磁懸浮系統的反推滑模控制

高 勇，張井崗

(太原科技大學電子信息工程學院，太原030024)

磁懸浮系統中懸浮物依靠電磁力克服自身重力實現懸浮。由于系統具有非接觸、無摩擦、速度快、壽命長的優點，磁懸浮技術在實際中取得了廣泛的應用，如磁懸浮列車、磁懸浮軸承、磁懸浮飛輪、磁懸浮風洞等。磁懸浮系統具有非最小相位特性，同時為非線性開環不穩定系統，對其控制方法的研究非常具有典型意義。本文所用實驗裝置為固高公司的磁懸浮系統，由于鋼球所受電磁吸力與其懸浮高度為非線性關系，若系統參數變化或受到外界干擾時，系統的平衡狀態便遭到破壞。若要實現鋼球的穩定懸浮并使系統具有一定的抗干擾能力，必須設計控制器以實現閉環穩定控制。

磁懸浮系統的特殊性對控制算法的快速性及穩定性提出了較高的要求。若將常規控制算法(如PID算法)應用于磁懸浮控制，系統將不會有理想的響應速度，磁浮體不能實現快速懸浮。除此之外，常規控制算法的魯棒性也較差，當系統自身參數攝動或受到外界干擾時，系統狀態會與平衡點發生較大偏離，若控制量得不到及時調整，系統將會失去穩定性。滑模控制最大的優點在于它的快速性與強魯棒性，引入滑模控制后，系統被強迫進入預先設置的滑動狀態并沿滑模面運動;且一旦進入滑動模態，系統狀態將與其本身的特性無關，因此在理論上滑模控制對系統參數的變化和外界干擾是魯棒的[1]。

目前針對磁懸浮系統的控制，應用較為廣泛的是魯棒滑模控制及其與智能控制算法的結合。文獻[2]實現了電磁懸浮系統的線性化反饋魯棒控制。雖然理論上可以確保系統的穩定性，但在仿真結果中可以看出系統瞬態響應中有較大的超調與震蕩，這導致其很難用于磁懸浮裝置的實時控制，必須加入自適應控制律才能解決上述問題。文獻[3]將磁浮系統在平衡點處線性化，并設計了具有積分型滑模面的自適應滑模控制器，實現了磁浮系統對方波及正弦波信號的跟蹤。文獻[4]提出了帶自回歸神經網絡(RNN)的智能自適應反推(backstepping)控制律，并應用于磁懸浮裝置的控制及系統不確定性的估計與補償。本文將反推滑模控制律應用于磁懸浮球系統的仿真分析與實時控制，其控制算法設計簡單，控制器實現容易，并能確保系統的穩定性與動態性能。實驗結果表明該方法具有較強的魯棒性與良好的動態跟蹤性能。

1 磁懸浮系統分析與建模

1.1 系統分析

磁懸浮系統由線圈、鐵芯、光電傳感器、輸入輸出設備、控制器、驅動電路、被控對象鋼球等元件組成。其系統結構圖如圖1所示。

圖1 磁懸浮控制系統結構圖Fig.1 Structure of Magnetic Levitation control system

圖1中x為小球的懸浮高度，其與光電傳感器產生的電壓成近似線性關系。光源經由小球照射到傳感器上，傳感器輸出電壓經處理電路變為－10 V～0之間的電壓值后，經A/D轉換輸入計算機并與給定信號比較。控制器根據給定值輸入電壓值的變化計算出控制量，控制電壓經D/A轉換后輸出并經驅動電路改變電磁力的大小，進而可使小球懸浮在給定的位置。

1.2 模型的建立

對磁懸浮系統進行機理分析，分別建立其力學與電磁學模型如式(1)-(4)所示:

式(1)中，m為懸浮鋼球的質量(kg);x為鋼球中心與磁極的距離，即鋼球位移(m);i為通過電磁線圈的電流(A);式(2)中，R、L為線圈的電阻(Ω)及電感(H);k為與磁鐵有效截面積及線圈匝數有關的常數。

由式(3)可以看出，此磁懸浮系統為非線性系統。為便于系統穩定性分析與控制器的設計，有必要將系統非線性部分進行線性化處理。實驗也證明，在平衡點(i0，x0)對系統進行線性化處理是可行的。將式(3)按泰勒級數展開，省略高階項并將式(4)代入得:

將式(5)進行拉普拉斯變換并將式(4)代入得到系統的開環傳遞函數:

式(6)中，M=i0/2g，N=i0/x0.

定義系統的輸入為控制電壓u，系統輸出為與鋼球位移x成近似線性關系的傳感器輸出電壓uout，則將式(6)改寫為:

其中Ka為線圈電流電壓轉換系數，Ks為磁浮氣隙與傳感器電壓線性關系系數。

取系統的狀態變量分別為x1=uout，x2=duout/dt.則系統的狀態方程如下:

式(8)中，Am=2g/x0;Bm= －2gKs/i0Ka;平衡點電流i0=1.244 1 A;平衡點位移x0=0.035 m;Ka=5.882 9;Ks= －458.715 6;g=9.8 m/s2.

2 反推滑模控制器的設計

反推(backstepping)設計方法是針對不確定性系統，將李雅普諾夫函數的選取與控制器的設計相結合的一種回歸設計方法。它將高階系統分解成不超過系統階數的子系統，通過從系統的最低階子系統開始，逐步引入虛擬控制的概念;根據李雅普諾夫穩定性設計滿足要求的虛擬控制量，最終后推到高階子系統并設計出真正的控制律[5-6]。

2.1 系統描述

考慮系統參數不確定部分及外加干擾時，將式(8)所示磁懸浮系統改寫為:

其中△A和△B為系統參數的不確定部分，d(t)為外加干擾[7]。

將式(9)寫為:

其中F為系統總的不確定性，其表達式為:

其中|F|≤F1.

假設系統總的不確定性變化速率趨于零，即取dF/dt=0.

2.2 反推滑模控制器的設計

假設給定位置為yd，控制器設計過程為:

步驟1

對于位置跟蹤控制，定義誤差項為

則

定義穩定項

其中λ1為正的常數。

定義Lyapunov函數

定義

則

步驟2

定義Lyapunov函數

其中η為切換函數

其中k1＞0.

則:

根據式(21)設計如下控制律:

其中h和α為正的常數。

將式(22)代入式(21)得:

取:

由于

故式(23)可寫為:

又由于:

通過取λ1，k1和h的值以使|Q|＞0，可得:dV2/dt≤0.系統的穩定性得以保證。

3 仿真與實驗

將系統參數代入式(8)，得到被控磁懸浮對象為:

其中F(t)為總的不確定性，Am=560，Bm=1 226.取F(t)=2sin(t)，位置指令yd=sin(2πt)－3，λ1=80，k1=90，h=30，α=1.5，F1=2.0.控制律采用式(22)，系統仿真輸出及控制量分別如圖2-圖3所示。

由圖2可以看出，將反推滑模控制律應用于磁懸浮系統的線性化數學模型，通過參數調節可以得到良好的輸出跟蹤響應。

圖2 位置跟蹤曲線Fig.2 Position tracking curve

圖3 控制輸入曲線Fig.3 Control input curve

為了將設計并仿真過的反推滑模控制律應用于磁懸浮系統的實時控制，在Matlab Simulink中搭建系統實時控制框圖，并將仿真模式選為外部模式。打開RTW參數選項卡，設定仿真步長固定步長，系統目標文件選為rtwin.tlc，使系統控制框圖經RTW和C編譯器編譯生成可實時運行的代碼。控制系統中硬件I/O卡采用研華公司的PCI1711采集卡，可自動建立與Simulink的連接。控制律采用 CMEX形式語句編寫并封裝為S Function模塊，可在該模塊中設置或修改控制參數，實現了控制過程中參數的在線調節[8]。

將位置指令設為yd=0.2sin(2πt)－4，采樣時間為0.003 s，λ1=80，k1=50，h=30，α=1.0，F1=2.0.實驗中鋼球實際懸浮效果圖如圖4所示，系統輸出及控制輸入分別如圖5和圖6所示。

由圖4和圖5可以看出，基于Matlab Simulink設計的磁懸浮控制系統能成功實現小球的穩定懸浮，并且系統具有較快的響應速度，也可看出將反推滑模控制律應用于磁懸浮控制系統能獲得良好的動態響應性能并能實現對正弦信號的精確跟蹤。

4 結論

圖4 鋼球懸浮圖像Fig.4 Image of the levitated ball

圖5 系統輸出曲線Fig.5 Output curve of the system

圖6 控制輸入曲線Fig.6 Control input curve

針對磁懸浮系統的非線性及開環不穩定性，將系統模型在平衡點處線性化，并將反推滑模控制律應用于系統的模型仿真與實時控制。將控制律用C-MEX語句編寫并封裝為S函數模塊，通過Matlab RTW工具箱完成控制系統系統模型的編譯及可執行代碼的自動生成，最終實現了鋼球的穩定懸浮及對目標曲線的跟蹤。仿真及實驗結果均表明該控制方法能確保系統的穩定性，并具有良好的動態跟蹤性能。

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