)現(xiàn)極差方差具有充分考慮了“日歷效應(yīng)”，并且比已實(shí)現(xiàn)極差方差的方差更小的優(yōu)點(diǎn)。唐勇，張世英在文獻(xiàn)[14]中對(duì)此做出了詳細(xì)闡述。

2.2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

本文在已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的基礎(chǔ)上，提出了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差。

定義4賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差（Weighted Realized Range-based Covariance,WRRCOV）為金融資產(chǎn)i和金融資產(chǎn) j的日內(nèi)極差收益乘積的加權(quán)之和，即

其中，τij,n為日內(nèi)極差收益乘積的權(quán)重；i,j=1,2,…。

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差定義中，可以看到當(dāng)τij,n=1(n=1，…，N）時(shí)，WRRCOVij,t=RRCOVij,t。換句話說，已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的一個(gè)特例。

2.3 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差中權(quán)重的確定

無偏性是對(duì)一個(gè)估計(jì)量最重要的要求之一，要想更好的估計(jì)金融資產(chǎn)收益之間的協(xié)方差，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差首先需要滿足無偏性。但是，僅僅滿足無偏性是不夠的。因?yàn)闊o偏性只能保證估計(jì)量的期望等于真值，它取的值很可能大部分與真值相差很大。因此為了保證賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的取值能集中在金融收益之間的協(xié)方差真值附近，還需要確定一個(gè)最優(yōu)的權(quán)重以使得賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差最小。

（1）賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的無偏性

設(shè)：

因

故

由估計(jì)量的無偏性可知，要求WRRCOVij,t滿足無偏性，則下式成立：

（2）賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的最小方差性

因

為了使WRRCOVij,t既滿足無偏性，又滿足最小方差性，則：

定義：

其中：θ為拉格朗日乘子。

令：

故

因此賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差中權(quán)重為：

2.4 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差相對(duì)于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的優(yōu)點(diǎn)

2.4.1 充分考慮了“日歷效應(yīng)”

“日歷效應(yīng)”是對(duì)高頻金融時(shí)間序列的研究中的重要發(fā)現(xiàn)。所謂“日歷效應(yīng)”是指金融資產(chǎn)收益在日內(nèi)表現(xiàn)出穩(wěn)定的、周期性的運(yùn)動(dòng)模式，主要表現(xiàn)為“U”型模式。

已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積之和，給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了取值為1的相同的權(quán)重。但是，由于“日歷效應(yīng)”的存在，給不同的日內(nèi)極差收益乘積賦予相同的權(quán)重顯然不太合理。

而賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積的加權(quán)之和，它給不同的日內(nèi)極差收益乘積賦予了不同的權(quán)重。也就是說，根據(jù)不同的日內(nèi)極差收益乘積在日內(nèi)表現(xiàn)的出穩(wěn)定的、周期性的運(yùn)動(dòng)模式，相應(yīng)地給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了不同的權(quán)重，考慮到了“日歷效應(yīng)”。正因?yàn)榭紤]了“日歷效應(yīng)”，給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了不同的權(quán)重，才使得賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是既滿足無偏性，又滿足最小方差性的協(xié)方差估計(jì)量。

2.4.2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差小于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差定義中，可以看到當(dāng)τij,n=1(n=1，…，N）時(shí)，WRRCOVij,t=RRCOVij,t。也就是說已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的一個(gè)特例。

3 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β

采用高頻數(shù)據(jù),用賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場(chǎng)組合收益的方差和某支股票收益與市場(chǎng)組合收益的協(xié)方差。由此便可以計(jì)算出賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β。

定義5市場(chǎng)組合收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差為

第i支股票收益與市場(chǎng)組合收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

第i支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)

由2.1部分可知，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差充分考慮了日歷效應(yīng)，并且滿足估計(jì)量的最小方差性。由此可見，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β比采用已實(shí)現(xiàn)極差方差和已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)極差β更精確。

4 實(shí)證分析

本文的實(shí)證研究采用的高頻數(shù)據(jù)是2001-2-28～2002-4-15深證成指和晨鳴紙業(yè)、金路集團(tuán)、海虹控股、冀東水泥、鹽湖鉀肥的30分鐘間隔時(shí)段的收盤價(jià)，這期間共有269個(gè)交易日。

4.1 深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差的統(tǒng)計(jì)特征

根據(jù)式（4）和式（7），可以計(jì)算出深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差。表1給出了深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的統(tǒng)計(jì)特征。

從表1中可以看到，深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的均值相同，但是深證成指收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的方差要小于已實(shí)現(xiàn)極差方差的方差。

表1 深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的統(tǒng)計(jì)特征

4.2 各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的特性統(tǒng)計(jì)

根據(jù)式（6）和式（9），可以計(jì)算出各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差。表2各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的統(tǒng)計(jì)特征。

表2 各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的統(tǒng)計(jì)特征

從表2中可以看到，各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的均值相同，但是各支股票收益與深證成指收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差小于等于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差。

4.3 各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)

表3給出了各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表1中可以看到，各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β都具有較高的偏度和峰度，其分布均不符合正態(tài)分布。

表3 各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)束語

本文采用高頻金融數(shù)據(jù)，通過賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場(chǎng)收益的方差和股票收益與市場(chǎng)收益的協(xié)方差，構(gòu)建了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量，對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β進(jìn)行了研究。實(shí)證研究證明，中國(guó)股票市場(chǎng)中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨著時(shí)間的改變而改變具有較高的偏度和峰度，其分布均不符合正態(tài)分布。

[1] De Santis,Gerard.International Asset Pricing and Portfolio Diversifi?cation with Time-varying Risk[J].Journal of Finance,1997,(52).

[2] Bekaert G.,Harvey C.Time-varying World Market Integration[J].Jour?nal of Finance,1995,(50).

[3] Fabozzi,Frank,Francis,Clark.Stability Test for Alphas and Betas Over Bull and Bear Market Conditions[J].Journal of Finance,1977,(9).

[4] Christensen,K.,M.Podolskij.Asymptotic Theory for Range-based Es?timation of Integrated Variance of a Continuous Semi-martingale[R].Aarhus School of Business,2005.

[5] 唐勇,張世英.高頻數(shù)據(jù)的加權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)及其實(shí)證分析[J].系統(tǒng)工程,2006,24(8).