鋼筋混凝土復雜邊界支承矩形板的受力分析

顏媛媛 鄒玉廣

(1．南京理工大學紫金學院機械系，江蘇 南京 210046; 2．泰州科技學院，江蘇泰州 225300)

0 引言

工程實踐中，往往會出現復雜邊界且角點自由矩形板，如無梁陽臺板等。這類板的內力變形相對比較復雜，尚無精確的分析方法，可用差分法、有限元法等求得數值解，如能推導出完整的撓度表達式，其內力分析和設計制表將變得非常簡便。

本文依據彈性薄板理論，先將復雜邊界支承板分割成兩塊簡單邊界板，并在公共邊界處引入廣義支承邊概念，再對每塊簡單邊界板進行疊加求解，進而利用板的邊界條件和兩板間的幾何相容條件聯立求解出基本未知量，最后得到原問題的解析解，經驗算，計算結果可靠，可作為數值解校核的依據或在工程設計中直接采用。

1 基本結構及邊界條件

考察見圖1的矩形薄板OABC受均布荷載q時的彎曲問題。

圖1 復雜邊界角點自由矩形板示意圖

按照小撓度理論，板的撓度勢函數W(x，y)應滿足如下的微分方程:

其中，W為板的位移函數;q(x，y)為作用在板上的橫向荷載;D為抗彎剛度。

在板的各段邊界上，還應滿足下列邊界條件:

OC，OD，CE 邊固支，AB，AD，BE 邊自由:

此外，還有A，B角點自由條件:

由于邊界條件比較復雜，現將原矩形板分割為兩塊簡單邊界板進行分析，如圖2所示。

圖2 被分割成兩塊簡單邊界矩形板

板Ⅰ，Ⅱ的公共邊界ED為廣義支承邊，設廣義支承邊處存在的位移和彎矩分別為:

則廣義支承邊ED滿足以下兩個相容條件:

剪力相等:

轉角相等:

2 運用疊加法求解兩分塊簡單矩形板

2．1 疊加法求解板Ⅰ

對于板Ⅰ，可由下列5個基本問題的解疊加而成，如圖3所示。

1)四邊簡支，受均布荷載q作用時板Ⅰ的解，如圖3a)所示。

圖3 板Ⅰ 的疊加法求解示意圖

2)四邊簡支，在 OC邊上作用分布彎矩 My，設為:如圖3b)所示。

3)四邊簡支，在 OE和CD兩邊上作用有分布彎矩，設為:如圖3c)所示。

4)四邊簡支，在ED邊上作用有廣義支承邊彎矩My，由廣義支承邊定義可知:

5)四邊簡支，在ED邊上有廣義支承邊撓度Wy，由廣義支承邊定義可知:

2．2 疊加法求解板Ⅱ

對于第Ⅱ塊板，可由6個基本問題的解疊加得到，見圖4。

1)四邊簡支，受均布荷載q作用時板Ⅱ的解，如圖4a)所示。

圖4 板Ⅱ 的疊加法求解示意圖

2)ED和AB兩邊簡支，AE和BD邊兩邊廣義簡支，且在兩廣義簡支邊上有對稱的撓度W，設為:

3)四邊簡支，ED邊作用有廣義支承邊撓度W，由板Ⅰ，Ⅱ的相容條件可知，廣義支承邊的撓度為:

4)四邊簡支，AB邊有支座沉降位移W，設為:

5)四邊簡支，ED邊上作用有廣義支承邊分布彎矩My，由板Ⅰ，Ⅱ的相容條件可知:

6)角點A，B具有剛性位移時的解:

3 聯立求解復雜邊界且角點自由矩形板

如圖1所示復雜邊界且角點自由矩形板可采用上述11個基本問題所分解組成，則共引入了 7 組未知量:λm，Lm，Em，Hm，Dn，Fn，K，可由四個邊界條件、一個角點條件及兩個相容條件確定。

當y≤(1－ζ)b時，y=0，x=0及x=a這三邊位移為0的條件已自動滿足，這三邊的未知彎矩可由對應邊轉角為0的邊界條件確定，由于x=0及x=a兩邊對稱，故可得兩個獨立的方程。

同理，當(1 － ζ)b≤y≤b時，y=ζb，x=0 及x=a三邊彎矩為0的條件已自動滿足，這三邊的未知撓度可由剪力為0的條件確定，又可得兩個獨立的方程。

另外，還有一個獨立的角點自由條件及板Ⅰ，Ⅱ公共邊界處兩個相容條件，這樣總共得到7個方程，具體的邊界條件如下:

1)板Ⅰ中x=0邊上轉角:

2)板Ⅰ中y=0邊上轉角:

3)板Ⅱ中x=0邊上剪力:

4)板Ⅱ中y2=ζb邊上剪力:

5)在x=0，y2=ζb角點自由處反力:

6)廣義支承邊撓度W相容條件:

7)廣義支承邊彎矩My相容條件:

聯立求解7個方程，當截斷級數最大項數取M=N時，可以得到7N個線性代數方程，運用Mathematica語言編程求解聯立方程即可得到全部的待定常數。

4 算例分析

如圖1所示鋼筋混凝土復雜邊界且角點自由矩形板，取板厚h=100 mm，邊長為 a=3 000 mm，b=4 500 mm，ζ=0．25，E=3．0 ×104MPa，泊松比μ=0．2，承受均布荷載q，分別采用本文方法和有限元進行計算。運用Mathematica語言編程求解出部分網點的撓度和彎矩系數表，計算結果如表1所示。

表1 矩形板在均載作用下的撓度和彎矩系數表

從算例分析也驗證了本文方法的可靠性，當取最大項數M=N=60時，其數值結果能滿足工程精度要求。在計算機條件較好的今天，可按需要方便地調節項數，以滿足局部高精度要求。根據各點的撓度計算結果，按比例描繪出矩形板的撓度軸測圖，如圖5所示(虛線代表板的原圖，實線代表板的變形圖)。

圖5 復雜邊界且角點自由矩形板的撓度軸測圖

5 結論與建議

本文給出了復雜邊界支承矩形板的撓度和彎矩的表達式，利用計算機編程語言的獨到優勢，較好的解決了復雜邊界支承矩形板的受力分析問題，并得出如下結論和建議:

1)該復雜邊界且角點自由板由于懸挑板的根部不為固定端，懸挑板的撓度相對較大，而增加板厚對減小撓度效果較明顯。

2)當該矩形板的總體尺寸確定后，減小懸臂外挑的尺寸即ζ值，可降低懸挑板的撓度。

3)實際工程中，設計人員可利用本文方法制作系數表或者直接使用公式程序對此類板進行計算。

4)對于板內彎矩最大值的求解，可在局部區域內按一定網格依次取點試算，直至能達到工程精度要求。

5)用本文方法及程序，可計算任意材料、任意尺寸矩形板的撓度和彎矩系數，也可對常見尺寸的撓度和彎矩系數制表，為此類板的受力分析和工程設計提供參考。

［1] 鐵摩辛柯．板殼理論［M］．北京:科學出版社，1997:189-238．

［2] 朱敬舉，付寶連．彈性矩形薄板穩定問題的廣義位移解及應用［D］．秦皇島:燕山大學，2001:18-23．

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