起重機起升機構串電阻啟動時剛性動載荷分析

馮 亮，文 豪，王全偉，張 君，陳言亭

(太原科技大學機械工程學院，太原030024)

起動機傳動機構在啟動和制動等工況突變時，產生的剛性動載是不可忽視的。GB/T3811《起重機設計規范》給出了計算管行動載系數的簡單計算方法。但并未將影響該系數的電動機啟動方式，機構間隙考慮在內。

Tt—— 啟動轉矩(N·m);

Tr—— 靜轉阻矩(N·m);

J1——靠電動機側的慣量(kg·m2);

J2——靠低速軸側的慣量之和。

為了便于計算，起重機通常用動力系數值來表示載荷的大小動力系數的定義是最大振動載荷與靜載荷的比值，對于傳動零件則是最大振動載荷力矩與電動機額定力矩之比。

1 建立系統模型[1]

1.1 電動機啟動力矩

繞線式異步電機一般都是用串入轉子電阻的方法啟動，其啟動過程見圖1(a)為減少沖擊載荷，在繞線電機的啟動電阻中增加一個預備檔電阻，(即圖1中的特性曲線0)，機構啟動時附加接入這個預備檔電阻，電動機便產生約等于電動機額定力矩的75%的力矩，以消除傳動機構中的間隙，并產生一定的預緊力，但尚不至于使機構啟動，這樣可以顯著地減小振動載荷。

圖1 繞線電動機串電阻啟動Fig.1 The serial-resistance startup of wire-wound motor

從圖1(a)[2]中可看出，繞線式電機的啟動過程是:機構啟動時先附加一個預備檔電阻具有最大啟動力矩Mmax，然后力矩隨速度升高而減小，逐段切去電阻，力矩按圖圖示階梯級曲線變化，直至全部切去電阻，按電動機自然特性曲線運轉。但是經過分析，電動機在切去第一檔電阻時速度從零啟動，以后每切換一檔電阻其產生的動載都小于第一檔的振動載荷。所以在求機構的最大振動載荷時，

式 中: ωs—— 電 動 機 同 步 轉 速 (角 速度，rad/s);

Tt0——電動機啟動轉矩(N·m)

1.2 起重機起升傳動系的數學建模

起重機機構的振動載荷計算，以兩質量單自由度系統最為合適。一般認為系統自由度越多，計算結果越精確，其實不然，以金屬結構為例，如果在起重機金屬結構有限元分析中，將起升質量作為質量矩陣中的一個元素，那么這個矩陣一定是奇異的，用這樣的矩陣參與計算，一定會造成發散的計算結果。剛度矩陣也有類似的情況出現，所以在起重機有限元分析中，要對這些情況作特殊處理。[3]

在傳動系統中，轉動慣量相當于平移系統中的質量m.在比較轉動慣量大小時，一般要把它們轉換到同一傳動軸上才有意義。一般是把他們換算到電動機軸上。經過換算，齒輪的J與電動機轉子和聯軸器的慣量相比就是很小的量。在實際計算中以計算軸為基點，將轉動慣量分為兩部分:靠電動機側的慣量之和記為J1;靠低速軸側的慣量之和為另一側，記為J2;然后將J1和J2之間用無質量的彈性軸聯系起來，彈性軸的彈性系數為k，這樣就構成了兩轉動慣量的力學模型[4]，其中J1的廣義坐標為θ1，J2的廣義坐標為θ2，對這兩個轉動慣量分別應用牛頓第二定律，可得如下兩個運動方程[5]:首先求得第一檔就可以。

將上述的電機啟動特性，用數學表達式表示為:

令:θ=θ1-θ2將式代入式(2)加以整理，以相對坐標θ表示，可得單個的運動方程:

式中ωn為系統的固有頻率，由式(4)計算得:

式(3)的全解為:

由于制造的原因，不可避免的會產生誤差，傳動機構總是存在一定的間隙。機構存在間隙，啟動和制動是存在沖擊，造成較大的動載荷。機構的間隙啟動過程可以分為三個階段，第一階段:電動機啟動，傳動系統空轉以消除間隙;第二階段:傳動機構開始接觸并產生彈性變形，直至彈性轉矩等于外阻轉矩;第三階段:整個系統成為一體繼續振動。

第一階段:電動機加速J1直至間隙消除，這時J1已具有初速度ω0但J2尚未運動。

第二階段:J1與J2開始接觸并產生彈性力，當彈性力增加到能夠克服靜阻力Tr時，這一階段結束，這時軸的角速度:

第三階段:從J2參與運動開始，整個系統產生振動。這一階段的初位移是:θ1=Tr/k，初速度為式(6)表示的ω1.設為階躍激勵c，應用式(5)可得軸的轉矩表達式:

于是得到最大值:

將有關常數代入，經整理得到最大轉矩表達式為:

機構有間隙時的計算公式為式(8)為了觀察傳動間隙對動載荷的影響，這節做進一步分析。由于齒輪本身的轉動慣量相對來說非常小，可以忽略不計，因此齒輪傳動中各級間隙可以累計到高速級進行處理，其總間隙量以θ0(弧度)表示。

在式(8)中，間隙的影響通過ω0來表示，ω0是電動機驅動轉動慣量J1直至間隙消除那個瞬間J1所具有的角速度。設這一階段是等加速度運動，角加速度為:ε0=Tt0/J1

若這一階段加速所需時間為t0，則根據運動學有:

從此得:

將式(10)代入式(8)，并應用α，β，ξ等無因次量取代，若用 Tmax表示產生的最大轉矩，φ =，則:

根據剛性動載洗系數的定義:

式中，φ5—— 彈性系數，φ5=2- ξ/β.

2 對有間隙起升機構的關系動載系數的分析

因為k/Tt0表示傳動機構扭轉剛度的相對值，它的倒數可表示為:

θn=Tn/k為傳動機構在電動機額定轉矩作用下的靜扭轉角，式(12)可進一步化簡。于是從上述建模可得 φ 為 α，β，ξ，θ0等參數的函數。即:φ =f(α，β，ξ，θ0)

為了確定上述各因數對剛性動載系數的影響，必須先確定其他三個變量，才能得出所研究的變量與剛性動載的關系[6]。

一般情況下起升機構中α=1，運行機構和回轉機構中α≥5啟動轉矩倍數β平均的取為1.6，ξ=0.5，θ0=1°～ 10°[3].下面通過固定其他變量，重點分析一個變量的方法，分析個變量與慣性動載荷的關系。本文推導公式為式(12)，原使用公式為:

下面對各個參數利用工具Matlab進行分析[7]。

(1)研究α與β的關系

表1 α與φ的關系Tab.1 The relationship between α and φ

圖2 α與φ的關系Fig.2 The relationship between α and φ

由此可見本文推導出的公式與原不考慮間隙時的公式算出的剛性動載系數偏大，但α大于5以后所得的剛性動載增長率放緩。但是兩公式的趨勢是基本一致的。當α≥8時，ξ對φ的影響很小。在運行機構和回轉機構中，α值均較大，故可略去靜阻力[8]，即令 ξ=Tr/Tn=0，式(11)可簡化為:

(2)分析β與φ的關系

表2 β與φ的關系Tab.2 The relationship between β and φ

啟動轉矩倍數與剛性動載系數呈線性關系，兩公式算出的平均誤差為一倍?？傮w趨勢是非常相似的。同時說明，啟動轉矩越猛烈，慣性動載越大，對機構的作用越不利。通常在啟動前預加一個適當的預緊力。

圖3 β與φ的關系Fig.3 The relationship between β and φ

(3)分析θ0與φ的關系

由表3和圖4可以清楚的看出間隙對剛性動載系數影響很大，由于原公式沒有考慮到間隙的作用，所以是一條水平直線，與間隙無關。

3 結論

利用二質量單自由度的起升機構模型，分析了剛性動載系數。將《起重機設計規范》(GB3811-83)未能考慮進去的一些影響因素考慮在內，使得模型的精度有一定提高。分析后得出的結論與預期的實際情況相似，這說明本文推導出的公式符合實際情況。能更加精確地描述起重機起升機構的剛性動載荷。

由上述的圖表以及公式可得出如下幾點:

(1)在其他條件相同時，間隙θ0越大，動載系數也越大。

表3 θ0與φ的關系Tab.3 The relationship between θ0and φ

圖4 θ0與φ的關系Fig.4 The relationship between θ0and φ

(2)其他條件相同時，系統的自振周期越大，剛性動載系數越小。

(3)在間隙值相同時，電動機驅動力矩不變時J1越小，剛性動載系數越小。

(4)當α值增大時，剛性動載系數也增大，但當α≥5時，剛性動載趨于定值。

[1]胡宗武.起重機設計與實例[M].上海:機械工業出版社，2008.

[2]李發海，王巖.電機拖動與基礎[M].北京:清華大學出版社，2005.

[3]HAO WEN，QUANWEI WANG，GUANG ZHENG，et al.Analysis on the Super-winding Accident of Casting Crane and Contiguration of the Safeguard[J].Advances Materials Research，2011，145(11):390-393.

[4]胡宗武.起重機動載荷的簡化計算[J].起重運輸機械，1982(2):2-9.

[5]劉少武，張繼福，高崇仁.起重機械檢驗挖掘系統的設計與實現[J].太原科技大學學報，2011，32(5):398-402.

[6]李宏娟，陶元芳.橋門機主梁設計時強度與剛度的關系[J].太原科技大學學報，2011，32(1):28-32.

[7]范元勛，卜廷春，李水水，等.基于ADAMS/MATLAB的橋式起重機起升動載荷的聯合仿真[J].重型機械，2005(5):30-32.

[8]陶元芳，謝文寧，沈才華.起重機起升機構可視化CAD軟件的應用.西安[J].重型機械，2007(4):15-25.