一維雙極漂移——擴(kuò)散方程在半空間上的解的漸近性*

周 芳，黃 娟

(1．湖北科技學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 咸寧 437100;2．咸寧溫泉中學(xué)數(shù)學(xué)組，湖北 咸寧 437100)

0 引言

本文中，我們考察下列一維經(jīng)典雙極漂移—擴(kuò)散方程：

這里n1=n1(x，t)和n2=n2(x，t)分別表示電子和孔穴的密度，E=E(x，t)表示電場，P(ni)(i=1，2)是壓力函數(shù)，f1=f1(x，t)和f2=f2(x，t)分別表示電子和孔穴的合成函數(shù)，μ1和μ2表示電子的遷移率．方程(1．1)是最簡單的宏觀半導(dǎo)體方程．

近來，有許多作者討論了古典漂移—擴(kuò)散方程(1．1)．Markowich，Ringhofev和Schmeiser以及Kobayashi，Kurokiba和Kawashikawa討論了它的有界域和無界域的穩(wěn)態(tài)解的存在性．Mock建立了三維Neumann邊值條件的初邊值問題的光滑解的整體存在性和漸近行為．Fang和Ito也研究了相應(yīng)的多維漂移—擴(kuò)散方程的有Dirichlet邊值條件的初邊值問題的解的整體存在性和漸近行為．而Gajewski，Gajewski和Groger以及Ju¨ngel分別建立了更一般的漂移—擴(kuò)散方程的初邊值的整體解的存在唯一性．近來，Kobayashi和Ogawa也討論了相似的問題．既然雙極漂移—擴(kuò)散方程是雙極半導(dǎo)體方程的松弛時間極限，同時許多作者已經(jīng)考察了雙極半導(dǎo)體方程的初值問題的光滑解和弱解的擴(kuò)散波現(xiàn)象．因此，我們相信當(dāng)時間t大的時候，雙極漂移—擴(kuò)散方程的解也收斂到該非線性擴(kuò)散波．近來，Li，Zhang，Zhang和Hao考察了雙極漂移—擴(kuò)散方程的初值問題的強(qiáng)解的整體存在性和擴(kuò)散波現(xiàn)象．在本文，我們打算考察相應(yīng)的初邊值問題，即討論一維雙極漂移—擴(kuò)散方程的初邊值問題的強(qiáng)解的非擴(kuò)散波現(xiàn)象．

為簡單起見，這里我們僅僅討論下面的簡化方程：

具有初邊值條件

定理1．1 設(shè)P(n)是光滑函數(shù)，且當(dāng)n＞0時，P＇(n)＞0．假設(shè)n10(x)－n+，n20(x)－n+∈L1(R+)滿足(2．4)，(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)∩L1(R+)×H3(R+)∩L1(R+)滿足 ‖(n10－n+，n20－n+)‖L1(R+)‖(φ10，φ20)‖3+‖(φ10，φ20)‖L1(R+)+δ0＜＜1，則初邊值問題(1．2)－(1．3)具有一個唯一的整體解(n1，n2，E)(x，t)∈ (L∞［0，T］H2(R+))∩L2［0，T］，H3(R+)2×L∞［0，T］，(H3(R+))∩L2［0，T］，H4(R+)，滿足

這里C＜0和α＞0是常數(shù)．

注1．2 討論相應(yīng)的多維漂移—擴(kuò)散方程的類似的結(jié)果也是非常有意義的，這在我們以后的工作中再來討論．

1 非線性擴(kuò)散波

在這一節(jié)，我們主要構(gòu)造非線性擴(kuò)散波．首先我們定義

這里函數(shù)φ(x，t+1)(使用t+1，而不使用t是為了避免解在t=0的奇性．)滿足

即

具有初邊值

這里φ0(x)是一個給定的光滑函數(shù)滿足

已經(jīng)有作者使用了格林函數(shù)的方法和能量估計(jì)已經(jīng)證明了φ(x，t)的存在性，并且

和

和邊值條件

根據(jù)(2．5)和(2．6)，，我們有

引理2．1若珔i(x，t)(i=1，2)如上面的定義，則

2 整體存在性和衰減率

在這一節(jié)，我們主要證明(1．2)－(1．3)的解的整體存在性和漸近行為．首先，令

具有初邊值條件

這里

另外，注意

為了后面的使用，我們也導(dǎo)出E滿足的方程：

具有初邊值條件

首先，使用標(biāo)準(zhǔn)的方法，我們能證明(3．1)－(3．3)的局部解的存在性．這里我們僅僅給出結(jié)果，而省略細(xì)節(jié)．

引理3．1 設(shè)P(n)是光滑函數(shù)，且當(dāng)n＞0時有P＇(n)＞0，假設(shè)(φ10，φ20)(x)∈H3(R+)×H3(R+)，那么對某個時間T＞0，初值問題有一個唯一的解(φ1，φ2)∈L∞(［0，T］，H3(R+))∩L2(［0，T］，H4(R+))

注3．2 事實(shí)上，根據(jù)(3．4)我們有

使用連續(xù)性方法，為了推廣局部解到整體解，我們僅僅需要(φ1，φ2)的先驗(yàn)估計(jì)．因此，在下面我們著重建立(φ1，φ2)的先驗(yàn)估計(jì)．為此，我們記

現(xiàn)在我們給出先驗(yàn)估計(jì)如下．

證明 分別用φ1乘以(3．1)，用φ2乘以(3．2)，然后在R+積分得

另外，注意到

它和(3．8)— (3．9)一起蘊(yùn)含了

因此，聯(lián)立(3．10)和(3．11)，立即得到命題 3．3 的證明．

根據(jù)命題3．3和連續(xù)性方法，我們能把(3．1)－(3．3)的局部解推廣成整體解．

其次，我們能導(dǎo)出電場E的指數(shù)衰減率．首先，根據(jù)上面的結(jié)果，我們知道強(qiáng)解(φ1，φ2，E)滿足

那么根據(jù)Sobolev嵌入定理，知

從而，由(3．1)－(3．2)有，得

那么，我們有

引理3．5 假設(shè)(φ1，φ2)是(3．1)－(3．3)的整體光滑解，則電場E滿足下式

證明 在(3．5)兩邊乘以 ，然后在 上積分得到

又由Gronwall不等式知，存在正數(shù)α1，使得

成立

相似的，存在正數(shù)α2和α3，使得

和

取 α=min{α1，α2，α3}，我們即得(3．15)．

利用E的指數(shù)衰減率，下面我們導(dǎo)出φ1和φ2的代數(shù)衰減率．

證明 在(3．1)兩邊乘以(1+t)φ1x，然后在R+上積分得到

利用引理2．1 和(3．12)，有

那么我們立即得到

同理，當(dāng)k=2，3，有

聯(lián)立(3．20)和(3．21)得到在(3．19)里的φ1的估計(jì)．完全相似的我們能得到在(3．19)里的φ2的估計(jì)．證畢．

［1］W．Fang，K．Ito，Solutions to a nonlinear drift－ diffusion model for semiconductors，Electro［J］．Differential Equations，15(1999)，38．

［2］W．Fang and K．Ito，Global solutions of the time－dependent drift－diffusion model semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，523～566．

［3］W．Fang and K．Ito，Asymptotic behavior of the driftdiffusion semiconductor equations［J］．Differential Equations，123(1995)，567～587．

［4］H．Gajewski，On the uniqueness of solutions to the driftdiffusion model of semiconductor devices［J］．Math．Models Methods Appl．Sci．，4(1994)，121 ～133．

［5］H．Gajewski and K．Groger，On the basic equations for carrier transport in semiconduc － tors［J］．Math．Anal．Appl．，113(1986)，12 ～35．