基于分數階傅里葉變換的雙基地雷達線性調頻信號的參數聯合估計新方法

李 麗 邱天爽

①(大連理工大學電子信息與電氣工程學部 大連 116024)

②(大連大學信息工程學院 大連 116622)

1 引言

雙基地雷達在反隱身、抗干擾、抗反輻射導彈等方面具有潛在的優勢，但在實現上存在著時間、角度、頻率同步的三大技術難題。多輸入多輸出(MIMO)雷達是一種新體制雷達，具有很多優點，因而成為學術界研究的熱點。雙基地MIMO雷達能夠在沒有角度同步條件下，實現接收站目標角度和發射站目標角度的同時測量，為雙基地雷達目標定位提供一個新途徑[1-3]。

目前，關于雙基地雷達目標參數估計的文獻還沒有大量出現，文獻[3]基于雙重求根多項式來估計收發角，且能夠實現收發角的自動配對。文獻[4]利用發射陣和接收陣的平移不變結構，采用經典的ESPRIT算法估計目標的2維方位角，但需要額外的2維參數配對過程。文獻[5]基于多項式求根的方法分別對發射角和接收角進行估計。文獻[6]通過多徑信號的散列函數來估計多普勒頻移和時間延遲。文獻[7]針對L型陣列的MIMO雷達推導出多目標的2維發射角和 2維接收角的估計式。文獻[8]利用矩陣的雙正交性構造代價函數，通過迭代法分階段估計了收發角和多普勒頻移。文獻[9]根據平行因子分析法實現了 MIMO雷達的收發角和多普勒頻移的估計。盡管上述方法取得了很好的參數估計效果，但是由于所采用的相位編碼信號本身的弱點，易于受到外界干擾，特別是惡意干擾。線性調頻(LFM)信號的突出特點是匹配濾波器對回波的多普勒頻移不敏感，并具有更好的低截獲概率特性，因而廣泛應用于雷達、聲納等領域。目前的文獻中，在雙基地 MIMO雷達系統中以線性調頻信號作為發射信號的研究很少，是雙基地MIMO雷達系統研究的薄弱環節。

為此，本文利用分數階傅里葉變換(FRFT)對線性調頻信號的能量聚集特性，提出了一個新的時頻平面內的陣列信號模型，并采用分數階匹配濾波器對回波信號進行匹配濾波。然后利用分數階傅里葉變換的旋轉角度與信號的頻率調制率之間的關系以及分數域內峰值點對多普勒頻移尺度和時延進行了有效估計。最后構造分數階傅里葉變換的空間時頻分布數據模型，通過 FRFT-MUSIC譜峰搜索，估計發射角和接收角，且實現了角度的自動配對。該方法不存在交叉干擾，能夠很好地抑制噪聲的干擾，且運算量小。仿真實驗驗證了算法的有效性。

2 信號模型的提出

本文所用的雙基地MIMO雷達系統結構如圖1所示。發射和接收陣元數目分別為Q和N，陣元間距分別為dt和dr，設雷達工作在寬帶遠場條件，發射陣列和接收陣列處于同一相位中心。假設在相同距離分辨單元上存在L個目標，(φl,θl)表示第l個目標所對應的雷達發射角和接收角。為了提高抗干擾性，考慮發射陣元發射信號為線性調頻信號，在寬帶假設條件下，雷達接收到的回波信號是多普勒頻移的多徑分量的疊加信號，因此依據分數階傅里葉變換對線性調頻信號的能量聚集特性，本文提出一個新的陣列信號模型，第n個接收陣元接收到的回波信號可表示為

圖1 雙基地MIMO雷達陣列模型

3 基于提出模型的FRFT分析

3.1 LFM信號的分數階傅里葉變換

由分數階傅里葉變換的定義[13]，可以得到第q個發射陣元發射的LFM信號xq(t)的分數階傅里葉變換：

其中α≡pπ/ 2,p為 FRFT 的階數，0＜p≤2,Fp表示FRFT算子。

當α=αq0=-a rccot(μq0)時，Xq(α,m)具有最佳的能量聚集特性，且

當m=mq0=fq0sinαq0時，Xq(αq0,m)出現峰值，峰值點為 (αq0,mq0)，其中αq0和mq0表示發射信號xq(t)在分數域上峰值點的坐標。此時， (αq0,mq0)和 (fq0,μq0)的關系為

從式(5)可以看出，信號的分數階傅里葉變換的階數p只與LFM信號的頻率調制率有關。

3.2 基于分數階傅里葉變換的匹配濾波器

由于有限長LFM信號的Wigner分布在時頻平面上呈現為斜直線的背鰭形分布，因此，若在與該斜直線相垂直的分數階域上求信號的分數階傅里葉變換，則在該域的某點會出現明顯的峰值。另一方面，對于具有不同頻率調制率的信號在該分數域上則不會出現能量聚集，且噪聲的能量一般是均勻地分布在整個時頻平面內。這樣，當信號xq(t)在α=αq0域出現峰值時，其他的信號不會出現峰值，且峰值信號的能量絕大部分集中在以mq0為中心的一個窄帶內，而其他不同頻率調制率的信號及噪聲均不會在該處出現明顯的能量聚集[11]。

本文設計一個以mq0為中心的分數域內的帶通濾波器，選擇合適的帶寬，將回波信號在分數域內通過帶通濾波器進行信號提取，再進行-p階的分數階傅里葉變換，反變換回時間域，就可提取到想要的回波信號rq,n(t)：

其中rq,n(t)表示第q個發射陣元發射LFM信號經L個目標反射后到達第n個接收陣元的單次回波信號 。rq,n∈[r1,1, … ,r1,n, … ,r1,N, … ,rq,1, … ,rq,n, … ,rq,N,… ,rQ,1, … ,rQ,n, … ,rQ,N]。

圖2顯示了兩分量LFM回波信號，混有SNR=10 dB的高斯白噪聲，分數階步長Vp= 0 .01。從圖2(a)可以看出2個發射陣元的發射信號經過3個目標的反射后的回波信號，集中在兩個頻帶內，采用分數域內的匹配濾波器即可實現信號的提取。

4 基于FRFT的參數聯合估計新方法

4.1 多普勒頻移的估計

對式(6)所示rq,n(t)進行分數階傅里葉變換：

在(α,m)平面上，對Rq,n(α,m)進行峰值點的 2維搜索，為了提高搜索效率，根據發射陣元發射信號的調制率來確定搜索范圍(a,b)，確定步長Vp。不同頻率調制率的信號及噪聲均不會在某個旋轉角度處出現明顯的能量聚集，可搜索到L個峰值點及每個峰值點的位置(αql,mql)，其中αql和mql表示發射信號xq(t)經過第l個目標反射后的回波信號在分數域內峰值點的坐標。已知信號的頻率調制率μql與分數階傅里葉變換旋轉角度和多普勒頻移尺度參數之間的關系，分別如式(8)和式(9)所示。

根據式(8)和式(9)，信號經第l個目標反射產生的多普勒頻移尺度參數的估計值al為

4.2 多徑時延的估計

第q個發射陣元發射的LFM信號，在第n個接收陣元的輸出如式(6)所示，又由式(2)可得

根據式(11)，式(13)，式(6)可寫成式(14)：

根據式(15)和式(16)，式(14)可表示為

對式(17)進行分數階傅里葉變換，得

圖2 基于分數階傅里葉變換的帶通濾波器的信號提取

當α=αql=-a rccotμql,l= 1 ,2,… ,L時，Rq,n(α,m)具有能量聚集特性，且

對式(12)中的yq,l(t)進行分數階傅里葉變換，可得

對于式(19)，當m=mql= (fql-μql τl) /cscαql時，Rq,n(αql,m)出現峰值，結合式(21)，有式(22)：

因此，可得經第l個目標反射的回波信號的時延τl的估計值為

4.3 發射角和接收角的估計

由式(19)和式(22)可知，

其中Rq,n,l(αql,mql)表示發射信號xq(t)經過第l個目標反射后的回波信號在分數域內峰值點的幅度。

令

將式(15)代入式(25)得

根據式(21)，式(25)和式(26)，式(24)可寫成

在第l個目標反射的回波信號的峰值點(αql,mql)處，

由于具有不同時頻特性的其他 LFM 信號在(αql,mql)處的取值很小，在處理中可以視為干擾項，因此將式(27)代入式(28)得

選擇分數階傅里葉域上L個峰值點的數據作為該陣元的觀測數據，則第n個陣元上的空間時頻輸出為

將所有陣元的空間時頻輸出表示為向量形式，即可得到基于分數階傅里葉變換的空間時頻分布數據模型

本文構造兩個子陣R1和R2，兩個子陣的空間時頻輸出的數據模型為

4.3.1 接收角的估計首先，構造子陣R1的相關矩陣RR1R1。

由于信號與噪聲不相關，所以式(41)后兩項為零，因此，

又由于信號與噪聲相互獨立，式(42)的數據協方差矩陣可分解為與信號、噪聲有關的兩部分，其中RYY是信號協方差矩陣，C′RYYC′H是信號部分。

對RR1R1進行特征分解有

其中UY是由大特征值對應的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而UN是由小特征值對應的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。

利用分數階傅里葉域的相關矩陣代替傳統的陣列相關矩陣，并可根據 MUSIC算法得到分數域內的FRFT-MUSIC空間譜為

對P(θ)進行譜峰搜索，可得到第l個目標發射回波信號的接收角的估計值θl。

4.3.2 發射角的估計同理，子陣R2的 FRFTMUSIC空間譜為

由于接收角θl已經由式(44)估計得到，對P(φ)進行譜峰搜索，可得到第q個發射陣元相對第l個目標的發射角的估計值為φl。

本文給出的參數估計算法，發射角和接收角的估計是在同一次迭代過程中完成的，因此實現了參數的自動配對。

5 仿真實驗及分析

仿真實驗參數設置，發射陣元和接收陣元數目分別為Q=2和N=2，并假設雙基地MIMO雷達遠場存在2個目標，即L=2，相對于發射陣元和接收陣元的發射角和接收角分別為 (φ1,θ1) = ( 20°,3 0°),(φ2,θ2) = ( 50°,6 0°)，多普勒頻移尺度參數a1= 0 .9,a2= 1 .1，多徑時延分別為τ1= 8 0/fs,τ2= 1 60/fs。兩個LFM信號的初始頻率、頻率調制率及幅度分別為f10= 0 .25 MHz,μ10= 1 00 MHz,A1=2,f20=0.3 MHz,μ20=- 2 00 MHz,A2=4，初相φ10=0,φ20= 0 ，采樣頻率為fs= 1 MHz ，采樣點數為1000，進行300次Monte-Carlo實驗。

實驗1比較本文方法和文獻[6]方法的目標多普勒頻移尺度和時間延遲估計值的均方根誤差RMSE隨SNR的變化曲線。

圖3顯示了本文方法和文獻[6]方法對時延估計RMSE隨SNR變化的曲線。從圖中可以看出，本文方法在SNR大于-12 dB，目標的時延估計均方根誤差迅速減小，并且保持穩定，與文獻[6]方法時延估計性能基本一致。而在SNR小于-12 dB時，本文方法在兩目標時延估計均方根誤差較大，但性能仍比文獻[6]方法要稍好。

圖4 顯示了本文方法和文獻[6]方法對多普勒頻移尺度估計RMSE隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，當SNR大于-18 dB時，本文算法RMSE很小，并保持穩定；而文獻[6]方法要達到本文算法的性能需要SNR大于-10 dB左右；當SNR小于-18 dB時，本文算法兩個目標的多普勒頻移尺度估計RMSE有些偏大，但仍優于文獻[6]方法的性能。這是因為 LFM 信號在分數階傅里葉變換域內具有很好的能量聚集性，而噪聲在分數階傅里葉變換域上不具有能量聚集特性，因此本文方法可以很好地估計多個目標的時延和多普勒頻移參數。實驗證明，本算法在低SNR時仍具有很好的性能。

實驗2信噪比為10 dB時，兩目標多普勒頻移尺度和時延估計的均方根誤差RMSE隨分數階步長Vp的變化曲線。

從圖5和圖6中可以看出，步長的選取直接影響兩個參數的RMSE，隨著分數階步長的變小，其均方根誤差也迅速變小。這是因為本文提出時延和多普勒頻移尺度估計算法是在分數階傅里葉變換域內進行的，且與分數階的階數直接相關。因此分數階步長越小，參數估計的均方根誤差越小，但時間復雜度也會增加。

實驗3比較本文方法和文獻[3]方法的目標發射角和接收角估計值的均方根誤差 RMSE隨 SNR的變化曲線。

圖3 時延RMSE隨SNR的變化曲線

圖4 多普勒頻移尺度RMSE隨SNR的變化曲線

圖5 時間延遲估計RMSE變化曲線

圖6 多普勒頻移尺度估計RMSE變化曲線

從圖7中可以看出，在SNR較大時，本文方法與文獻[3]方法發射角和接收角估計性能基本一致，而在SNR比較低時，性能比文獻[3]方法要稍好。從圖 7(a)和 7(b)的對照可以看出，發射角估計的RMSE比接收角估計的RMSE要大一些，這是因為本算法是先估計接收角，之后再根據接收角的估計值來估計發射角，可見發射角的估計會受到接收角估計值的影響。通過實驗仿真，本算法能夠實現收發角的自動配對，并具有很好的估計性能。關于接收角估計的誤差對發射角估計精度的影響，是后續工作繼續研究的重點。

實驗4當SNR=5 dB時，發射角和接收角的估 計 值 為 (φ1,θ1) = ( 19.9850°,2 9 .9935°), (φ2,θ2)=(50.0145°, 6 0.0120°)，圖8顯示了發射角和接收角配對估計星座圖，由圖可以看出發射角和接收角的估計很準確，實驗證明該方法具有較好的性能。

6 結論

本文提出了一種基于 FRFT的雙基地 MIMO雷達線性調頻信號參數估計的新方法。在雙基地MIMO雷達中，本文選用線性調頻信號作為發射信號，利用其具有大時寬頻寬積特性，使得匹配濾波器對回波信號的多普勒頻移不敏感，從而獲得更好的低截獲概率特性。依據分數階傅里葉變換對線性調頻信號的能量聚集特性，本文提出了一個新的在分數域內進行參數估計的信號模型，并提出相應的多普勒頻移和時延參數的估計方法，在低信噪比時具有很好的性能。本算法在分數域內構造兩個空間時頻輸出的數據模型，通過 FRFT-MUSIC算法譜峰搜索依次估計接收角和發射角，且實現了收發角的自動配對，不需要額外的配對運算。另一方面，只要目標數目不大于接收陣元和發射陣元數目之和，則本文算法均可給出很好的目標參數估計結果。仿真實驗證明本文提出的方法具有較低的RMSE，具有很好的性能。

圖7 收發角估計的RMSE隨SNR變化曲線

圖8發射角和接收角估計星座圖

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