一個(gè)重要引理的改進(jìn)及其應(yīng)用*

彭 娟

(湖北科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

在［1］中有如下引理：

引理1 如果X為實(shí)隨機(jī)變量，則

對(duì)任意p＞0都成立．

本文在Banach空間，用一般的隨機(jī)變量代替實(shí)隨機(jī)變量X，將關(guān)于|X|p的結(jié)論推廣到更一般的情形φ(‖X‖)．

1 對(duì)引理1的改進(jìn)

定理1 設(shè)X是Banach空間的隨機(jī)變量，φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對(duì)連續(xù)且單調(diào)上升的函數(shù)，則有

證明 由條件可得φ＇(x)幾乎處處存在且有限，根據(jù)G．Fubini定理有：

即

其中

與引理1相比，定理1將實(shí)隨機(jī)變量X的函數(shù)|X|P(P＞0)改進(jìn)為Banach空間隨機(jī)變量X的函數(shù)φ(‖X‖)這種更一般的情形．

2 定理1的應(yīng)用

我們將用到下面兩個(gè)引理，這里X1，X2，…，Xn… 是Banach空間獨(dú)立對(duì)稱的隨機(jī)變量．

引理3［2］對(duì)每個(gè)r＞0及無窮整數(shù)集∧，

由于‖Y‖≤M，容易得到E‖Y‖P≤EMP，現(xiàn)在希望得到EMP被E‖Y‖P控制的上界．運(yùn)用引理2、引理3及定理1，我們有：

定理2 若φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對(duì)連續(xù)、單調(diào)上升的函數(shù)且φ(0)=0，則

證明 由定理1及φ(0)=0有

由引理2，對(duì)任意t＞0有

又因?yàn)棣?x)單調(diào)上升且φ(0)=0，所以φ＇(x)≥0，從而

結(jié)合引理3，與定理2的證明類似，可以得到如下定理：

定理3 若φ(x)為在［0，+∞］的任一有限區(qū)間上絕對(duì)連續(xù)、單調(diào)上升的函數(shù)且φ(0)=0，則

由定理2還可以得到如下推論：

推論1 對(duì)任意p＞0有EMP≤2E‖Y‖P．

該推論是定理2的直接結(jié)果．

推論2 對(duì)任意 α＞0有EMP≤2Eeα‖Y‖－1．

證明：由定理1與定理2有

［1］吳智泉，王向忱．巴氏空間上的概率論［M］．長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，1990：106～107．

［2］J－P卡昂納．函數(shù)項(xiàng)隨機(jī)級(jí)數(shù)［M］．武漢：武漢大學(xué)出版社，1986：15～16．