基于Tow-Thomas二階節的橢圓低通濾波器的設計

任青蓮，高文華

(太原科技大學電子信息工程學院，太原030024)

濾波器具有選頻、濾波的功能，是去除信號中干擾和噪聲的基本手段，在通信、電子工程和信號處理等領域起著非常重要的作用。橢圓濾波器以其通帶紋波小、阻帶衰減大、過渡帶寬窄、所需階數少等優良特性而著稱，廣泛用于幅頻特性要求苛刻的場合。而橢圓函數是一種較復雜的逼近函數，當需要用橢圓函數對濾波網絡進行綜合設計時，用傳統的方法要進行復雜的計算，還要根據計算結果進行查表，得出所需濾波器的階數和歸一化的零、極點，再用頻率標度系數將零、極點去歸一化，整個過程比較繁瑣而且存在較大的困難[1-5]。

利用MATLAB提供的豐富的模擬濾波器設計函數，根據設計指標，通過編程，可以很便捷地求出所需橢圓濾波器的階數和零、極點的位置，大大簡化了橢圓濾波器的設計過程[1-2]。使用Tow-Thomas二階節電路結構作為橢圓低通濾波器的核心單元，不僅使設計適用于多種不同的濾波要求，而且極大地方便了濾波器的通帶增益、品質因數及截止頻率等參數的調整[6-8]。

1 橢圓低通濾波器

式中:n為濾波器的階數，由式(2)計算(或查相關設計手冊中圖表數據得出)，ε為紋波系數，Un(ω)為n階Jacobi橢圓函數。

根據設計指標，包括:通帶允許波動的最大值Rp和阻帶衰減的最小值As，以及相應的通帶截止頻率ωp和阻帶截止頻率ωs，利用MATLAT提供的函數編程，求得濾波器所需的階數n，數值傳遞函數的虛數零點(0，±ωk∞)以及復數極點(-αk，±βk)，若濾波器的階數為奇數，還包括實極點(-α0，0)。則可得濾波器的數值傳遞函數:

以上所得濾波器的傳遞函數為高階多項式，采用把高Q值的極點與離該極點最近的零點配對的原則，可將其分解成若干一階函數與二階多項式的乘積，所以高階濾波器可用級聯法實現。如果濾波器階數是偶數，那么該濾波器可以由多個二階濾波器級聯而成;如果濾波器階數是奇數，那么濾波器可由一個一階濾波器與多個二階濾波器級聯構成。級聯設計的關鍵是二階基本節的設計。

2 Tow-Thomas二階節低通濾波器

最常用的二階節電路結構有Sallen-Key與Tow-Thomas，Sallen-Key結構只需要一個運算放大器便可實現一個二階函數，然而其容易受到寄生參數的影響，靈敏度太高，只適用于Q值比較低的濾波器的應用。相對于Sallen-Key濾波器，Tow-Thomas濾波器雖然需要多個運算放大器，但是其具有相對較低靈敏度，其最重要的特點是，可以通過調節電路中各元件的值來獨立調節濾波器的通帶增益、品質因數及截止頻率等參數，大大簡化了調諧的工作，因此被廣泛應用于各種電路中。

具有傳輸零點的Tow-Thomas二階節電路結構如圖1所示。

圖1 具有傳輸零點的Tow-Thomas二階節電路結構Fig.1 Tow-Thomas biquad with transmission zeros circuit

對電路列出方程式:

解聯立方程組，可以得到電路的傳遞函數為:

則可得電路的符號傳遞函數為:

由式(12)可知，該二階節提供了一對虛數零點和一對共軛復節點。與式(5)的數值傳遞函數對應，有以下關系:

選取標稱電容C和電阻R，令R1=R3=R，C2=C3=C，則得:

若有實數極點，在輸入端加一階有源濾波電路，如圖2所示，取R0=R，C0由實數極點α0確定:

3 設計實例分析

圖2 一階有源低通濾波器Fig.2 One step active low-pass filter

設計一橢圓低通濾波器，要求通帶截止頻率為6 kHz，阻帶截止頻率為 7.5 kHz，通帶允許波動的最大值為0.28 dB，阻帶衰減的最小值為35 dB.

調用MATLAB ellipord函數，確定所需階數和帶寬，程序代碼如下:

Wp=6000*2*pi; %通帶截止角頻率

Ws=7500*2*pi; %阻帶截止角頻率

Rp=0.28; %通帶紋波

Rs=35; %阻帶最小衰減

[n，Wn]=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs，'s')，%n 為濾波器的最小階數;Wn為濾波器的通帶寬度。

計算結果為 n=5，Wn=37 699 kHz.

根據計算的濾波器的最小階數n，調用MATLAB ellip函數求解濾波器的數值傳遞函數，確定零、極點，繪出濾波器零、極點圖和濾波器幅頻相應，程序代碼如下:

[B，A]=ellip(N，Rp，Rs，Wn，'s');%B 為 H(s)的分子多項式系數;A為H(s)的分母多項式系數;

z=roots(B) %求解H(s)的零點;

p=roots(A) %求解H(s)的極點;

pzmap(p，z) %繪制系統的零、極點圖;

W=linspace(100，9000，4000)*2*pi;

H=freqs(B，A，W);%幅頻響應;

magH=abs(H);

plot(W/(2*pi)，20*log10(magH));

得濾波器的虛數零點坐標(0，±ωk∞)分別為(0，±67 670)、(0，±47 848);復數極點坐標(-αk，±βk)分別為(-2 636，±38 673)、(-11 875，±29 894);實數極點坐標(- α0，0)為(-21 696，0).

零、極點圖如圖3所示，幅頻特性如圖4所示。由圖4可知，該濾波器滿足各項指標要求。

圖3 零、極點圖Fig.3 Zero，pole diagram

圖4 濾波器的幅頻特性Fig.4 The frequency characteristics of filter

在圖3中，采用把高Q值的極點與離該極點最近的零點配對的原則，分配零、極點到每一節中，實極點分配到一階濾波電路中。分A、B、C三節，如圖5所示。其中A節包含實極點(-21 696，0)，B節包含零點(0，±47 848)和復數極點(-2 636，±38 673)，C節包含零點(0，±67 670)和復數極點(-11 875，±29 894)。

選擇 R1=R3=R5=5.1 kΩ，C2=C3=0.01 μF，根據式(13)到式(20)利用MATLAB編寫程序計算出各元件值，如表1所示。

表1 各濾波節電阻與電容的計算值Tab.1 Each filter section resistance and capacitance calculation

根據表1計算所得的各元件值，利用Orcad10.5繪制電路圖，如圖5所示，調用Pspice10.5進行電路仿真，其幅頻特性如圖6所示，由仿真結果可知:帶內衰減最大為0.28 dB，3 dB截止頻率為6.23 kHz，在 7.5 kHz處的衰減為 40 dB，8.5 kHz時的衰減為35 dB，完全滿足設計要求。

在實際調試時，可以通過調節各節的R2來改變濾波器的Q值，調整R1來獲得不同的增益要求，調整C1的值來改變陷波點的位置。

圖5 濾波器設計電路圖Fig.5 The circuit diagram of filter

圖6 濾波電路的仿真結果Fig.6 Filter simulation results

4 結論

根據給定的技術指標，利用MATLAB求出橢圓濾波器的零、極點，得出濾波器的數值傳遞函數，根據零、極點圖進行零、極點配對，再與Tow-Thomas二階節的符號傳遞函數對照，綜合計算出電路的各元件值，最后，利用電路仿真軟件Orcad/Pspice10.5對電路進行仿真分析，所得結果完全能滿足設計要求。由于Tom-Thomas電路具有調整獨立，制作方便的特點，因此，本文給出的方法具有一定的應用價值。

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