一種基于二階Markov目標狀態模型的多幀關聯動態規劃檢測前跟蹤算法

鄭岱堃 王首勇 楊 軍 杜鵬飛

(空軍雷達學院 武漢 430019)

1 引言

檢測前跟蹤(Track-Before-Detect, TBD)是一種基于跟蹤的檢測技術，它將雷達各掃描數據幀作幾乎沒有信息損失的相關處理，同時得到檢測結果和目標航跡，目前被認為是檢測弱目標的有效途徑。TBD算法將所有的觀測數據均假設為目標狀態，形成目標狀態序列，即假設航跡，沿航跡進行能量積累從而根據積累值進行檢測判斷。將動態規劃(Dynamic Programming, DP)算法應用于TBD，可在得到全局最優解的前提下大大降低運算量[1]，是一種重要的 TBD實現方法。文獻[2]首次提出了用于弱運動目標檢測的 DP-TBD算法并分析了其性能[3]，該算法把航跡跟蹤中的多階段問題轉化為多個單階段問題，用觀測數據的似然函數對指標函數進行積累更新，并通過搜索指標函數在前一階段的最大值來關聯目標狀態，以分段最優化實現對目標的檢測。文獻[4]考慮了有、無目標兩種假設下的似然函數，以其似然比構造指標函數，提高了檢測性能，但是僅適用于非起伏模型目標；文獻[5]提出直接采用假設目標的信號幅度構造指標函數的 DP-TBD算法，這類算法簡便易行，可以檢測起伏模型的運動目標；文獻[6]利用極限值理論分析了Tonissen算法的性能，給出了虛警概率和檢測概率的近似表達式。近些年對DP-TBD算法的研究[7-13]主要集中于對能量積累中的指標函數的改進和觀測數據的預處理。例如文獻[8]綜合回波數據中的幅度和相位信息，構造了一種復數形式的似然比函數，改善了信噪比性能并且降低了運算量。文獻[9]將目標彌散區域內的多點信號幅度進行空域上的累加，提高了檢測性能，但該方法更適用于光學傳感器而非雷達。上述這些方法都是僅以當前幀觀測數據與前一幀的指標函數進行關聯積累的，對目標狀態在連續幀間的相關性和目標運動特征的考慮不充分。這樣在低信噪比時，容易造成幀間狀態關聯的錯誤，嚴重影響了DP-TBD算法的檢測和跟蹤性能。

針對上述問題，本文利用多幀觀測數據來更新指標函數，進行能量積累和目標關聯，提出了一種多幀數據關聯的 DP-TBD算法。為了實現有效積累，該算法以有目標和無目標假設下的條件概率之比最大為最優準則，充分考慮了目標狀態的相關性，采用二階Markov過程對目標狀態和觀測數據建模，并依據目標的運動特征給出了一種與目標轉彎角度相關的狀態轉移概率模型來修正指標函數。在低信噪比條件下，將本文算法與傳統的DP-TBD算法進行仿真比較，結果表明本文算法的檢測和跟蹤性能明顯優于傳統算法。

2 傳統的DP-TBD算法

雷達在第k次掃描的M×N個分辨單元內的觀測數據可表示為

式中xk=(ik,jk),ik=1,2,… ,M,jk= 1 ,2,…,N，為第k次掃描的位置坐標表示的假設目標狀態；sk表示目標信號幅度，對非起伏目標sk=s;mk(xk)∈{0 ,1}，表示目標存在與否，即當分辨單元(ik,jk)內有目標出現時，mk(xk) = 1，否則mk(xk)=0;vk(xk)為觀測噪聲，通常服從零均值的高斯分布。

DP-TBD算法將航跡跟蹤過程分解為多個階段進行能量積累，通過遞歸求解表征目標能量的指標函數的最大值來進行目標的檢測和跟蹤。設Vk(xk)為由第1幀積累到第k幀時，對應于狀態位置xk的指標函數，表示所有到達第k幀狀態xk的假設航跡中能量最大的航跡的積累值，則傳統DP-TBD算法的基本模型可表示為[5]

其中Tk(xk)為第k-1幀到第k幀的狀態轉移集合，由目標的位置、最大速度等信息得到；Yk(xk)為回溯函數，用來記錄各個階段使指標函數達到最大的目標狀態。

3 基于二階Markov目標狀態模型的多幀關聯DP-TBD算法

為實現基于多幀數據關聯的目標能量有效積累，本文以有、無目標假設下的狀態條件概率之比最大為最優準則，導出了多幀關聯的 DP-TBD算法。在該算法中，提出引入二階 Markov模型進行基于條件概率比的指標函數遞歸計算；在考慮目標狀態相關性的基礎上，根據目標運動特征給出了一種與目標轉彎角度相關的狀態轉移概率模型來修正指標函數。

3.1 基于條件概率比的指標函數遞歸計算模型

雷達在K次掃描中的觀測值zk可表述為二元統計假設

記XK= {x1,x2,… ,xK}為第 1次掃描到第K次掃描的目標狀態序列，ZK= {z1,z2,… ,zK}為第1幀直到第K幀的觀測數據序列。目標狀態序列的對數條件概率密度比可定義為[4]

式中的p(XK|ZK)表示在觀測序列為ZK的條件下，目標存在且狀態序列為XK的概率密度，p(H0|ZK)表示觀測序列為ZK的條件下目標不存在的概率密度。使式(5)取得最大值的目標狀態序列即為最佳的航跡估計值。

在應用DP-TBD求解時，需將式(5)變換為形如式(2)的遞歸形式，根據Bayes原理和條件概率公式，式(5)中目標狀態序列Xk(為不失一般性，在下文的分析中均以Xk代替XK,Zk代替ZK)的條件概率密度可以表示為

同樣，觀測序列條件下目標不存在的條件概率密度為

將式(6)和式(7)代入式(5)，得到對數條件概率比的遞歸形式

考慮到目標運動在相鄰幀間的相關性，設雷達在第k次掃描時的目標狀態與第k-1,k-2,…,k-n(n≥1)次掃描時的狀態均有關，目標狀態序列為n階Markov模型。實際中，目標在第k-3及其之前各次掃描時的狀態對當前狀態的影響較小，故取n=2，則目標狀態序列可用如下的二階Markov模型描述

同樣有

將式(9)和式(10)代入式(8)，得到簡化的遞歸方程為

根據條件概率公式，式(11)中

在式(4)中，假設目標是非起伏的，vk為高斯相關噪聲。此時式(12)中的p(zk,zk-1,zk-2|Xk)和p(zk-1,zk-2|Xk)分別為均值為s，方差為s2，相關系數為r的3維和 2維聯合高斯分布概率密度函數。同樣，無目標假設下，式(13)中p(zk,zk-1,zk-2|H0)和p(zk-1,zk-2|H0)分別為均值為0，方差為s2，相關系數為r的3維和2維聯合高斯分布概率密度函數。

將式(12)，式(13)及其相應的多維聯合分布概率密度函數代入式(11)，得

其中

于是，對數條件概率比的最大化遞歸運算為

由式(15)可知，對目標狀態序列的尋優可遞歸分解為對每一幀的目標狀態的尋優，即第k幀所有的假設航跡的最大能量積累值僅與狀態xk有關。

根據最優化原理，可使用動態規劃算法求解該多階段最優化問題。由于l3為與觀測數據無關的單獨常數項，對于最大化遞歸尋優的同一階段的每一個假設目標狀態，其值都是相等的，所以將其略去并不影響得到最優的航跡估計。這樣，指標函數的遞歸模型即為

由式(16)可見，在關聯算法中，不僅利用了第k幀的觀測數據，也利用了第k-1,k-2幀的觀測數據，實現了基于多幀數據關聯的有效積累。此外，考慮到目標自身的運動特性，對于不同的xk區分對待，用目標的狀態轉移概率p(xk|xk-1,xk-2)修正指標函數。

3.2 目標狀態轉移概率模型

傳統 DP-TBD算法主要通過對觀測數據的積累判斷來進行目標狀態關聯，對目標運動特征的考慮不充分，而式(16)說明目標狀態轉移概率的選擇至關重要。為了提高DP-TBD算法的性能，本文基于目標的運動特征給出了一種與目標轉彎角度相關的狀態轉移概率模型。

圖1描述了在雷達相鄰的3次掃描過程中，當目標的前兩幀狀態xk-2和xk-1確定后，目標在第k幀的狀態xk的出現情況。

圖1 相鄰3次掃描中的目標狀態轉移示意圖

可以看出在xk-2和xk-1確定的條件下，目標狀態xk與其轉彎角度q直接相關，滿足

其中qk∈(-p,p]，目標逆時針轉彎時，qk為正值，否則為負值。基于上述關系，當前幀狀態xk的轉移情況可由隨機變量qk來描述，即

p(qk)為非負函數，與qk的絕對值呈負相關，且在(-p,p]上對qk定積分為 1，滿足概率密度函數的非負性條件和規范性條件。

3.3 多幀數據關聯的DP-TBD算法

綜合以上分析，基于二階 Markov模型的多幀數據關聯DP-TBD算法如下：

(1)初始化 將第1幀各個假設目標狀態所對應的分辨單元內的觀測數據，經由l1加權后，定義為指標函數的初始值V1(x1)，將函數Y1(x1)初始化為(0 ,0)，該函數用來記錄與當前幀當前狀態相關性最大的前一幀的目標狀態，以便回溯航跡。

(2)起始積累 對第 2幀所有分辨單元內的目標狀態x2確定狀態轉移集合：

T2(x2)中的元素為有可能轉移至第2幀位置x2的第1 幀的目標狀態。max和max分別為目標在x方向和y方向的最大速度，T為掃描周期。根據式(16)，按式(23)，式(24)更新指標函數和回溯函數

由于在航跡起始的第1幀和第2幀，目標有可能轉向任何方向，因此p(x2|x1)是狀態轉移集合T2(x2)上的均勻分布。

(3)遞歸積累 當3≤k≤K時，對第k幀的所有分辨單元內的目標狀態確定狀態轉移集合：

(4)檢測k=K時，對VK(xK)做門限檢測。

C為候選航跡終止位置集合。VT為預先設定的檢測門限。

(5)航跡回溯 對所有的＾xK∈C，當k=K-1,K- 2 ,… , 1 時，有

4 仿真實驗

為驗證本文提出的基于二階 Markov目標狀態模型的多幀數據關聯 DP-TBD算法對目標的檢測和跟蹤性能，在高斯相關噪聲條件下，從跟蹤航跡、平均跟蹤誤差和航跡檢測概率幾個方面進行仿真分析，并與傳統的Tonissen類DP-TBD算法[5]進行比較。

4.1 仿真條件

(1)雷達和目標參數 假設雷達在x方向的觀測范圍為150~200 km,y方向的觀測范圍為120~170 km,x和y方向上的距離分辨單元均為 100 m，觀測誤差為半個分辨單元，共掃描 20幀，掃描周期T= 1 s ；設目標在雷達掃描過程中全程出現，從初始位置(180 km, 160 km)開始，第1~10 s做勻速直線運動，x和y方向上的速度均為100 m/s; 11~15 s做轉彎速率為0.35 rad/s的順時針轉彎運動，16~20 s又恢復勻速直線運動。目標是非起伏的，其信號幅度為確定值。

(2)觀測噪聲參數 觀測噪聲vk為高斯分布，考慮一般情況，vk為相關過程。因此，本文使用自回歸(Auto Regressive, AR)模型的輸出序列得到高斯相關噪聲

其中ai(i= 1 ,2,… ,P)為模型系數，P為模型的階數，wk為高斯白噪聲序列。仿真中取P=3,a1=-2,a2=1.7,a3=0.64;wk～N( 0,1)。

(3)性能統計指標及其它相關參數 設第k次掃描時，目標的真實位置為l(k)，第i次 MonteCarlo仿真對目標位置的估計值為(k)，則均方根誤差為

其中MC為MonteCarlo仿真次數。

將均方根誤差對k取得的平均值定義為平均RMSE。

航跡檢測概率用PD表示，它被定義為檢測到目標并且在恢復航跡過程中至少有兩個以上的單元為真實目標單元的概率[14]，本文以MonteCarlo仿真來近似。仿真中取MC=200。

4.2 仿真結果和性能分析

在SNR=6 dB時，兩種算法的航跡跟蹤效果如圖2所示。從中可以看出，本文算法的跟蹤效果要優于傳統算法，尤其是在目標機動轉彎之后，傳統算法已經丟失目標，而本文算法依然具有良好的跟蹤效果。

圖3給出了SNR=6 dB時兩種算法的均方根誤差曲線。從圖中可以看出，本文算法的均方根誤差明顯小于傳統算法，尤其是在目標機動轉彎的第11~15 s，跟蹤性能的優勢十分顯著；就整個跟蹤過程而言，本文算法和傳統算法的平均RMSE分別為5.83和8.26，與傳統算法相比，本文算法的誤差降低了29.42%。此外，在航跡的起始和結束時，算法的跟蹤誤差較大，這是由于在跟蹤的初始階段積累幀數較少，而目標每一幀的能量積累值會擴散到下一幀的鄰域窗內，在積累末段形成虛警點團，所以與中段相比，其誤差較大。

圖 4比較了不同信噪比下兩種算法的平均誤差。從中可以看出，本文算法的平均誤差要小于傳統算法，誤差平均降低了20%左右。而且在信噪比較低時，本文算法跟蹤性能的優勢更加顯著。

為了驗證本文算法的檢測性能，圖5給出了虛警概率為 1 0-3時，兩種算法在不同信噪比下的航跡檢測概率。從中可以看出，當檢測概率為 0.5時，本文算法的檢測性能比傳統算法的信噪比改善了1.5 dB左右。

以上的仿真結果和分析表明，本文提出的基于二階Markov目標狀態模型的多幀關聯DP-TBD算法的檢測和跟蹤性能均優于傳統DP-TBD算法。此外，本文算法雖然是在非起伏目標模型的假設下推導出的，但對于起伏模型目標同樣適用，對信號幅度服從瑞利分布的Swerling-Ⅰ型目標的仿真實驗表明，本文算法的檢測和跟蹤性能也比傳統算法有較大的提高。

圖2 二階Markov多幀關聯DP-TBD與傳統DP-TBD的跟蹤性能比較(SNR=6 dB)

圖3 二階Markov多幀關聯DP-TBD與傳統DP-TBD跟蹤的均方根誤差曲線(SNR=6 dB)

圖4 二階Markov多幀關聯DP-TBD 與傳統DP-TBD跟蹤的平均誤差曲線

圖5 二階Markov多幀關聯DP-TBD與傳統DP-TBD的航跡檢測概率曲線

5 結束語

傳統DP-TBD算法僅使用當前幀數據的觀測信息來進行能量積累和目標關聯，未充分考慮目標狀態在連續幀間的相關性和目標運動特征，對目標鄰域窗內各狀態的指標函數不加區分地同等積累，在低信噪比情況下極易造成狀態關聯錯誤，影響DP-TBD算法的檢測和跟蹤性能。因此本文提出了多幀數據關聯的DP-TBD算法。該算法以有、無目標假設下的狀態條件概率之比最大為最優準則，考慮了目標狀態的相關性，采用二階Markov模型對關聯算法建模，并依據目標的運動特性，給出了一種與目標轉彎角度相關的狀態轉移概率模型來修正積累。仿真結果表明本文算法的檢測及跟蹤性能明顯優于傳統算法。

[1]Leon Cooper and Mary W Cooper,著, 張有為, 譯. 動態規劃導論[M]. 北京: 國防工業出版社, 1985: 11-24.

[2]Barniv Y. Dynamic programming solution for detecting dim moving targets[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1985, AES-21(1): 144-156.

[3]Barniv Y and Kella O. Dynamic programming solution for detecting dim moving targets Part II: analysis[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1987,AES-23(6): 776-788.

[4]Arnold J, Shaw S, and Pasternack H. Effcient target tracking using dynamic programming[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1993, 29(1): 44-56.

[5]Tonissen S M and Evans R J. Performance of dynamic programming techniques for track-before-detect[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1996,32(4): 1440-1451.

[6]Johnston L A and Krishnamurthy V. Performance analysis of a dynamic programming track before detect algorithm[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2002, 38(1): 228-242.

[7]譚曉宇, 陳謀, 姜長生. 改進動態規劃算法在小目標檢測中的應用[J]. 光電工程, 2008, 35(5): 23-27.

Tan Xiao-yu, Chen Mou, and Jiang Chang-sheng.Application of improved dynamic programming algorithm in small targets detection[J].Opto-Electronic Engineering, 2008,35(5): 23-27.

[8]Davey S J, Cheung B, and Rutten M G. Track-before-detect for sensors with complex measurements[C]. 12th International Conference on Information Fusion, Seattle, WA,USA, 2009: 618-625.

[9]張玉葉, 王春歆. 基于改進DPA的空間小目標檢測算法[J].電子學報, 2010, 38(3): 556-560.

Zhang Yu-ye and Wang Chun-xin. Space small targets detection based on improved DPA[J].Acta Electronica Sinica, 2010, 38(3): 556-560.

[10]陳翼, 王盛利. 一種基于相參積累的檢測前跟蹤算法[J]. 現代雷達, 2010, 32(5): 26-30.

Chen Yi and Wang Sheng-li. A track-before-detect algorithm based on coherent integeration[J].Modern Radar, 2010, 32(5):26-30.

[11]Liu N, Li L, and Yang J. The reunite effect eliminating using dynamic programming in track before detect algorithm based on passive millimeter waves[C]. 2010 2nd International Conference on Signal Processing Systems, Dalian, China,2010, 3: 653-657.

[12]Yue S, Kong L, Yang J,et al.. Tracking accuracy analysis of dynamic programming track before detect algorithm[C]. 2010 International Conference on Communication, Circuits and Systems (ICCCAC), Chengdu, China, 2010: 441-443.

[13]Zhang Hai-ying, Duan Hong, and Liao Ming-hong. The TBD method for dim targets based on multi-lever crossover and matching operator[J].Journal of Harbin Institute of Technology, 2011, (1): 57-61.

[14]強勇. 超視距雷達抗干擾與目標檢測方法[D]. [博士論文], 西安電子科技大學, 2004.

Qiang Yong. Suppressing interference and target detection for over-the-horizon radar[D]. [Ph.D. dissertation], Xidian University, 2004.