關于古典概型中一類問題的注解*

華 銳，成繼紅

(1．湖北科技學院 數學與統計學院，湖北 咸寧 437000;2．新鄉學院 數學系，河南 新鄉 453000)

1 問題的提出

在古典概型中，有一類問題，讓學生百思不得其解，例題如下：

例：兩個質地均勻的硬幣，有正反面之分，問：(1)先后投擲兩個硬幣，兩次是不同面的概率是多少?(2)兩個硬幣一起投出去，不同面的概率是多少?

有學生對上面例題的解答為：

這兩個問題的答案似乎都很充分的，是正確的，但是參考答案顯示解1是正確的，解2是錯誤的．解1中，以為兩個硬幣分別投擲，結果當然有順序問題，樣本空間沒有問題，確是古典概型，

問題2是否是古典概型，我們可以用以下兩種方法，進行論證．

2 問題的解決

2．1 利用獨立性驗證

顯然，同時投擲兩枚硬幣，在互不干擾的情形下，我們可以假設他們是相互獨立的，根據獨立性的定義：若事件A，B 相互獨立，則

表2．1 利用獨立性驗證實驗結果

2．2 蒙特卡洛模擬

我們可以用蒙特卡洛法來模擬我們對于此題的2．1中提到的結果，本文分別進行了500，1000，2000次進行了模擬，得到如下結論：

表2．1 利用利用蒙特卡洛法驗證實驗結果

可見，隨著實驗次數的不斷增加，兩面不相同的的概率幾乎接近1/2，而其他的樣本則接近1/4．也即是若把樣本空間看成是Ω={(兩面同為正)，(兩面同為反)，(兩面不相同)}，則每種情況出現的概率是不相同的，不是古典概型．

2．3 直觀理解法

3 問題的總結

本文用了理論推導和實驗兩種不同的方法都證實，同時拋擲兩個質地均勻的硬幣，如果把樣本空間看成是Ω={(兩面同為正)，(兩面同為反)，(兩面不相同)}時，這并不是一個古典概型．不過，我們通過獨立性的證明過程可以清楚的看到，如果把樣本空間看成是Ω={(正，反)，(反，反)，(正，反)，(反，正)}，則是古典概型．事實上，只不過是Ω ={(正，反)，(反，反)，(正，反)，(反，正)}的一個不同角度的理解，是 Ω ={(正，正)，(反，反)，(正，反)，(反，正)}的一個拓展，本質上仍然是古典概型．

所以，雖然在字面上看，“兩個硬幣分別投擲”和“兩個硬幣一起投擲”存在本質的區別，但實際上，只是問題的“一體兩面”．

4 問題的拓展

這種問題在各種版本的《概率論與數理統計》的書上均有體現，將此題中的硬幣換成四角體，這便成了梁之舜版的例1．5．2［1］;如果將硬幣換成男孩，女孩，便成了魏宗舒版的例1．15［2］;如果將硬幣換成骰子，則成了盛驟版的例1．4．1［3］．

此問題的錯誤具有代表性，在教學中，建議廣大教師應該注明此點，便于學生的理解．

［1］梁之舜．概率論與數理統計［M］．北京：高等教育出版社，2009，9：13．

［2］魏宗舒．概率論與數理統計［M］．北京：高等教育出版社，2008，5：21．

［3］盛驟．概率論與數理統計［M］．北京：高等教育出版社，2009：11．