采用Radon-Wigner變換的二維波達(dá)方向估計(jì)

許建忠 孫紅偉 孫業(yè)岐 段平光

①(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 保定 071002)

②(河北大學(xué)工商學(xué)院 保定 071002)

1 引言

線性調(diào)頻信號(hào)(LFM)是一種特殊的非平穩(wěn)信號(hào)，在通信、雷達(dá)、聲納等系統(tǒng)中都有著廣泛的應(yīng)用，針對(duì)此類信號(hào)的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)問(wèn)題日益受到人們的重視。近年來(lái)，為對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行有效的 DOA估計(jì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不少有效的方法。文獻(xiàn)[1-3]提出空間時(shí)頻矩陣的概念，將Wigner-Ville分布(WVD)應(yīng)用于陣列信號(hào)處理中，但在多信號(hào)情況下，WVD存在的交叉項(xiàng)影響了這些方法對(duì)信號(hào)的選取和 DOA估計(jì)的精度；文獻(xiàn)[4]采用短時(shí)傅里葉變換建立空間時(shí)頻分布，避免了WVD交叉項(xiàng)的干擾，實(shí)現(xiàn)了2維的DOA估計(jì)，但存在復(fù)雜的參數(shù)配對(duì)；文獻(xiàn)[5]利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)良好的時(shí)頻聚集特性在FRFT域結(jié)合子空間方法實(shí)現(xiàn)了LFM信號(hào)的2維DOA估計(jì)，但該方法減少了陣列的孔徑，其精度等參數(shù)存在一定的限制。

本文將Radon-Wigner變換(RWT)方法引入到陣列信號(hào)處理中，結(jié)合 MUSIC算法，提出了一種基于RWT的LFM信號(hào)2維DOA估計(jì)算法，該算法能夠抑制WVD存在的交叉項(xiàng)干擾，并可以同時(shí)進(jìn)行多個(gè)LFM信號(hào)的DOA估計(jì)，具有在低信噪比情況下進(jìn)行 DOA估計(jì)的能力。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。

2 陣列信號(hào)模型

假設(shè)空間存在L個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)，入射到一個(gè)均勻豎直平面陣上，如圖1所示，均勻平面陣是由M×N個(gè)全向天線陣元等間距排列在平面上組成[6]。參考陣元為坐標(biāo)原點(diǎn)，陣元間隔為d，則第p行，q列陣元的輸出為

圖1 均勻平面陣豎面放置結(jié)構(gòu)示意圖

式中fl0和βl分別是線性調(diào)頻信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻斜率，npq(t)為相互獨(dú)立的高斯白噪聲，為信號(hào)sl(t)在(p,q)陣元相對(duì)于參考陣元的延時(shí)，

其中c為電磁波傳播速度，θl,φl(shuí)分別為第l個(gè)入射信號(hào)的方位角和俯仰角。

假設(shè)陣列中各陣元各項(xiàng)同性且無(wú)通道不一致、互耦等因素的影響，式(1)中的可以省略(即歸一化為1)，將所有陣元輸出寫(xiě)成向量形式，并將sl(t)代入，可以得到

其中

為第l個(gè)信號(hào)在M×N平面陣列中的時(shí)變方向向量。

3 基于Radon-Wigner變換的陣列模型

3.1 Radon-Wigner變換

連續(xù)解析信號(hào)x(t)的WVD為

WVD對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)具有很好的時(shí)頻聚集性，但在分析多個(gè)信號(hào)時(shí)，在信號(hào)之間、信號(hào)和噪聲之間存在著嚴(yán)重的交叉項(xiàng)，影響了對(duì)有用信號(hào)的檢測(cè)。而RWT是對(duì)信號(hào)的WVD時(shí)頻平面作直線積分投影的Radon變換，通過(guò)Radon變換對(duì)WVD平面進(jìn)行積分可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)項(xiàng)的聚集和交叉項(xiàng)的平滑，在一定程度上能夠抑制交叉項(xiàng)的影響。

在WVD時(shí)頻平面中，若用f軸的f0和斜率β為參數(shù)來(lái)表示直線，則當(dāng)沿f=f0+βt作直線積分時(shí)，可以得到用(f0,β)表示的 RWT[7]。

式(7)表明，若x(t)為參數(shù)f0和β的LFM信號(hào)，則積分值最大，而當(dāng)參數(shù)偏離f0,β時(shí)積分值迅速減小。因而對(duì)一定的LFM信號(hào)其RWT會(huì)在對(duì)應(yīng)的參數(shù)(f0,β)處呈現(xiàn)尖峰，由此在RWT域中可容易地將信號(hào)與交叉項(xiàng)區(qū)分開(kāi)。同時(shí)，利用 RWT可以實(shí)現(xiàn)LFM信號(hào)的檢測(cè)[8]，并在給定虛警概率的情況下檢測(cè)信號(hào)源的個(gè)數(shù)。

3.2 陣列信號(hào)的Radon-Wigner變換

由式(1)，式(2)可知，第(p,q)陣元接收到的sl(t)為

顯然，式(8)中第1項(xiàng)是一個(gè)只與延時(shí)有關(guān)的常量，LFM信號(hào)延時(shí)后并不改變信號(hào)的調(diào)頻率，改變的只是初始頻率和相位。對(duì)其進(jìn)行RWT，有

由此可見(jiàn)，陣列的方向向量是延時(shí)τ的變量，即方位角θ和俯仰角φ的變量。

4 基于MUSIC的DOA估計(jì)算法

將式(10)寫(xiě)成陣列向量形式為

Nr(t)為噪聲向量。與陣列輸出表達(dá)式(13)對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為[9]

其中US和UN分別對(duì)應(yīng)了信號(hào)子空間和噪聲子空間。這樣，根據(jù)MUSIC算法即可得到第l信號(hào)的空間譜為

對(duì)式(19)進(jìn)行2維譜峰搜索，即可得到第l信號(hào)的方位角θl和俯仰角φl(shuí)。

綜合上面的內(nèi)容，基于RWT的DOA估計(jì)算法的具體步驟為：

(1)對(duì)陣元上接收的信號(hào)進(jìn)行 RWT，得到Rs(u,α)，通過(guò)峰值搜索，求出各個(gè)LFM信號(hào)對(duì)應(yīng)的(ul,αl) ；

(2)由式(10)-式(12)重構(gòu)信號(hào)陣列模型；

(3)由重構(gòu)的信號(hào)陣列，得到相關(guān)矩陣RXX；

(4)對(duì)RXX進(jìn)行特征分解，得到信號(hào)子空間和噪聲子空間，由式(19)對(duì)P(θ,φ)進(jìn)行最大譜峰搜索，當(dāng)P(θ,φ)為最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ即為估計(jì)的信號(hào)入射方位角，φ為估計(jì)的信號(hào)入射俯仰角；

(5)存在多個(gè)LFM信號(hào)時(shí)，重復(fù)(2)～(4)，分別得到各信號(hào)的波達(dá)方向。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)陣列形式為8×8個(gè)陣元的均勻平面陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，以均勻平面陣軸線方向?yàn)閰⒖迹瑑蓚€(gè) LFM 信號(hào)分別以(5°,10°), (- 1 0°,2 5°)入射到陣列上，經(jīng)去載頻后的中心頻率分別為f10= 1 00 MHz,f20= 8 0 MHz，調(diào)頻率分別為β1=80 MHz/μ s,β2=60 MHz/μs，采樣率為400 MHz，采樣快拍數(shù)為200，陣元噪聲為相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲。

(1)DOA估計(jì)實(shí)現(xiàn) 由圖2中RWT的3維時(shí)頻圖可見(jiàn)，在信噪比為-5 dB時(shí)，兩個(gè)LFM 信號(hào)在RWT域中非常突出，有著明顯的尖峰，交叉項(xiàng)和噪聲引起的干擾很小，可以很容易地分辨出來(lái)，從而確定其(u,α)值。

圖3為信噪比等于-5 dB時(shí)，入射信號(hào)經(jīng)Radon-Wigner變換后重構(gòu)信號(hào)陣列并進(jìn)行2維MUSIC空間譜估計(jì)的結(jié)果，由其峰值位置可以得到兩個(gè)信號(hào)的入射角估計(jì)分別為(5.163°,1 0 .239°), (- 9 .763°,25.327°)。

式中RMSEθl, RMSEφl(shuí)分別為估計(jì)的方位角和俯仰角的均方根誤差。

在不同的信噪比下分別進(jìn)行200次的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，得到 DOA估計(jì)值的均方根誤差與信噪比的關(guān)系曲線，并與基于FRFT的算法[5]進(jìn)行了比較，如圖4所示。由圖可見(jiàn)在低SNR下本方法也具有較高的估計(jì)精度，說(shuō)明本文提出算法的有效性并優(yōu)于FRFT算法，在同樣的信噪比下，本文算法的估計(jì)精度優(yōu)于FRFT算法，其原因在于RWT對(duì)LFM信號(hào)具有更好的時(shí)頻匯聚能力，同時(shí) RWT中的線積分能夠平滑高頻振蕩，抑制噪聲。

圖2 陣元信號(hào)的Radon-Wigner變換

圖3 入射角度估計(jì)

圖4 DOA估計(jì)值的RMSE隨SNR的變化曲線

圖 5給出了基于 FRFT算法與本文算法進(jìn)行DOA估計(jì)的檢測(cè)概率隨信噪比變化的比較曲線，檢測(cè)概率[10]定義為P=Nr/N,Nr為 DOA估計(jì)值與入射角度值相差小于0.1°的次數(shù)，N為進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的總次數(shù)，仿真次數(shù)同上。從仿真結(jié)果可以看到，本文算法比基于FRFT算法降低了信噪比門(mén)限，在同樣的信噪比下，本文算法的檢測(cè)概率高于FRFT算法。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文利用 RWT可有效去除交叉項(xiàng)干擾并具有很好的時(shí)頻匯聚性特點(diǎn)，對(duì)陣元接收的LFM信號(hào)進(jìn)行變換，構(gòu)造 RWT域的陣列數(shù)據(jù)向量，將陣列信號(hào)的時(shí)變方向矩陣變換為非時(shí)變方向矩陣，從而利用MUSIC空間譜分析方法實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)LFM信號(hào)的DOA估計(jì)，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。

圖5 檢測(cè)概率隨SNR的變化曲線

[1]Belouchrani A and Amin M G. Time-frequency MUSIC[J].IEEE Signal Processing Letters, 1999, 6(5): 109-110.

[2]Gershman B and Amin M G. Wideband direction of arrival estimation of multiple chirp signals using spatial timefrequency distribution[J].IEEE Signal Processing Letters,2000, 7(6): 152-155.

[3]Zhang Y, Mu W, and Amin M G. Subspace analysis of spatial time-frequency distribution matrices [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49(4): 747-759.

[4]李立萍, 黃克驥, 陳天麒. 基于 STFT的相干寬帶調(diào)頻信號(hào)2-D 到達(dá)角估計(jì)[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2005, 27(11):1760-1764.

Li Li-ping, Huang Ke-ji, and Chen Tian-qi. 2-D DOA estimation of coherent wide-band FM signals based on STFT[J].Journal of Electronic&Information Technology,2005, 27(11): 1760-1764.

[5]楊小明, 陶然. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號(hào)二維波達(dá)方向估計(jì)[J]. 電子學(xué)報(bào), 2008, 36(9): 1737-1740.

Yang Xiao-ming and Tao Ran. 2-D DOA estimation of LFM signals based on fractional Fourier transform[J].Acta Electronica Sinica, 2008, 36(9): 1737-1740.

[6]楊雪亞, 陳伯孝. 一種新的二維角度估計(jì)的高分辨算法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2010, 32(4): 953-958.

Yang Xue-ya and Chen Bai-xiao. A high-resolution method for 2-D DOA estimation[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2010, 32(4): 953-958.

[7]胡航. 利用 Radon-Wigner變換提高 LFM 信號(hào)的時(shí)頻 DOA估計(jì)性能[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 41(7): 26-29.

Hu Hang. Improvement of DOA estimation performance for LFM signals using Radon-Wigner transform[J].Journal of Harbin Institute of Technology, 2009, 41(7): 26-29.

[8]張賢達(dá), 保錚. 非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1998: 177-180.

Zhang Xian-da and Bao Zheng. Nonstationary Signal Analysis and Processing[M]. Beijing: Defense Industry Press,1998: 177-180.

[9]劉小河, 王建英, 郭洋, 等. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的寬帶LFM 相干信號(hào)二維 DOA估計(jì)[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2010,25(3): 413-418.

Liu Xiao-he, Wang Jian-ying, Guo Yang,et al.. 2-D DOA estimation of coherent wideband LFM sources based on fractional Fourier transform[J].Journal of Data Acquisition&Processing, 2010, 25(3): 413-418.

[10]李會(huì)勇, 侯碧波, 何子述, 等. 一種互耦條件下多徑信號(hào)的2D DOA估計(jì)方法[J]. 信號(hào)處理, 2011, 27(4): 634-639.Li Hui-yong, Hou Bi-bo, He Zi-shu,et al.. A novel method for multipath signals’2D DOA estimation in the presence of mutual coupling[J].Signal Processing, 2011, 27(4): 634-639.